Undecidability of Equality in the Free Locally Cartesian Closed Category (Extended version)
我们证明了一个具有外延单位型I、单位型N1、Sigma型、Pi型和基型的马丁-洛夫类型论是一个自由范畴，它具有1范畴和2范畴意义上的族（支持这些类型型）。它遵循的基础范畴的背景是一个自由的局部carbohydrate闭范畴在2范畴的意义，因为以前证明的双等价。我们表明，在这个范畴中的平等是不可判定的，通过减少它的不可判定性的组合逻辑中的可转换性。本质上，同样的构造也显示了结果的一种稍微加强的形式，即在具有一个宇宙的延拓马丁-勒夫类型论中相等是不可判定的。
2017-11-28 cs.LO
Automating proof search when equality is a logical connective
Inria & LIX, Institut Polytechnique Paris（法国国家信息与自动化研究所与巴黎理工学院LIX实验室）
本文提出了一种扩展unification以处理量词交替和正负出现方程的证明搜索程序，为第一顺序sequent calculus提供了支持等价性作为逻辑连接词的轻量级逻辑框架。
2026-05-19 cs.LO
On the Groupoid Model of Computational Paths
本文的主要目的是研究计算路径的数学性质。最初由de Queiroz \& Gabbay（1994）提出的“序列或重写”，计算路径被认为是Martin Löf的内涵类型论的单位类型的项，因为这些路径可以被看作是两个计算对象之间的命题相等的根据。从这个角度来看，这项工作的目的是表明，一个属性的身份类型是目前的计算路径。我们指的是这样一个事实，即单位类型诱导了一个广群结构，如Hofmann \& Streicher（1994）所提出的。使用范畴语义，我们表明，计算路径诱导广群结构。我们还表明，计算路径能够诱导更高的范畴结构。
2016-09-08 cs.LO
A New Conjecture About Identity of Proofs
证明论的一个中心问题是寻找证明的同一性的标准，也就是说，当两个不同的形式推导可以被认为是表示同一个逻辑论证时。在文献中，人们发现标准是基于证明规范化（两个派生表示相同的证明时，他们有相同的标准形式）或正式派生与图论结构的关联（两个派生表示他们相同的证明时，他们与相同的图）。在本文中，我们认为一个新的标准，从解释的形式规则和推导作为自然变换的一个合适的种类的证明身份。我们表明，从这种解释所产生的自然性条件捕捉在一个统一的和优雅的方式中的几种形式的“规则排列”，发现在证明系统的命题，一阶和二阶逻辑。
2021-10-06 cs.LO math.LO
Formalizing Computational Paths and Fundamental Groups in Lean
Microsoft（微软）；Centro de Informática, Universidade Federal de Pernambuco（巴西伯南布哥联邦大学计算机中心）；Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de Pernambuco（巴西伯南布哥联邦农村大学数学系）
本文在Lean 4中形式化了计算路径理论，并通过六个代数拓扑例子展示了其在同伦计算中的应用。
2025-11-25 cs.FL cs.LO
Cubical Syntax for Reflection-Free Extensional Equality
我们贡献XTT，观察类型论的立体重建，扩展马丁-洛夫的内涵类型论与依赖的平等类型，享有功能扩展性和判断版本的唯一性的身份类型原则（UIP）：任何两个元素相同的平等类型是判断平等的。此外，我们推测，类型关系可以决定在一个实用的方式。在本文中，我们建立了一个代数规范性定理，使用一个新的立方扩展（独立提出的Awodey）的逻辑家庭或范畴胶合参数的启发Coquand和Shulman：每一个封闭的布尔类型的元素是可导等于要么“真”或“假”。
2019-06-06 cs.LO math.LO
Notions of Anonymous Existence in Martin-Löf Type Theory
