对数张量范畴论，III：交织映射和张量积双函子

对数张量范畴论，VI：展开条件，对数缠绕算子的结合性和结合性同构

Logarithmic tensor category theory, VI: Expansion condition, associativity of logarithmic intertwining operators, and the associativity isomorphisms

这是第六部分在一系列的文件中，我们介绍和发展一个自然的，一般张量范畴论适当的模块类别的顶点（运营商）代数。本文（第六部分）构造了三重张量积函子之间的适当的自然结合同构。实际上，我们建立了对数缠绕算子的“对数算子乘积展开式“定理。在这一部分中，需要大量的分析推理;主要定理的陈述本身就涉及收敛性断言。

对数缠绕算子与射影直线上的共形块空间

Logarithmic intertwining operators and the space of conformal blocks over the projective line

我们证明了顶点算子代数的对数模之间的对数交织算子空间与射影线上的三点共形块空间同构。这被认为是Zhu关于普通模之间的普通缠绕算子的结果的推广。

顶点算子代数的弱模与对数缠绕算子

Weak modules and logarithmic intertwining operators for vertex operator algebras

考虑了顶点算子代数的一类弱模，我们称之为对数模。我们还构造了Virasoro顶点算子代数的某些对数模之间的交织算子的非平凡例子。最后，我们推测了在$c=0$水平上的一些可能的对数缠绕。

对数缠绕算子与W（2，2 p-1）-代数

Logarithmic intertwining operators and W(2,2p-1)-algebras

对于每个$p \geq 2$，我们得到了一族$\mathcal{W}(2,2p-1)$ -模的显式构造，这些模分解为单Virasoro代数模的直和.进一步，我们对所有不可约自对偶$\mathcal{W}(2,2p-1)$ -模进行了分类，描述了它们的内部结构，并计算了它们的分次维数。此外，我们还构造了两个普通模和一个对数$\mathcal{W}(2,2p-1)$ -模之间的隐对数交织算子。这项工作，特别是，给出了一个数学上精确的公式和解释什么物理学家一直指的是“对数共形域论“的中心电荷$c_{p,1}=1-\frac{6(p-1)^2}{p}, p \geq 2$。我们的显式结构可以很容易地应用于计算的相关函数。本文的方法可用于研究三重顶点算子代数$\mathcal{W}(2,(2p-1)^3)$和其他对数模型。

Logarithmic Intertwining Operators and Genus-One Correlation Functions

This is the first of two papers in which we study the modular invariance of pseudotraces of logarithmic intertwining operators. We construct and study genus-one correlation functions for logarithmic intertwining operators among generalized modules over a positive-energy and $C_2$-cofinite vertex operator algebra $V$. We consider grading-restricted generalized $V$-modules which admit a right action of some associative algebra $P$, and intertwining operators among such modules which commute with the action of $P$ ($P$-intertwining operators). We obtain duality properties, i.e., suitable associat…

（对数）交织算子的模不变性

Modular invariance of (logarithmic) intertwining operators

本文证明了一个猜想：在 $C_2$-余有限顶点算子代数中，由几何修正的（对数）交织算子的移位伪 $q$-迹的解析延拓所张成的空间在模变换下不变，从而为从亏格零构造亏格一对数共形场论提供了方法。

Differential equations and logarithmic intertwining operators for strongly graded vertex algebras

We derive certain systems of differential equations for matrix elements of products and iterates of logarithmic intertwining operators among strongly graded generalized modules for a strongly graded conformal vertex algebra under suitable assumptions. Using these systems of differential equations, we verify the convergence and extension property needed in the logarithmic tensor category theory for such strongly graded generalized modules developed by Huang, Lepowsky and Zhang.

