Counting thresholds for perfect matchings in hypergraphs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文针对超图完美匹配，引入计数与近似计数阈值，证明其良定义性、非平凡性与渐近关系，并通过归约小参数情况得到改进上界，补充了超图完美匹配计数的相关理论。
2026-08-21 math.CO
Counting perfect matchings and the switch chain
我们研究的问题，精确或近似计数所有完美匹配的遗传类的非二部图。特别地，我们考虑Diaconis，Graham和Holmes的开关马尔可夫链。我们确定了最大的遗传类的链是遍历的，并定义了一个大的新的遗传类的图，它是快速混合。我们继续表明，该链具有指数混合时间稍大的类。我们还研究了任意图中开关链的遍历性问题。最后，我们给出了三个类的精确计数算法。
2018-02-26 cs.DM math.CO
Counting perfect colourings of plane regular tilings
研究周期性和非周期性图案的颜色对称性的第一步是确定允许所考虑的图案的完美着色的颜色的数量。完美的着色是指未着色图案的每一种对称性都导致颜色的整体排列。有两种情况：要么是关于所有对称性的完美着色，要么是关于仅保持对称性的方向（没有反射）。对于重要的一类染色的经常平铺（和一些Laves平铺）的欧几里德或双曲平面，这主要是组合的问题是解决这里使用群论方法。
2008-07-29 math.CO math.GR
Counting maximal near perfect matchings in quasirandom and dense graphs
最大$\varepsilon$ -接近完美匹配是覆盖至少$(1-\varepsilon)|V(G)|$顶点的最大匹配。本文研究了广义拟随机图和广义稠密图中极大近完美匹配的个数。本文给出了广义拟随机图中$\varepsilon$ -近完美匹配个数的上、下界.此外，基于这些结果，我们提供了一个确定性的多项式时间算法，对于给定的稠密图$G$的顺序$n$和一个实数$\varepsilon>0$，返回的结论，$G$没有$\varepsilon$ -近完美匹配，或一个积极的非平凡数$\ell$，使最大的$\varepsilon$ -近完美匹配的$G$的数量至少是$n^{\ell n}$。我们的算法使用算法版本的Szemerédi正则引理，并具有$O(f(\varepsilon)n^{5/2})$时间复杂度。这里，$f(\cdot)$是一个仅依赖于$\varepsilon$的显式函数。
2019-02-05 cs.DM math.CO
A Polynomial-Time Algorithm for Coloring Perfect Graphs Based on Walk Counting
Princeton University（普林斯顿大学）
该研究提出基于图论操作的多项式时间算法，核心是通过迭代计算加权路径判定完美图是否含给定大小团，权重先统一初始化再依上次迭代路径计数更新，用于对完美图进行最优着色。
2026-07-13 cs.DM cs.DS math.CO
Counting Perfect Matchings In Dirac Hypergraphs
本文在Dirac超图中扩展了Cuckler-Kahn定理，证明了在满足一定条件的超图中，完美匹配数量由熵类参数控制。
2025-11-26 math.CO
Counting Plane Graphs: Perfect Matchings, Spanning Cycles, and Kasteleyn's Technique
我们推导出改进的上界的交叉自由直边生成循环（也称为汉密尔顿旅游和简单的pathizations），可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上的数量。更具体地说，我们限制了可以嵌入点集的生成环（或完美匹配）的数量与可以嵌入点集的三角剖分的数量之间的比率。相应的界限是循环的$O(1.8181^N)$和匹配的$O(1.1067^N)$。这意味着一个新的上限$O(54.543^N)$的交叉自由直边跨越循环的数量，可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上（改进以前的最佳上限$O(68.664^N)$）。我们的分析是基于Kasteleyn的线性代数技术。
2011-09-26 cs.DM math.CO
Counting Maximum Matchings in Planar Graphs Is Hard
在这里，我们证明了在平面，二部图计数最大匹配是P-完全的。这在平面图中完美匹配的数目可以在多项式时间内计算的情况下有些令人惊讶。我们还证明了，计数不必要完美匹配平面图已经是P-完全的，如果问题仅限于二部图。到目前为止，仅对一般的非必然二部图证明了硬度。
