Laplacian Flow for Closed $G_2$-Structures: Short Time Behavior
Robert Bryant, Feng Xu
证明了紧致流形$M^7$上闭$G_2$结构的Laplacian流解的短时存在唯一性.这个结果在\cite{BryantG2}中被提出，但它的证明从未出现过。
We prove short time existence and uniqueness of solutions to the Laplacian flow for closed $G_2$ structures on a compact manifold $M^7$. The result was claimed in \cite{BryantG2}, but its proof has never appeared.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On homogeneous closed gradient Laplacian solitons
本文证明了齐次闭梯度拉普拉斯孤子的一个结构定理，并利用它给出了闭拉普拉斯孤子不能变梯度的一些例子。更具体地说，我们证明了Nicolini发现的幂零李群上的Laplacian孤子除了$N_1$（其中$f$必须是高斯的）外，不是梯度到位似$G_2$ -结构.我们还证明了Fernánal-Fino-Manero构造的$N_{12}$上的封闭$G_2$ -结构$φ_{12}$不可能是梯度孤子.进一步证明了几乎阿贝尔解流形上的非挠自由梯度Laplacian孤子与$N$上的乘积$N \times \mathbb R^k$是等距的，其中$f$是常数.
On the Obata theorem for the weighted Kohn Laplacian in a closed weighted Sasakian manifold
本文将Kohn-Laplacian的CR Obata定理推广到具有加权体积测度的闭严格伪凸CR流形。更准确地说，我们首先推导出加权CR赖利公式与加权Kohn-Laplacian，并获得相应的第一特征值估计。利用它，我们得到了闭加权Sasakian流形上的CR Obata定理。
Laplacian solitons: questions and homogeneous examples
我们给出了第一个例子，封闭的拉普拉斯孤子的收缩，特别是产生封闭的拉普拉斯流的解决方案与有限时间的奇异性。此外，还发现了由Bryant引入的Ricci pinched G2-结构，它们都是可解李群上的左不变G2-结构。
Laplacian flow of closed $G_2$-structures inducing nilsolitons
研究了单连通非交换幂零李群上定义Ricci孤子度量的左不变闭$G_2$ -结构的存在性.对于每一个$G_2$ -结构，我们证明了非紧流形上Laplacian流解的长时间存在唯一性。此外，考虑相关李代数上的拉普拉斯流作为$\R^7$上的括号流，以类似于[23]中的方式，我们证明了解的基本度量$g(t)$平滑地收敛到平坦度量，直到被时间依赖的同态拉回，当$t$趋于无穷大时，在幂零李群中的紧集上一致地收敛到平坦度量。
Laplacian solitons on nilpotent Lie groups
研究了幂零李群上Laplacian流的封闭$G_2$ -结构的存在性。我们得到了十二个李代数中有七个李代数的闭$G_2$ -结构确实存在拉普拉斯孤子。另外，其中一个方程中存在连续的两两非位似的拉普拉斯孤子族，并且其中四个孤子的拉普拉斯流演化不是对角的。
Closed warped G$_2$-structures evolving under the Laplacian flow
本文研究了拉普拉斯流在$M^6\times{\mathbb S}^1$形式的翘曲积上演化闭GPDMATHABMM-结构的行为，其中基$M^6$是一个具有SU（3）-结构的紧致6-流形.在一般情况下，我们重新解释的流动作为一组发展方程的$M^6$的微分形式定义的SU（3）-结构和翘曲函数。当后者是常数时，我们找到了相应的耦合流解存在的充分条件。这为构造乘积流形$M^6\times{\mathbb S}^1$上Laplacian流的不朽解提供了一种方法。我们的结果的应用显式的情况下，使我们能够获得新的例子扩大拉普拉斯孤子。
New examples of shrinking Laplacian solitons
我们给出了一类单参数收缩拉普拉斯孤子的例子，它们是具有有限时间奇异性的闭$G_2$ -拉普拉斯流的第二已知解。研究了一类大的$G_2$ -结构在不同李群上的挠形式和Laplacian算子、Ricci算子。我们应用这些公式证明了在适当的附加条件下，这类族上的拉普拉斯算子不存在闭本征形。
On a new functional for extremal metrics of the conformal laplacian in high dimension
本文引入了一个新的泛函，用于刻画维数至少为3的闭流形M上共形拉普拉斯算子的共形谱。对于这个新的功能，我们提供了Korevaar型的结果。本文的主体涉及的情况下，领域，但一节是专门用于更一般的闭流形。
Evolution of the first eigenvalue of weighted $p$-Laplacian along the Ricci-Bourguignon flow
设$M$是具有度量$g$的$n$维闭黎曼流形，$dμ=e^{-ϕ(x)}dν$是加权测度，$Δ_{p,ϕ}$是加权$p$ -Laplacian.本文研究了作用在闭黎曼流形上Ricci-Bourguignon流函数空间上的加权$p$ -Laplace算子第一特征值问题的单调性。本文给出了由Ricci-Bourguignon流演化的闭黎曼流形上加权$p$ -Laplacian的特征值的第一变分公式，并得到了各种单调量.最后给出了它在$2$维流形和$3$维流形中的一些应用，并给出了一个例子.