顶点算子代数模张量积理论的对数推广

A logarithmic generalization of tensor product theory for modules for a vertex operator algebra

本文描述了共形顶点代数的某些模范畴的对数张量积理论。在这个理论中，它是Huang和Lepowsky早期工作的一个自然的，虽然复杂的推广，我们不要求模范畴是半单的，我们容纳具有广义权空间的模。相应的交织运算符包含变量的矩阵。

张量范畴与有理和对数共形场论的数学

Tensor categories and the mathematics of rational and logarithmic conformal field theory

本文综述了由顶点算子代数的表示构造辫张量范畴和模张量范畴的方法，它们对应于物理学中的手征代数。作为这种构造的基础的广泛和一般的理论也建立了交织算子的算子乘积展开，其对应于手征顶点算子，并且更一般地，它建立了对数交织算子的对数算子乘积展开。本文回顾了张量积双函子和结合同构的构造思想。对于有理和对数共形场论，我们回顾了产生辫张量范畴的精确结果，以及在有理的情况下，模张量范畴。在有理共形场论的情况下，我们也简要地讨论了Wess-Zumino-Novikov-Witten模型的模张量范畴的构造，特别是最近关于这一重要特例的模张量范畴的基本刚性性质的证明的发现.在对数共形场论的情况下，我们提到了三元组\mathcal{W} -代数的模的合适范畴，作为我们的辫子张量范畴结构的一般构造的应用的一个例子。

共形顶点代数广义模的对数张量积理论，I

Logarithmic tensor product theory for generalized modules for a conformal vertex algebra, Part I

我们推广的张量积理论的一个顶点算子代数先前开发的一系列文件中的前两个作者适当的模块类别的“共形顶点代数”，甚至更一般地说，为“莫比乌斯顶点代数。我们不要求模范畴是半单的，并且我们容纳具有广义权空间的模。在前面的系列论文中，我们的张量积函子依赖于一个复变数，但在目前的一般性，对数的复变数参与。这第一部分致力于研究对数缠绕算子及其在张量积函子构造中的作用。本书的第二部分将致力于构造三重张量积函子之间的适当的自然结合性同构，证明它们的基本性质，并构造由此产生的辫状张量范畴结构。这项工作包括在目前的一般性完整的证明，可以独立阅读的早期系列文件。

共形顶点代数广义模的对数张量积理论

Logarithmic tensor product theory for generalized modules for a conformal vertex algebra

我们推广的张量积理论的一个顶点算子代数先前开发的一系列文件中的前两个作者适当的模范畴的“共形顶点代数”，甚至更一般地说，为“莫比乌斯顶点代数。我们不要求模范畴是半单的，并且我们容纳具有广义权空间的模。在前面的系列论文中，我们的张量积函子依赖于一个复变数，但在目前的一般性，对数的复变数是必需的;一般表示论的顶点算子代数需要对数结构。本文的第一部分研究对数缠绕算子及其在构造张量积函子中的作用。其余的这项工作是致力于建设适当的自然结合同构之间的三重张量积函子，证明其基本性质，并建设由此产生的编织张量范畴结构。这项工作包括在目前的一般性完整的证明，可以独立阅读的早期系列文件。

$C_{1}$-余有限性与顶点张量范畴

$C_{1}$-cofiniteness and vertex tensor categories

本文推广对数张量范畴理论至模范畴不封闭情形，证明$C_{1}$-余有限广义模的交织算子满足结合性，并赋予该模范畴自然的顶点张量范畴结构。

C_2-余有限顶点算子代数I的张量积平坦性与半刚性

Flatness of Tensor Products and Semi-Rigidity for C_2-cofinite Vertex Operator Algebras I

研究了CFT型C_2-余有限顶点算子代数的性质。如果它也是有理的且V' \cong V，那么Huang已经证明了模的张量范畴的刚性。当我们处理一个无理C_2-上有限VOA时，刚性太强了，因为它几乎等价于我们所看到的有理。我们引入了一个自然的较弱的条件“半刚性”。在此条件下，我们证明了以下结果。对于V-模V和一个N-生成V-模M的投射覆盖P，M的投射覆盖是由对数交织算子定义的张量积P \boxtimes M的直和项.利用这一结果，我们证明了有限生成模的平坦性，即对于任意的张量积V-模A，B，C和D，如果0 \to A \to B \to C \to 0是正合模，则0 \to D \boxtimes A \to D \boxtimes B \to D \boxtimes C \to 0也是正合模.作为推论，我们得到：如果一个半刚性C_2-余有限V包含一个具有相同Virasoro元的有理子VOA，则V是有理的。