2021-03-08 cs.CC math.CO
Counting Deranged Matchings
令$\mathrm{pm}(G)$表示图$G$的完美匹配数，令$K_{r\times 2n/r}$表示完全$r$ -部图，其中每个部分的大小为$2n/r$ . Johnson、Kayll和Palmer证明，对于$K_{r\times 2n/r}$的任何完美匹配的$M$，我们有$2n$可被$r$ \[\frac{\mathrm{pm}(K_{r\times 2n/r}-M)}{\mathrm{pm}(K_{r\times 2n/r})}\sim e^{-r/(2r-2)}.\]整除。这个猜想可以看作是计算$n$字母上的乱序数和计算$K_{2n}$的乱序匹配数的一般推广。我们证明了这个猜想。事实上，我们证明了更强的结果，如果$R$是一个均匀随机完美匹配的$K_{r\times 2n/r}$，那么$R$与$M$共同的边缘数收敛到一个泊松分布参数$\frac{r}{2r-2}$。
2022-11-03 math.CO math.PR
Pseudo-centrosymmetric matrices, with applications to counting perfect matchings
我们考虑方阵A与一个固定的方阵K可交换，两者的元素都在一个特征不为2的域F中。当K^2=I时，Tao和Yasuda定义A关于K广义中心对称。当K^2=-I时，我们定义A是关于K伪中心对称的;我们证明了每个偶数阶伪中心对称矩阵的行列式是F上两个平方的和，只要-1不是F中的平方。当一个伪中心对称矩阵A只包含整数元素，并且相对于一个有理元素的矩阵是伪中心对称的时，A的行列式是两个整数平方之和。这个结果，当专门用于当K是偶数阶交替交换矩阵，适用于枚举组合。利用完全基于矩阵的方法，我们重新证明了Jockusch定理的一个弱形式，用于计数2-偶对称图的完美匹配。作为一个推论，我们重新证明，被称为阿兹特克钻石和阿兹特克枕头地区的多米诺骨牌平铺的数量是两个整数平方和。
2007-07-09 math.CO math.RA
Forcing and anti-forcing polynomials of perfect matchings of a pyrene system
图的完美匹配的强迫数是由Harary等人引入的，它起源于Klein和Randić关于分子图中Kekulé结构的固有自由度的理想。与之对边的是，Vukičević和Trinajstié提出了图的反强迫数，后来Lei等人将这一思想推广到单完美匹配。最近提出了图的完美匹配的强制多项式和反强制多项式，分别作为具有相同强制数和反强制数的完美匹配的计数多项式。本文给出了芘系统的强迫多项式和反强迫多项式的显式表达式。作为结果，芘系统的强迫和反强迫谱的确定。
2020-04-10 math.CO
Planar Graph Perfect Matching is in NC
在NC中是完全匹配的吗？也就是说，是否有一个确定性的快速并行算法？自从RNC匹配算法被发现以来，这已经是理论计算机科学中三十多年来的一个突出的公开问题。在这个问题中，平面图的情况仍然是一个谜：一方面，计算完美匹配的数量比找到一个要困难得多（前者是#P-完全的，后者是在P中），另一方面，对于平面图，计数长期以来一直被认为是在NC中，而找到一个一直抵制解决方案。本文给出了平面图中寻找完美匹配的NC算法。我们的算法使用了上述关于以关键方式计数匹配的事实。我们的主要新思想是一个NC算法，用于找到一个完美匹配的多面体在$Ω(n)$新的条件，涉及约束的多面体，同时满足的面。还需要一些其他的想法，例如在这个多面体的最小权面的内部找到一个点，并在NC中找到一个平衡的紧奇集。
2018-04-21 cs.CC cs.DC cs.DS
Counting Permutations in $S_{2n}$ and $S_{2n+1}$
本文针对Stanley提出的对称群中完全平方置换计数猜想，给出组合证明，并揭示两类对称群中含偶数个偶循环的置换的三类对应分类关系。
2024-07-10 math.CO
Excluding a Planar Matching Minor in Bipartite Graphs
匹配子式是子式的一种特殊化，适合于研究具有完美匹配的图。匹配子图的概念被用来对二部图进行结构描述，在此基础上，McCuaig等人在1999年给出了Little的一个结果.本文将Robertson和Seymour的图子级数的基本思想推广到具有完美匹配的二部图的设置.我们介绍了一个版本的Erdos-Posa属性匹配未成年人，并找到这个属性和平面性之间的直接联系。由此得到一类具有完美匹配的二部图具有有界完美匹配宽度当且仅当它不包含一个平面匹配子图。我们还提出了算法二部图的有界完美匹配宽度的匹配版本的不相交路径问题，匹配未成年人的包容性，并计算完美匹配的数量。从结构上得到了判定二部图G是否含有固定平面图G有匹配子图和计算排除固定可平面图作为匹配子图的二部图的完美匹配数都是多项式时间可解的.