正如霍夫曼和施特赖歇的群胚模型所证明的那样，内涵马丁-洛夫类型论中的恒等式证明一般不能被证明是唯一的。受Hedberg的一个定理的启发，我们给出了一些简单的类型的特征，这些类型具有唯一的恒等式证明。这些构造中的一个关键成分是单位元类型上的弱常数内函数。我们研究这样的内函数的任意类型，并表明，他们总是通过一个命题类型，截断或压扁域的因素。这样的因式分解是不可能的弱常数函数一般（结果由舒尔曼），但我们提出了几个非平凡的情况下，它可以做到。基于这些结果，我们在类型论中定义了匿名存在的新概念，并仔细比较了不同形式的存在。此外，我们可能会令人惊讶的后果的判断计算规则的截断，特别是在同伦类型论的背景下。所有的结果已被形式化，并在依赖类型的程序设计语言Agda验证。
2017-03-23 cs.LO
Extending Homotopy Type Theory with Strict Equality
在同伦类型论（HoTT）中，所有的构造在同伦等价下必然是稳定的。这有缺点：例如，它被认为是不可能定义一个类型的半单纯类型。更一般地说，很难，往往是不可能处理塔的凝聚力。为了解决这个问题，我们提出了一个两级理论，其特点是严格和弱平等。这基本上可以表示为两个类型论：一个“外部”理论，包含一个严格相等的类型形式，和一个“内部”理论，它是HoTT的某种版本。我们的类型论的灵感来自Voevosky的建议同伦类型系统（HTS），目前是指一系列的想法。我们建议的一个核心观点是，我们不需要任何形式的平等反思，以实现HTS的建议。相反，在外部类型论中有唯一的身份证明就足够了，而且它还具有不破坏类型检查的可判定性的元理论优势。内部理论可以是一个很容易合理的扩展HoTT，允许建设的“无限结构”，这是不可能的平原HoTT。或者，我们可以将内部理论设置为HoTT的当前标准公式，在这种情况下，我们的系统可以被认为是一个类型理论框架，用于处理HoTT中的“示意性”定义。作为示范，我们定义半单纯型和形式化的Reedy的concurant图的建设。
2016-10-29 cs.LO
On Small Types in Univalent Foundations
我们调查建设性的单价基础的谓词方面。通过谓词和构造性，我们分别意味着我们不假设Voevodsky的命题公理或排中律。我们的工作补充了现有的工作预测数学探索什么不能做预测在单价基础。我们的第一个主要结果是，非平凡的（有向或有界）完全偏序集必然是大的。也就是说，如果这样一个非平凡偏序集是小的，那么弱命题集成立。如果我们把非平凡性加强到正性，就有可能导出完整的命题正性。非平凡性和积极性之间的区别类似于非空性和居住性之间的区别。此外，我们证明了局部小，非平凡（有向或有界）完全偏序集必然缺乏可判定的平等。我们证明了我们的结果一般类的偏序集，其中包括例如有向完备偏序集，有界完备偏序集，超格和框架。其次，这些非平凡偏序集必然很大的事实有一个重要的推论，就是塔斯基定理（以及类似的结果）不能应用于非平凡的例子。此外，我们解释说，塔斯基定理，允许大结构的推广是可证明为假的，在一个单价宇宙中的序数序数有小的上确界的存在下，设置consistents。后者也导致我们调查的相互定义性和相互作用的类型宇宙的命题截断和集的替代品，以及一个集替换原则。第三，我们澄清，在我们的谓词设置，之间的关系的传统定义的超格，要求所有子集的上确界和我们的定义，要求所有小家庭的上确界。
2023-05-03 cs.LO math.LO
On Computational Paths and the Fundamental Groupoid of a Type
本文的主要目的是研究计算路径的数学性质。计算路径最初是由de Queiroz \& Gabbay（1994）提出的“重写序列”，它可以被看作是两个计算对象之间的命题相等成立的基础.利用计算路径和范畴语义，我们取类型论中的任何类型$A$，并构造了该类型的广群.我们将此群胚称为类型$A$的基本群胚，因为它与使用单位类型的同伦解释获得的群胚相似。主要的区别在于，计算路径不仅仅是语义解释，而是类型论语法的实体。我们还扩展了我们的结果，使用计算路径来构建更高层次的基本群胚。
2015-09-21 cs.LO
Size, Cost, and Capacity: A Semantic Technique for Hard Random QBFs
