Stolarsky不变性原理的一个简单证明
A simple Proof of Stolarsky's Invariance Principle
AI总结：
利用再生核希尔伯特空间，给出了Stolarsky不变性原理的一个简单证明，该原理平衡了单位球面上点的距离和与球冠L2差异，并关联了最坏情况数值积分误差与L2差异。
摘要：
Stolarsky [Proc. Amer. Math. Soc. 41 (1973), 575--582] 展示了一个优美的关系，该关系平衡了单位球面上点的距离和与它们的球冠 $\mathbb{L}_2$-差异，从而将球面上均匀测度的距离积分赋予一个势理论量（Bj{ö}rck [Ark. Mat. 3 (1956), 255--269]）。从不同角度解读，它用 $\mathbb{L}_2$-差异表达了某个希尔伯特空间设置中单位球上函数的最坏情况数值积分误差，反之亦然（第一作者和Womersley [Preprint]）。在本文中，我们利用再生核希尔伯特空间给出了不变性原理的一个简单证明。
英文摘要：
Stolarsky [Proc. Amer. Math. Soc. 41 (1973), 575--582] showed a beautiful relation that balances the sums of distances of points on the unit sphere and their spherical cap $\mathbb{L}_2$-discrepancy to give the distance integral of the uniform measure on the sphere a potential-theoretical quantity (Bj{ö}rck [Ark. Mat. 3 (1956), 255--269]). Read differently it expresses the worst-case numerical integration error for functions from the unit ball in a certain Hilbert space setting in terms of the $\mathbb{L}_2$-discrepancy and vice versa (first author and Womersley [Preprint]). In this note we give a simple proof of the invariance principle using reproducing kernel Hilbert spaces.
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