一个一般比较定理
A general comparison theorem
摘要：
本文利用Hellmann-Feynman定理，对形式为$(T+V)|ψ> = E|ψ>$的本征值方程建立了一个一般的比较定理，其中$T$是只与动量有关的动力学部分，$V$是只与位置有关的势.我们假设$H^{(1)}=T+V^{(1)}$和$H^{(2)}=T+V^{(2)}$（$H^{(1)}=T^{(1)}+V$和$H^{(2)}=T^{(2)}+V$）支持两个离散特征值$E^{(1)}_{\{α\}}$和$E^{(2)}_{\{α\}}$，其中${\{α\}}$表示一组量子数。我们证明，如果$V^{(1)} \le V^{(2)}$（$T^{(1)} \le T^{(2)}$）的所有位置（动量）变量，那么相应的特征值是有序的$E^{(1)}_{\{α\}} \le E^{(2)}_{\{α\}}$。给出了一些分析应用。
英文摘要：
Using the Hellmann-Feynman theorem, a general comparison theorem is established for an eigenvalue equation of the form $(T+V)|ψ> = E|ψ>$, where $T$ is a kinetic part which depends only on momentums and $V$ is a potential which depends only on positions. We assume that $H^{(1)}=T+V^{(1)}$ and $H^{(2)}=T+V^{(2)}$ ($H^{(1)}=T^{(1)}+V$ and $H^{(2)}=T^{(2)}+V$) support both discrete eigenvalues $E^{(1)}_{\{α\}}$ and $E^{(2)}_{\{α\}}$, where ${\{α\}}$ represents a set of quantum numbers. We prove that, if $V^{(1)} \le V^{(2)}$ ($T^{(1)} \le T^{(2)}$) for all position (momentum) variables, then the corresponding eigenvalues are ordered $E^{(1)}_{\{α\}} \le E^{(2)}_{\{α\}}$. Some analytical applications are given.
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