Concentration of eigenfunctions of the Laplacian on a closed Riemannian manifold
研究了闭黎曼流形上拉普拉斯算子的特征函数的集中现象。证明了闭流形的体积测度指数地集中在特征函数的节点集附近。应用Colding和Minicozzi的方法，我们还证明了特征函数的限制指数集中不等式和限制Sogge型$L_p$矩估计.
Metrics on a closed surface of genus two which maximize the first eigenvalue of the Laplacian
在本文中，我们解决了肯定的Jakobson-Levitin-Nadirashvili-Nigam-Polterovich猜想，说明在Bolza曲面上的某个奇异度量，面积归一化，应最大化拉普拉斯算子的第一特征值。
Eigenvalue estimates for Beltrami-Laplacian under Bakry-Émery Ricci curvature condition
在具有Bakry-Émery里奇曲率和势函数的梯度有界的闭黎曼流形上，我们得到了Beltrami-Laplacian算子的所有正特征值的下界，而不是漂移Laplacian算子. $k$第阶特征值的下界依赖于$k$、Bakry-Émery里奇曲率下界、势函数的梯度界以及流形的维数和直径上界，但不涉及流形的体积.特别地，这些结果适用于闭流形的里奇曲率从下面有界。
Laplacian flow for closed G_2 structures: real analyticity
设$φ(t), t\in [0,T]$是紧致7-流形$M$上闭G_2结构的Laplacian流的光滑解.我们证明了对于每个固定的正时间$t\in (0,T]$，$(M,φ(t),g(t))$是实解析的，其中$g(t)$是由$φ(t)$诱导的度量.因此，任何拉普拉斯孤子是真正的分析，我们得到唯一的延续结果的流动。
On eigenfunctions and nodal sets of the Witten-Laplacian
本文研究了Witten-Laplacian的本征函数节点集性质，建立了Courant型定理并给出了闭本征值的乘重上界。
A remark on the Laplacian flow and the modified Laplacian co-flow in G2-Geometry
我们观察到Bryant和Xu作为Laplacian流的规范固定而引入的G2结构的DeTurck Laplacian流可以被认为是G2结构的流（不一定是封闭的），它符合Hamilton在[4]中引入的一般框架。
Laplacian flow of homogeneous G2-structures and its solitons
利用括号流/代数孤子方法研究了均匀情形下$G_2$ -结构的拉普拉斯流及其孤子。我们证明了任何齐次拉普拉斯孤子都等价于一个半代数孤子（即\在齐性空间$G/K$上的$G$不变的$G_2$结构，其通过将$G$的自同构拉回到缩放而流动）。在拉普拉斯孤子中，代数孤子具有“对角”演化的几何特征。不同于里奇流的情形，其中任何齐次里奇孤子是等距代数孤子，我们已经发现，作为上述特征的应用，一个例子的左不变封闭半代数孤子的幂零李群，这是不等价于任何代数孤子。这种孤子的（归一化）括号流演化是周期性的。在具有余维1交换正规子群的可解李群的情形下，得到了任意闭Laplacian流解的长时间存在性，且挠率范数严格递减且收敛于零.我们也在这一类中的代数孤子进行分类，并展示了几个明确的例子，封闭的扩展拉普拉斯孤子。
An optimal inequality between scalar curvature and spectrum of the Laplacian
对于黎曼闭自旋流形，在一定的拓扑假设（$\hat{A}$ -亏格非零或Gromov-Lawson意义下的可扩性）下，给出了关于Laplacian第一特征值的数量曲率下确界的最优上界.主要困难在于奇维情形的研究。另一方面，我们研究了具有非零$\hat{A}$ -亏格的闭自旋黎曼流形的等式情形。本文改进了K. 1988年的小野。
On the first eigenvalue of the Hodge Laplacian of submanifolds
本文证明在空间形式中闭子流形的第一个p-特征值的严格下界等号成立仅可能在正曲率的球面成立。
Variation of the first eigenvalue of $(p,q)$-Laplacian along the Ricci-harmonic flow
本文研究了一类$(p,q)$ -Laplacian算子第一特征值的单调性。通过对初始流形施加一定的条件，得到了在Ricci-调和流演化的闭黎曼流形上的$(p,q)$ -Laplacian算子的第一特征值的一阶变分公式，并构造了各种单调量.