提出一种基于代价与容量的语义技术，用于证明QBF证明系统的规模下界，并应用于随机QBF获得首个真正指数下界，同时简化了著名公式的困难性证明。
2019-02-12 cs.LO
Proof Nets and the Identity of Proofs
这些是在西班牙马拉加举行的ESSLLI 2006上的5堂课的笔记。学校的网址是http://esslli2006.lcc.uma.es/。这个版本与在学校分发的版本略有不同，因为错别字已经被删除，学生的意见和建议已经被采纳。这门课是入门性的。这意味着不需要证明网的先验知识。然而，学生应该熟悉命题逻辑的基础知识，并且应该在一些正式的演绎系统中看到正式的证明（例如，微积分、自然演绎、分解、表格、结构演算、弗雷格-希尔伯特系统.）。如果学生已经知道什么是截消，这可能是有帮助的，但这不是严格必要的。在这些注释中，我将从证明的同一性问题的观点引入“证明网”的概念。我将以一种相当非正式的方式进行。重点将更多地放在提出想法上，而不是提出技术细节。本课程的目标是让学生对证明网理论有一个概述，并使初学者更容易获得有关该主题的大量文献。为了介绍该理论的基本概念，我将在课程的第一部分坚持线性逻辑的无单位乘法片段，因为它相当简单的证明网概念。在课程的第二部分，我们将看到更复杂逻辑的证明网。这是从证明的同一性的角度对证明网的基本介绍。我们讨论了如何演绎证明可以转化为证明网和正确性标准是什么。
2006-11-20 cs.LO
Game semantics of universes
这项工作扩展了作者的计算游戏语义的马丁-洛夫型理论的累积层次的宇宙。这个扩展在现代游戏语义学30年的历史中首次完成了Martin-Löf类型理论所有标准类型的游戏语义。因此，游戏语义的强大的组合推理变得可用于研究由它们生成的宇宙和类型。实现宇宙的博弈语义的一个主要挑战来自身份类型和宇宙之间的冲突：由宇宙编码身份类型的朴素博弈语义导致了函数之间相等的决策过程，这与递归论中的一个众所周知的事实相矛盾。我们通过新颖的宇宙游戏克服了这个问题，这些游戏为身份类型编码游戏，而不决定平等。
2022-03-24 cs.LO math.CO math.LO
Game-theoretic Interpretation of Type Theory Part II: Uniqueness of Identity Proofs and Univalence
在本文中，基于以前的工作（第一部分），我们提出了一个游戏语义的内涵变体的直觉类型论，反驳了唯一性的原则，身份证明和验证的univalence公理，虽然我们不解释非平凡的高等命题等式。具体来说，根据霍夫曼和Streicher的历史广群解释，我们配备了一个广群结构的第一部分中的谓词游戏，这引起了（谓词）gamoid的概念。粗略地说，gamoids是“指定（计算）等式的游戏”，它解释了ID类型中的微妙之处。然后，我们制定了一个类别的家庭的预测gamoid，配备了依赖产品，依赖和，ID类型以及宇宙，这形成了一个具体的实例的广群模型。我们相信，这项工作是一个重要的垫脚石走向一个完整的解释同伦类型论。
2016-04-05 cs.LO math.CO math.CT
Shallow Embedding of Type Theory is Morally Correct
形式化类型论的元理论有多种方法。对于某些目的，考虑类型论的特定模型就足够了，但有时需要参考语法，例如在规范性和规范化的证明中。一种选择是通过在证明助手中使用归纳定义来深入嵌入语法。然而，在这种情况下，定义等式的处理在技术上变得具有挑战性。或者，我们可以通过浅嵌入对象理论来重用元理论中的转换检查。在本文中，我们考虑了Agda中的类型论对象理论的标准模型。这个模型具有所有等式定义成立的属性，我们可以通过从这个模型的组件构建表达式来将其用作浅嵌入。然而，如果我们要对这种设置的句法进行合理的推理，我们必须确保可区分的句法结构在浅嵌入时不会变得可证明相等。首先，我们证明了浅嵌入是单射的定义平等，通过建模的嵌入作为一个句法翻译目标的元理论。其次，我们使用一个实现隐藏技巧，不允许非法的命题平等证明和建设，不来自语法。我们展示了我们的技术与马丁-洛夫类型论的规范性和参数化的非常短的形式化。我们的技术只需要的功能，可在所有主要的证明助手依赖类型论的基础上。
2019-07-17 cs.LO
Explicit Computational Paths