2021-06-01 cs.DM math.CO
Fractionally Log-Concave and Sector-Stable Polynomials: Counting Planar Matchings and More
针对平面图非完美匹配计数问题，提出了基于多位点Glauber动力学的FPRAS，并引入扇区稳定性和分数对数凹性概念分析其混合性质，为谱独立性提供了基于多项式几何的新工具。
2023-04-03 cs.DS math.CO math.PR
Almost color-balanced perfect matchings in color-balanced complete graphs
对于图$G$和不一定正确的$k$ -边着色$c:E(G)\to \{ 1,\ldots,k\}$，令$m_i(G)$是颜色$i$的$G$的边数，并且如果$m_i(G)=m_j(G)$对于每两个颜色$i$和$j$，则调用$G$ { \it color-balanced}。几个著名的公开问题与这个概念有关;例如，Ryser关于拉丁正方形中横截的猜想等价于每个正确的$n$ -边着色的完全二部图$K_{n,n}$有一个颜色平衡的完美匹配。我们对Kittipassorn和Sinsap（arXiv：2011.00862v1）提出的问题：是否每个$k$ -边着色的色平衡完全图$K_{2kn}$都有一个色平衡的完美匹配$M$给出了一些结果.对于$K_{2kn}$的完美匹配$M$，$M$与色彩平衡的总偏差的自然度量是$f(M)=\sum\limits_{i=1}^k|m_i(M)-n|$。虽然不是每一个颜色平衡的完全图$K_{2kn}$有一个颜色平衡的完美匹配$M$，也就是说，一个完美的匹配$f(M)=0$，我们证明了存在一个完美匹配$M$与$f(M)=O\left(k\sqrt{kn\ln(k)}\right)$一般$k$和$f(M)\leq 2$ $k=3$ ; $k=2$的情况下已经研究过了。这个问题的一个有吸引力的特点是，它自然邀请组合方法的基础上计数和本地交换参数与概率和几何参数的组合。
2021-05-12 math.CO
Maximum density of vertex-induced perfect cycles and paths in the hypercube
令$H$和$K$是$d$立方体$Q_d$的顶点集$V(Q_d)$的子集（我们在$Q_d$中称为$H$和$K$配置）.如果存在将$H$发送到$K$的$Q_d$的自同构，则我们说$K$是$H$的\emph{exact copy}。如果$d$是一个正整数，$H$是$Q_d$中的一个配置，我们定义$π(H,d)$为极限，因为$n$在$V(Q_n)$的所有子集$S$上，在与$S$相交的$Q_n$的子$d$-立方体中，达到最大分数的无穷大。我们确定了$π(C_8,4)$和$π(P_4,3)$，其中$C_8$是$Q_4$中的"完美" 8-圈，$P_4$是$Q_3$中的"完美" 4点路，并对$d$较大时的$π(C_{2d},d)$和$π(P_{d+1},d)$进行了讨论.在我们的证明中，与具有某些性质的序列的计数和某些小图的归纳有关。特别地，我们需要确定二部图族中两条顶点不相交边的诱导数。
2020-09-18 math.CO
Perfect Matchings, Rank of Connection Tensors and Graph Homomorphisms
我们发展了一般域上的图代数理论。这是仿照Freedman，Lovász和Schrijver在[22]中为连接矩阵开发的理论，在实边权重和正顶点权重上的图同态函数的研究中。我们引入连接张量的图形属性。这个概念自然地推广了连接矩阵的概念。它表明，计数完美匹配，和主机的其他图形属性自然定义为Holant问题（边模型），不能表示的图形同态函数与复杂的顶点和边的权重（甚至从更一般的领域）。我们的必要和充分条件的连接张量是一个简单的指数秩界。它表明，正半定性是不需要在更一般的设置。
2020-07-25 cs.DM math.CO
Counting tight Hamilton cycles in Dirac hypergraphs
Institut für Informatik, Universität Heidelberg（海德堡大学计算机科学研究所）