Short-time behaviour of a modified Laplacian coflow of G2-structures
我们修正了共闭G2-结构- $\frac{d}{dt}ψ=Δψ$的Laplacian协流，其中$ψ$是$φ$-结构$G_{2}$的闭对偶4-形式.修改后的流现在是抛物线的封闭形式的方向上，直到双同态。然后我们证明了修改后的流的解的短时存在性和唯一性。
Eigenvaluues monotonicity of Witten-Laplacian along the mean curvature flow
本文导出了作用在闭定向流形上沿中曲率流的函数空间上的Witten-Laplace算子的第一特征值的发展方程。我们在中曲率流下给出了一些有趣的单调量。
Reilly-type inequalities for $p$-Laplacian on submanifolds in space forms
设$M$是$N$维空间型中的$n$维闭可定向子流形.当$1<p \le \frac n2 + 1$时，我们得到了$p$ -Laplacian的第一非零特征值的上界，该上界是由$M$的中曲率和空间型的曲率给出的.这将拉普拉斯算子的Reilly不等式[9，15]推广到$p$ -拉普拉斯算子，并将[8]的工作推广到$p$ -拉普拉斯算子。
Flows of co-closed $G_{2}$-structures
本文综述了$G_{2}$ -结构Laplacian同流，即同闭$G_{2}$ -结构的热流研究的最新进展。我们介绍的性质，原来的拉普拉斯coflow的$G_{2}$ -结构以及修改后的coflow，审查短期的存在性和唯一性结果修改后的coflow和最近施型估计，适用于更一般的一类$G_{2}$ -结构流。
Gradient estimates and parabolic frequency under the Laplacian G_2 flow
本文研究闭七维流形上 Laplacian G_2 流的热方程正解，获得梯度估计与 Harnack 不等式，并证明 Ricci 曲率有界时解的单调性及抛物频率的单调性与向后唯一性。
$G_2$-Laplacian flow on complete asymptotically conical manifolds
本文证明了完备流形上闭的渐近锥形$G_2$-结构的$G_2$-拉普拉斯流的短时间存在性与闭解中的唯一性，给出了依赖初始几何的存在时间下界。
Laplacian flow for closed G_2 structures: Shi-type estimates, uniqueness and compactness
我们为封闭G_2结构的Laplacian流发展了基础理论，这将是未来研究的基础。（一）.我们证明了Riemann曲率张量Rm和挠率张量T沿流的Shi型导数估计，即$Λ(x,t)=\left(|\nabla T(x,t)|_{g(t)}^2+|Rm(x,t)|_{g(t)}^2\right)^{\frac 12}$上的一个界意味着Rm和T的所有共变导数上的界.（二）、我们证明了$Λ(x,t)$将在有限时间奇点处爆破，因此只要$Λ(x,t)$保持有界，流动就将存在。（三）、给出了流的前向唯一性和后向唯一性的新证明，并给出了一些应用。（四）、我们证明了流的一个紧性定理，并利用它加强了（2）的长期存在性结果。（五）、最后，我们研究了Laplacian流的紧孤子解。
Convergence Rate of the Symmetrically Normalized Graph Laplacian
本文的目的是（重新）证明当采样变得无限稠密时，对称规范化图拉普拉斯算子$L=\Id - D^{-1/2}WD^{-1/2}$（来自于由采样光滑流形上的高斯加权核定义的图）收敛于连续流形拉普拉斯算子.相对于样本个数$N$的收敛速度是$O(1/N)$。
Negative eingenvalues of the conformal Laplacian
该研究针对维数不小于3的闭微分流形，证明了对任意不小于共形拉普拉斯算子非正特征值最小数Λ₀(M)的整数k，存在黎曼度量使其共形拉普拉斯恰有k个负特征值，并探讨了Λ₀(M)的上界。
Geometry of the smallest 1-form Laplacian eigenvalue on hyperbolic manifolds
我们与小1-形式拉普拉斯特征值的相对闭链复杂性封闭双曲流形：小特征值对应于闭测地线没有多个边界的表面小亏格。我们描述了这一等价原理在证明双曲3-流形Benjamini-Schramm收敛到$\mathbb{H}^3.$的最优挠同调增长中的潜在应用
Extremal Eigenvalues Of The Conformal Laplacian Under Sire-Xu Normalization
设$(M^n,g)$是维数为$n\ge 3$的闭黎曼流形.研究了$k$阶本征值泛函$\tilde g\in[g] \mapsto λ_k(L_{\tilde g})$在Sire-Xu提出的非体积归一化下的变分性质.我们讨论了在这种正规化下存在极值特征值的必要条件。并讨论了当$k=1$ .