在类型论中，将相等作为一种类型的处理，产生了一种有趣的类型论结构，称为“同一类型”。其思想是，给定类型$A$的项$a,b$，可以形成类型$Id_{A}(a,b)$，其元素是$a$和$b$是类型$A$的相等元素的证明。这种类型的术语$p : Id_{A}(a,b)$弥补了建立$a$确实等于$b$的理由（或证明）。在此基础上，一个相等的证明可以被看作是一个替换和重写的序列，也被称为“计算路径”。一个有趣的事实是，它是可能的重写计算路径使用一组减少规则所产生的冗余路径的分析。1994年，De Oliveira将这些规则映射到一个名为$LND_{EQ}-TRS$的术语重写系统中。在这里，我们使用计算路径和这个术语重写系统来发展同伦类型论的主要基础，即，我们发展引理和定理连接到这个理论的主要类型，类型如产品，余产品，单位类型，运输和许多其他。我们还表明，它是可能的，直接通过计算路径构造路径空间。为了证明这一点，我们构造了自然数和圆的基本群，并展示了与这些结构相关的结果。
2018-04-26 cs.LO
The univalence axiom in cubical sets
本文证明了Voevodsky的univalence公理在基于对称三次集的类型论模型中成立。我们还将讨论天鹅建设的身份类型在这种变化的立方集。这证明了我们有一个支持依赖积、依赖和、单叶宇宙和具有通常判断等式的恒等类型的类型论模型，并且这个模型是在一个构造性元理论中制定的。
2017-10-30 cs.LO math.LO
Bisimulation as path type for guarded recursive types
在类型论中，共归纳类型用于表示进程，因此对于基于类型论的证明助手（如Coq和Agda）中的非终止反应式程序的形式化验证至关重要。目前，关于共归纳类型的编程和推理很困难，原因有两个：需要递归定义才能高效，以及内置标识类型和重要的双相似性概念缺乏重合。中野意义上的保护递归最近被认为是处理生产力问题的一种可能方法，允许将其编码在类型中。事实上，共归纳类型可以使用保护递归和时钟上的通用量化的组合来编码。本文研究了Ticked Cubical类型论中保护递归类型的双相似性概念，Ticked Cubical类型论是Cubical类型论的一个推广。我们证明了，对于任何函子，一个抽象的，范畴论的概念，双相似的最终守护余代数是等价的（在同伦类型论的意义上），以道路平等（原始概念的平等在立方类型论）。作为一个工作的例子，我们研究了一个守卫的概念标记的过渡系统，并表明，作为一个特殊的情况下的一般定理，路径平等符合适应通常的概念互模拟过程。特别是，这意味着保护递归可以用来给简单的等式推理证明的双相似性。这项工作应该被看作是使用上述编码获得双相似性作为共归纳类型的路径相等的一步。
2018-10-31 cs.LO
Guarded Cubical Type Theory: Path Equality for Guarded Recursion
本文将保护依赖类型论（GDTT）与立方类型论（CTT）相结合，改进了GDTT中等式的处理. GDTT是一种具有保护递归类型的可拓类型论，它对于建立程序逻辑模型以及使用共归纳类型进行程序设计和推理是有用的。我们希望用可判定的类型检查实现GDTT，同时仍然支持非平凡的等式证明，这是关于保护递归构造的扩展的原因。CTT是Martin-Löf类型论的变体，其中单位类型被项之间的抽象路径所取代。CTT提供了一个计算解释的功能扩展性，被证明有可判定的类型检查，并已实现的类型检查器。我们的新的类型论，称为守护立方类型论，提供了一个计算解释的可拓性守护递归类型。这进一步扩展了CTT作为数学和计算机科学形式化基础的基础。我们提出的例子来证明我们的类型论，所有这些都已经检查使用原型类型检查器实现的表达能力，并在一个preheaf类别的语义。
2016-06-28 cs.LO cs.PL
An Equational Logical Framework for Type Theories
许多直觉主义类型理论都可以在逻辑框架内作为等式理论提出。这种方法由Per Martin-Löf在1980年代中期提出，并由Uemura进一步发展，他用它来证明一类模型的初始性结果。本文提出了一个类型理论的逻辑框架，它包括一个扩展的等式类型，使得类型理论可以由常数的签名给出。该框架说明了一些类型理论的概念，包括身份和平等的类型，和层次的宇宙的例子。
2021-06-02 cs.LO math.LO
