关于有效估计矩阵谱范数的注记

关于低荫度图匹配的对数空间流算法的注记

A Note on Logarithmic Space Stream Algorithms for Matchings in Low Arboricity Graphs

我们提出了一种用于估计低荫度图的最大匹配大小的数据流算法。回想一下，如果一个图的边最多可以被划分为$α$森林，则该图具有荫度$α$，并且平面图具有荫度$α=3$。估计最大匹配的大小在这样的图一直是最近的数据流研究的焦点。Cormode等人最近证明了这个问题的一个令人惊讶的结果。他们设计了一个巧妙的算法，该算法使用在图（任意排序）和$O(ε^{-2}α\cdot \log n \cdot \log_{1+ε} n)$空间的边缘上的单次遍历来返回$(22.5α+6)(1+ε)$近似。在这篇文章中，我们通过更严格的分析改进了$(α+2)(1+ε)$的近似因子，并表明，通过修改他们的算法，所需的空间可以减少到$O(ε^{-2} \log n)$。

Matrix Norms in Data Streams: Faster, Multi-Pass and Row-Order

A central problem in data streams is to characterize which functions of an underlying frequency vector can be approximated efficiently. Recently there has been considerable effort in extending this problem to that of estimating functions of a matrix that is presented as a data-stream. This setting generalizes classical problems to the analogous ones for matrices. For example, instead of estimating frequent-item counts, we now wish to estimate "frequent-direction" counts. A related example is to estimate norms, which now correspond to estimating a vector norm on the singular values of the matri…

关于最小范数点算法的注记

A note on the Minimum Norm Point algorithm

我们提出了一个可证明的更有效的实现的最小范数点算法所设想的藤重比一个在\cite{FUJI06}。该算法解决了一类称为次模函数的最小化问题。许多重要的函数，如图的最小割，都具有所谓的次模性质\cite{FUJI82}。已知该问题也可以在强多项式时间\cite{IWAT01}中有效地求解，然而已知的理论界离实际还很远。我们提出了一种改进的算法，不幸的是，没有最坏情况下的界限是已知的，但在实践中表现得很好。与提出的修改，该算法执行的数量级更快的某些次模函数。

Estimating Normalizing Constants for Log-Concave Distributions: Algorithms and Lower Bounds

Estimating the normalizing constant of an unnormalized probability distribution has important applications in computer science, statistical physics, machine learning, and statistics. In this work, we consider the problem of estimating the normalizing constant $Z=\int_{\mathbb{R}^d} e^{-f(x)}\,\mathrm{d}x$ to within a multiplication factor of $1 \pm \varepsilon$ for a $μ$-strongly convex and $L$-smooth function $f$, given query access to $f(x)$ and $\nabla f(x)$. We give both algorithms and lowerbounds for this problem. Using an annealing algorithm combined with a multilevel Monte Carlo method …

估计矩阵 $p \rightarrow q$ 范数

Estimating the matrix $p \rightarrow q$ norm

本文研究矩阵$p\to q$范数的近似计算，通过分析$2\to q$情形改进算法，将$2\to4$范数近似从$m^{1/8}$提升至$m^{1/12}$，并将$p\to q$范数整体近似从$m^{25/128}$改进到$m^{3-2\sqrt{2}}$。

利用覆盖网估计算子范数

Estimating operator norms using covering nets

我们提出了几个多项式和拟多项式时间的近似计划的一大类广义算子规范。特殊情况包括矩阵的$2\rightarrow q$范数为$q>2$，支持功能的一组可分离的量子态，找到最少的噪音输出的纠缠打破量子信道，并近似内射张量范数为两个Banach空间之间的映射，其因子分解范数通过$\ell_1^n$是有界的。这些复制，并在某些情况下，提高了以前的算法的性能，由Brandeono-Christandl-Yard和后续工作，这是基于平方和层次结构，其分析使用的技术从量子信息，如一夫一妻制原则的纠缠。相比之下，我们的算法是基于蛮力枚举仔细选择的覆盖网。这些方法的优点是使用更少的内存，具有更简单的证明，并为问题提供新的几何见解。Shi-Wu和Barak-Kelner-Steurer也提出了类似问题的基于网络的算法，但在每种情况下，运行时间都是某个矩阵秩的指数。我们通过使用$\ell_1$空间中存在的小得多的网来实现多项式或准多项式运行时。这一原则已被用于学习理论，在那里它被称为莫雷的经验方法。