Stable Isoperimetric Ratios and the Hodge Laplacian of Hyperbolic Manifolds
我们发现，对于一个封闭的双曲3-流形的霍奇拉普拉斯算子的第一个特征值的大小上的共精确1-形式相当于一个等周比有关测地线长度和稳定的换向器长度与比较常数，多项式依赖于体积和注入半径的下界，精炼Lipnowski和斯特恩估计。我们使用这个估计表明，存在序列的封闭双曲3-流形的内射半径有界以下和体积走向无穷大的1-形式的拉普拉斯算子的频谱间隙指数消失的体积快速。
The hypersymplectic flow descended from the $G_2$-Laplacian coflow
本文基于正三元体定义超辛和超kähler结构，并通过修改的$G_2$-Laplacian coflow演化得到正三元体流，从而实现从超辛结构到超kähler结构的流形变换。
Local curvature estimates for the Laplacian flow
本文在里奇曲率沿流有界的条件下，给出了闭G_2-结构上Laplacian流的局部曲率估计.主要内容包括Kotschwar-Munteanu-Wang对完备流形上的里奇流的局部曲率估计的思想，以及对Sesum结果的一个新的初等证明和闭G_2-结构上Laplacian流的特殊结构。作为直接结果，该估计给出了Lotay-Wei结果的一个新的证明，该结果是Sesum定理的一个类似。第二个结果是关于闭G_2-结构的Laplacian流的数量曲率的一个有趣的发展方程。粗略地说，我们可以证明数量曲率R_t的时间导数等于R_t的拉普拉斯算子加上一个额外的项，这个额外的项可以写成两个非负量之差。
Lower bounds for the first eigenvalue of the magnetic Laplacian
我们考虑一个黎曼圆柱赋予一个封闭的潜在的1-形式A和研究磁拉普拉斯与磁诺依曼边界条件与这些数据。我们建立了一个尖锐的下界的第一个特征值，并表明，平等的情况下，度量是一个产品的特点。然后，我们看看由两条闭曲线为界的平面域的情况下，并获得一个明确的下界的几何形状的域。我们最后讨论最后一个估计的锐度。
Isoperimetric Bounds for Eigenvalues of the Wentzell-Laplace, the Laplacian and a biharmonic Steklov Problem
本文证明了Wentzell-Laplace算子在欧几里得空间或Hadamard流形的有界域上的低阶特征值的等周界，Laplacian算子在欧几里得空间或Hadamard流形的闭超曲面上的低阶特征值的等周界，以及双调和Steklov问题在欧几里得空间的有界域上的低阶特征值的等周界.特别是，有趣的刚性结果，可以得到如果实现尖锐的界限。
Eigenvalues of the Laplacian under the Ricci Flow
在一个技术性假设下，导出了由里奇流演化的闭流形上拉普拉斯算子的特征值的一阶变分公式，并给出了一些应用.
First eigenvalue of the $p$-Laplacian under integral curvature condition
给出了具有积分曲率条件的闭黎曼流形上$p$ -Laplace算子第一特征值的各种估计.