A Rewriting Logic Approach to Specification, Proof-search, and Meta-proofs in Sequent Systems
本文提出了一种基于算法的方法来证明命题系统的归纳性质，如可容许性，可逆性，割消和单位扩展。虽然一般来说是不可判定的，但这些结构属性在证明理论中是至关重要的，因为它们可以减少证明搜索工作，并进一步用作获得其他元结果（如一致性）的脚手架。算法-利用重写逻辑元逻辑框架，并使用重写和缩小为基础的推理-详细解释，并说明整个文件的例子。他们已经完全机械化的L-框架，从而提供了一个正式的规约语言和现成的机械化的证明搜索算法来证明定理和元定理的目标系统的半决策程序。本文通过实例分析说明，L-框架在单结论和多结论直觉逻辑、经典逻辑、经典线性逻辑及其二元系统、直觉线性逻辑和正规模态逻辑等命题推理系统上的应用，实现了很大程度的自动化。
2021-01-08 cs.LO math.LO
On the Calculation of Fundamental Groups in Homotopy Type Theory by Means of Computational Paths
同伦类型论中最有趣的实体之一是单位类型。它产生了一个有趣的解释的平等，因为人们可以语义解释之间的平等两项相同类型的收集同伦路径之间的点相同的空间。由于这只是一种语义解释，最近德奎罗斯、拉莫斯和德奥利维拉提出了在同伦类型论的语法中加入路径。在这些作品中，作者提出了一个被称为“计算路径”的实体，由De Queiroz和Gabbay在1994年提出，并表明它可以用来形式化的身份类型。我们已经发现，有可能使用这些计算路径作为工具，以实现一个中心结果的代数拓扑和同伦类型论：计算基本群的表面。我们回顾了计算路径的概念和$LND_{EQ}-TRS$，这是一个长期重写系统提出的De Oliveira在1994年计算路径之间的映射冗余。然后，我们继续计算基本群的圆，圆柱，M{<$}bius带，环面和真正的射影平面。此外，我们表明，使用的计算路径，使这些计算简单和直接，而同样的结果是很难获得使用传统的编码-编码-解码方法的同伦类型论。
2018-05-17 cs.LO
Erased Postulates, Identity Types and Quotients
University of Gothenburg（哥德堡大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）
本文在带擦除注解的类型论中，将擦除公设的保证扩展到同一类型，并利用擦除公设支持商类型，同时研究了擦除同一性证明的传递安全性，并附有Agda机器证明。
2026-09-09 cs.LO cs.PL
Circuit complexity, proof complexity, and polynomial identity testing
我们引入了一个新的代数证明系统，它与（代数）电路复杂性有着紧密的联系。特别是，我们证明了在我们的证明系统中，任何布尔重言式上的超多项式下界意味着永久不具有多项式大小的代数电路（VNP不等于VP）。作为一个推论的证明，我们还表明，超多项式下界上的多项式微积分证明（而不是通常的措施单项式的数量）的线的数量意味着永久与行列式猜想。请注意，在我们的工作之前，没有证明系统，其中任意重言式的下界意味着任何计算下界。我们的证明系统有助于澄清以前的代数证明系统之间的关系，并开始阐明为什么证明复杂性下限的各种证明系统已经这么难比相应的电路类的下限。在此过程中，我们强调了多项式身份测试（PIT）对于理解证明复杂性的重要性。更具体地说，我们引入某些命题公理满足任何布尔电路计算PIT。我们使用这些PIT公理来阐明AC^0[p]-弗雷格下界，它已经开放了近30年，对于它们明显的困难没有令人满意的解释。我们表明，或者：a）证明AC^0[p]-Frege上的超多项式下界意味着VNP不具有深度为d的多项式大小的电路-一个众所周知的公开问题，d至少为4 -从而解释了AC^0[p]-Frege上的下界的困难，或者b）AC^0[p]-Frege不能有效地证明深度为d的PIT公理，因此我们有AC^0[p]-Frege上的下界。使用我们的证明系统的代数结构，我们提出了一种新的方法来扩展技术从代数电路复杂性证明证明复杂性的下…
2014-04-15 cs.CC cs.LO math.LO
