计算Toeplitz矩阵行列式的一种快速初等算法
A fast elementary algorithm for computing the determinant of toeplitz matrices
AI总结：
提出一种基于伴随矩阵幂的初等证明方法，实现Toeplitz矩阵行列式的快速计算，复杂度为O(k^2 log n + k^3)。
摘要：
近年来，开发了许多用于计算Toeplitz矩阵行列式的快速算法。目前已知最快的算法复杂度为$k^2\log{n}+k^3$，其中$n$是Toeplitz矩阵的行数，$k$是带宽大小。这是因为该行列式可以表示为相关$k \times k$伴随矩阵的$n$次幂的某些部分的行列式。在本文中，我们给出了这一事实的一个新的初等证明，并提供了各种例子。我们给出了当$k$较小时，Toeplitz矩阵行列式用相应伴随矩阵的特征值表示的符号公式。
英文摘要：
In recent years, a number of fast algorithms for computing the determinant of a Toeplitz matrix were developed. The fastest algorithm we know so far is of order $k^2\log{n}+k^3$, where $n$ is the number of rows of the Toeplitz matrix and $k$ is the bandwidth size. This is possible because such a determinant can be expressed as the determinant of certain parts of $n$-th power of a related $k \times k$ companion matrix. In this paper, we give a new elementary proof of this fact, and provide various examples. We give symbolic formulas for the determinants of Toeplitz matrices in terms of the eigenvalues of the corresponding companion matrices when $k$ is small.
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