Eigenvalues of the Witten-Laplacian on compact Riemannian manifolds
本文研究了$n$维紧致黎曼流形上Witten-Laplacian算子闭本征值问题的特征值.给出了特征值的估计。作为应用，我们给出了单位球面上$k^{\text{th}}$特征值的一个精确上界，并对单位球面上的等参极小超曲面，给出了Laplacian算子的$(n+3)^{\text{th}}$特征值的一个显式上界.进一步推广了Reilly关于Laplacian第一特征值的结果.
Uniqueness of Asymptotically Conical Gradient Shrinking Solitons in G_2-Laplacian Flow
本文证明了具有闭G_2-结构的Laplacian流的渐近锥（AC）梯度收缩孤子的唯一性结果：如果两个Laplacian流的梯度收缩孤子渐近于同一个闭G_2-锥，则它们的G_2-结构是等价的，特别地，这两个梯度收缩孤子是等距的。该证明推广了Kotschwar和Wang关于交流梯度收缩Ricci孤子唯一性的论证。我们还证明了AC收缩端的G_2-结构的对称性是从其渐近锥继承而来的;在对基本群的一个温和假设下，渐近锥面的对称性扩展到整体对称性.
Stability of geometric flows of closed forms
证明了紧致流形上向量丛的“闭”截面几何流稳定性的一个一般结果。我们的定理允许证明一个稳定的结果Grigorian介绍的G2-几何中的修改拉普拉斯coflow和作者在以前的论文中介绍的平衡流。
Curvature pinching estimate under the Laplacian G_{2} flow
本文在Laplacian G_{2}流下推导了无迹Ricci曲率关于标量曲率和Weyl张量C^{1}范数的夹挤估计，并应用于研究长时间存在性，证明在标量曲率有界时Weyl张量的C^{1}范数必须以一定速率爆破。
Eigenvalue Estimate for the basic Laplacian on manifolds with foliated boundary
本文给出了作用在边界为黎曼流的紧致流形上的基本$1$ -形式上的基本拉普拉斯算子的第一特征值的一个精确下界。极限情况引起流动和边界的特定几何形状。也就是说，流是局部产物，边界是$η$ -脐线。这允许将$\mathbb R\times B'$与某个群$Γ$的商表征为极限流形。这里，$B'$表示单位封闭球。最后，我们推出了几个刚性结果描述的产品$\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^n$作为边界的流形。
Existence, Convergence and Limit Map of the Laplacian Flow
证明了从任意闭$G_2$ -结构出发的Laplacian流的短时存在唯一性。我们建立了长时间的存在性和收敛性的拉普拉斯流附近的扭转自由$G_2$结构。我们分析了拉普拉斯流的极限映射与无挠$G_2$ -结构的模空间的关系。我们还提出了一些结果，构成了一个相当完整的代数和分析基础研究拉普拉斯流。
A class of eternal solutions to the G$_2$-Laplacian flow
本文研究紧致7维流形上从极值Ricci收缩闭G$_2$-结构出发的G$_2$-Laplacian流，证明其解对所有实数时间存在且保持极值Ricci收缩性质，并推广到内禀挠率具有常范数的情形。
The spectrum of the Laplacian on forms over flat manifolds
本文证明了非紧平坦流形上$k$ -形式的Laplacian的谱总是非负实直线的连通闭区间。证明是基于一个详细的分解结构的平坦流形。
Integral Gauss formula and the Poisson equation for the $G_2$-Laplacian
本文推导了$G_2$-结构与诱导$SU(3)$-结构之间的类Gauss-Codazzi公式，并应用于泊松方程可解性的必要条件，在余齐次一情形下证明了充分性。
Upper bounds for the second nonzero eigenvalue of the Laplacian via folding and conformal volume
该研究以共形体积为工具，证明了闭黎曼流形上拉普拉斯算子体积归一化第二非零特征值的上界，为一大类流形提供有效上界并推广了诸多已知结果。
A sharp upper bound for the first eigenvalue of the Laplacian of compact hypersurfaces in rank-1 symmetric spaces
设$M$是单连通秩1对称空间$\olm$中的闭超曲面.本文利用$\olm$的里奇曲率和以$M$质心为圆心的测地球面的第第二基本型的长度平方，给出了$M$的Laplacian第一特征值的一个上界.