研究在Dirac超图中紧Hamilton环的数量，通过超图熵定义的完美分数匹配证明了数量下界，适用于近正则超图和二项随机超图。
2026-04-16 math.CO
On Kotzig's conjecture in random graphs
Fakultät für Informatik und Mathematik, Universität Passau（帕绍大学信息学与数学学院）
本文研究Kotzig猜想的随机图变体，通过多种组合方法得到完全图中完美匹配的精确计数结果，进而证明二项随机图在边概率足够高时，以高概率存在满足任意配对成哈密顿圈的k个边不相交完美匹配。
2026-09-29 math.CO
Deranged matchings: proofs and conjectures
我们介绍，并部分解决，一个猜想，带来了一个三个世纪的错乱现象和它的年轻得多的二十年的老类似物在同一伞下。从图论的角度来看，无序是完全二部图$K_{n,n}$中的完美匹配，其中去除了不相交的完美匹配$M$。类似地，无序匹配是完全图$K_{2n}$中的完美匹配减去完美匹配$M'$。使用$\mathrm{pm}(\cdot)$计数完美匹配，老年现象的形式为$\mathrm{pm}(K_{n,n}-M)/\mathrm{pm}(K_{n,n})\to 1/e$作为$n\to\infty$，而其年轻的类似物为$\mathrm{pm}(K_{2n}-M')/\mathrm{pm}(K_{2n})\to 1/\sqrt{e}$。这些起始图都是$2n$ -顶点“平衡完全$r$ -部分”图$K_{r \times {2n}/{r}}$，分别具有$r=2$和$r=2n$ .我们猜想$\mathrm{pm}(K_{r\times{2n}/r}-M)/\mathrm{pm}(K_{r\times{2n}/r})\sim e^{-r/(2r-2)}$是$n\to\infty$，并建立了它的几个实质特例.仅举两个例子，$r=3$产生极限$e^{-3/4}$，而$r=n$再次产生$e^{-1/2}$。我们的工具将组合学和分析融合在一个混合体中，其中包含排斥和制革定理。
2022-10-30 math.CO
On the expected number of perfect matchings in cubic planar graphs
20世纪70年代，Lovász和Plummer提出了一个著名的猜想：一个无桥立方图有指数级的完美匹配。Esperet等人（Adv. Math. 2011）以肯定的方式解决了该问题。另一方面，Chudnovsky和Seymour（Combinatorica 2012）在三次可平面图的特殊情况下证明了该猜想。在我们的工作中，我们考虑随机无桥立方可平面图的均匀分布的图的$n$顶点。在此模型下，我们证明了标号无桥三次可平面图中完美匹配的期望数是渐近的$cγ^n$，其中$c>0$和$γ\sim 1.14196$是一个显式的代数数.我们还计算了（不一定是无桥的）三次可平面图中完美匹配的期望数，并为无标号图提供了下界。我们的出发点是一个对应的计数完美匹配在有根三次平面地图和分拆函数的伊辛模型在有根三角剖分。
2021-03-01 cs.DM math.CO
Channels, Billiards, and Perfect Matching 2-Divisibility
令$m_G$表示图$G$的完美匹配的数量。我们介绍了一些组合工具，用于确定$m_G$的奇偶校验，并给出了一个下界的2的幂除$m_G$。特别是，我们引入某些顶点集称为通道，对应于$G$模$2$的邻接矩阵的内核中的元素。Lovász的一个结果表明，存在一个非平凡的通道等价于$m_G$是偶数。我们给出了一个新的组合证明这一结果，并加强它的通道数给出了一个下界的权力$2$划分$m_G$时，$G$是平面的。我们描述了一些局部图操作，保持通道的数量。我们还建立了一个令人惊讶的连接之间的2-整除的$m_G$和动力系统显示通道和台球路径之间的等价性。我们利用这种关系表明，$2^{\frac{\gcd(m+1,n+1)-1}{2}}$划分的$m\times n$矩形的多米诺骨牌平铺的数量。我们还使用台球路径给出一个快速算法，用于计数通道（从而确定多米诺骨牌的数量的奇偶校验）在简单连接的区域的正方形网格。
2021-06-02 math.CO
Counting Homomorphisms to Square-Free Graphs, Modulo 2