Small eigenvalues of the rough and Hodge Laplacians under fixed volume
对于每个度p，我们在任何闭流形上构造一个黎曼度量族，其体积固定，使得粗糙拉普拉斯算子和霍奇拉普拉斯算子作用于微分p-形式的任何正特征值收敛于零。特别地，在球面上，我们可以选择这些黎曼度量作为非负截面曲率的度量。这是Colbois和Maerten在2010年的结果推广到更高次形式的情况。
Sharp lower bound of the first eigenvalue of the $p$-Laplacian under integral Ricci curvature
该研究针对p≥2的闭流形，在小积分里奇曲率条件下，结合Sobolev截断的全局椭圆估计与一维比较剖面的严格扰动，证明了p-拉普拉斯算子第一非零特征值的尖锐Zhong-Yang型下界。
Stability of torsion-free G_2 structures along the Laplacian flow
证明了无挠的G_2结构沿着闭G_2结构的Laplacian流是（弱）动力稳定的。更精确地说，给定紧致7-流形上的一个无挠的G2结构$φ$，具有与$φ$充分接近的余同调初值的Laplacian流将收敛到一个无挠的G2结构，该结构在与恒等式同素的同胚下位于$φ$的轨道上.
Eigenvalue estimates and L1 energy on closed manifolds
本文研究了带权测度的闭流形上漂移Laplacian算子特征值的Lichnerowicz型估计和漂移热方程的L1和L2能量.从某种意义上说，本文的研究是关于Ricci孤子的本征值估计。
Manifold embeddings by heat kernels of connection Laplacian
我们证明了任何闭$n$维流形$(M,g)$都可以嵌入一个由连通Laplacian的热核构造的映射，以及一个由$δ$ -net $\{q_i\}_{i=1}^{N_0}$通过一个重新缩放技巧在某个时刻截断的热核$t$构造的映射.时间$t$和$N_0$在维数、里奇曲率及其导数、注入半径和体积上都是有界的。此外，这两个地图可以任意接近等距。
Nondegeneracy of the eigenvalues of the Hodge Laplacian for generic metrics on 3-manifolds
本文分析了闭三维流形$M$上一般度量的Hodge Laplacian的特征值和特征函数。特别是，我们表明，非零特征值是简单的和零的1或2度的特征形的集合由孤立点的剩余集$C^r$度量$M$，任何整数$r\geq2$。这一结果的证明取决于对Beltrami（或旋转）算子在共精确1-形式上的详细研究。
Embedding Riemannian Manifolds by the Heat Kernel of the Connection Laplacian
给出了一类满足给定几何条件的闭黎曼流形，基于切丛上Levi-Civita联络的联络Laplacian的热核，将这类流形嵌入到$\ell^2$中.因此，我们可以在这个类中构造一个距离，从而得到一个关于所考虑的类的预紧性定理。
Variational Properties Of The Second Eigenvalue Of The Conformal Laplacian
设$(M^n,g)$是维数为$n\ge 3$的闭黎曼流形.假设$[g]$是一个共形类，其共形拉普拉斯算子$L_g$至少有两个负特征值。我们证明了一个（广义）度量的存在，最大化的第二个特征值的$L_g$在所有的共形度量（第一个特征值是最大化的Yamabe度量）。我们还表明，一个最大的度量定义的节点解决方案的Yamabe方程，或调和映射到一个球。此外，我们构建每个可能性的例子。
Smoothness up to the free boundary for the $p$-Laplacian evolution equation and the $α$-Gauss curvature flow
针对带平侧面的$p$-拉普拉斯发展方程与$α$-高斯曲率流这类带演化自由边界的退化抛物方程，研究者借助固定域上线性退化方程的相关结果，证明了其直至自由边界的光滑短时存在性。
Some universal inequalities of eigenvalues and upper bounds for the $L_{\infty}$ norm of eigenfunctions of the Laplacian
该短篇综述推导非负Ricci曲率闭黎曼流形上拉普拉斯算子特征值的Weyl型普适不等式与特征函数$L_{\infty}$范数上界，指出结果可由Milman与Cheng-Li的工作结合得到，相关详细证明此前未见文献报道。
The Klein quartic maximizes the multiplicity of the first positive eigenvalue of the Laplacian
本文证明在亏格为3的闭双曲曲面中，Klein quartic 最大化了 Laplacian 第一正特征值的重数（等于8），并给出了亏格2的部分结果及特征值重数的一般上界，改进了现有研究。
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