本文研究了从一个输入图到一个固定无向图的同态的计数问题HomsTo $H$，模2，$H$ .模计数的一个特征是，与精确（非模）计数相比，取消使更广泛的实例类别变得易于处理，因此可以产生微妙的二分法定理。我们证明了以下二分法：对于任何不包含4-循环的$H$，HomsTo $H$要么是多项式时间的，要么是$\oplus P$ -完备的。这证实了Faben和Jerrum的一个猜想，这个猜想以前只适用于树和一类树宽为2的图，称为仙人掌图。我们证实了猜想的一类丰富的图，包括图的无界树宽。特别是，我们专注于无平方图，这是没有4-圈的图。这些图经常出现在组合数学中，例如与强完美图定理和某些图形算法有关。以前的二分法定理要求图是树状的，以便在证明中可以利用树状分解。我们证明了猜想更丰富的一类图，通过采用更一般的方法。
2015-08-26 cs.CC math.CO
Counting weighted independent sets beyond the permanent
Jerrum，Sinclair and Vigoda（2004）证明了任何方阵的积和式都可以在多项式时间内估计。这种计算可以被看作是近似的二分图中的边加权匹配的分区函数。等价地，这可以被视为近似二分图的线图中的顶点加权独立集的划分函数。二部图的线图是完美图，并且被称为精确的（爪，钻石，奇洞）-自由图类。那么，Jerrum、Sinclair和Vigoda的结果能延伸多远呢？我们首先表明，它扩展到（爪，奇洞）-免费的图，然后表明，它扩展到更大的类（叉，奇洞）-免费的图。我们的技术是基于图分解，这一直是最近的工作在结构图论的焦点，并在Chvatal和Sbihi（1988），Maffray和里德（1999）和Lozin和Milanic（2008）的结构结果。
2020-05-18 cs.DM math.CO
Weighted counting of solutions to sparse systems of equations
给定复数$w_1, \ldots, w_n$，我们将0-1向量的集合$X$的权重$w(X)$定义为$X$中所有向量$(x_1, \ldots, x_n)$上的$w_1^{x_1} \cdots w_n^{x_n}$的和。我们提出了一种算法，它为一组$X$定义的齐次线性方程组，最多$r$变量每个方程和最多$c$方程每个变量，计算$w(X)$内的相对误差$ε>0$在$(rc)^{O(\ln n-\ln ε)}$时间提供$|w_j| \leq β(r \sqrt{c})^{-1}$的绝对常数$β>0$和所有$j=1, \ldots, n$。构造了一个类似的算法来计算${\Bbb F}_p$上线性码的权。应用包括计算超图中的加权完美匹配，计算加权图同态，用稀疏码生成矩阵计算线性码的权重枚举，以及计算铁磁Potts模型在低温下的配分函数和硬核模型在高逸度下的双正则二分图的配分函数。
2019-02-05 cs.DM math-ph math.CO
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
Sampling Arborescences in Parallel
我们研究了从一个可能加权的有向图中抽取一棵均匀随机有向有根生成树（也称为树形图）的问题。传统上，这个问题长期以来一直被认为是多项式时间可解的;树形的确切数量可以通过行列式计算[Tut 48]，并且采样可以减少到计数[JVV 86，JS 96]。然而，从抽样到计数的经典减少似乎是内在的顺序。这就提出了设计有效的并行算法进行采样的问题。我们表明，抽样树形可以在RNC中完成。对于几个研究充分的组合结构，计数可以减少到一个行列式的计算，这是已知的NC [Csa 75]。这些包括树形图、平面图完美匹配、有向图中的欧拉之旅和行列式点过程。然而，对这些结构的有效并行采样知之甚少。我们的工作是解决这个谜团的一步。
2020-12-17 cs.DS math.CO math.PR
Quantum state systems that count perfect matchings
本文利用拓扑量子场论将基于 Penrose 公式的 $n$-色顶点多项式范畴化为大分次同调，并证明其滤过版本由面着色生成，在 $n=2$ 时对应完美匹配，从而赋予该多项式新的图不变量意义。
2024-01-15 math.CO math.GT
