Unimodal Polynomials and Lattice Walk Enumeration with Experimental Mathematics
本论文的主题是重组方法，以适应不同的情况。我采用了O 'Hara提出并由Zeilberger简化的方法来证明$q$ -二项式的单峰性，并对其进行了调整，这使得我们可以创建更多的多项式族，这些多项式族的单峰性不是先验的。我分析了有多少调整会影响结果多项式。Ayyer和Zeilberger证明了关于有界格游动的一个结果。我采用他们的生成函数关系的技术来分析晶格行走一般步骤设置在有界，半有界，无界平面。我们这样做的方法是高度算法化的，这样计算机就可以自动化大部分工作，如果不是全部的话。我很容易地恢复了许多著名的结果为简单的步骤集和发现新的结果为更复杂的步骤集。
2018-04-16 math.CO
Lattice walks ending on a coordinate hyperplane avoiding backtracking and repeats
我们在$\mathbb{Z}^{r+1}$中使用以$x_{r+1} = 0$结束的步骤集$\{\pm 1\}^{r+1}$来处理格行走。我们进一步施加避免回溯（即$[v,-v]$）和避免连续步骤（即$[v,v]$）的条件，每个条件都可能与限制到半空间$x_{r+1} \geq 0$相结合。我们发现，在所有情况下，这种散步的生成函数是代数的，并给出明确的公式。我们还发现多项式递归的系数。从生成函数中，我们找到了考虑的每个行走族的渐近枚举。枚举在特殊情况下，包括中央二项式系数和Catalan数，以及关系到枚举的另一个家庭的散步以前研究，我们提供双射。
2021-07-27 math.CO
A probabilistic approach to enumeration of Gessel walks
我们考虑Gessel在平面上行走，从原点$(0, 0)$开始，保持在第一象限$i, j \geq 0$中，并由西，东北，东和西南步骤组成。让$F(m; n_1, n_2)$表示这些行走的确切$m$步骤结束于点$(n_1, n_2)$的数量，Petkovšek和Wilf提出了几个类似的类似于著名的Gessel猜想。本文建立了一个Gessel游动的概率模型，它涉及到恶性游动问题。该模型有助于我们获得$F(n+k+r;n+k-r,n)$和$F(n+2k; n, 0)$的具有二项式系数的线性齐次递推关系。确切地说，$\frac{n! k! (n+k+1)!}{(2n+2)!} F(2n+2k;0,n)$是首项为$2^{3k-2} n^{2k-2}$的具有所有整数系数的多项式，而$\frac{k! (k+1)!}{n+1} F(n+2k;n,0)$是首项为$n^{2k-1}$的具有所有整数系数的多项式。因此，Petkovšek和Wilf的两个代数得到了解决。
2009-03-02 math.CO
The Enumeration of Prudent Polygons by Area and its Unusual Asymptotics
谨慎行走是一种特殊的自我回避行走，从不向已经被占用的位置迈出一步，而\emph{$k$-sided prudent walks}（与$k=1,2,3,4$）本质上只允许沿着$k$方向生长。谨慎多边形是返回到与其起点相邻的点的谨慎行走。谨慎的步行和多边形先前已按长度和周长枚举（Bousquet-Mélou，Schwerdtfeger; 2010）。我们考虑由\emph{area}枚举\emph{prudent polygons}。对于3边簇，我们发现，生成函数表示在一个$q$ -超几何函数，与积累的极点向主导奇点。这个表达式揭示了一个不寻常的渐近结构的多边形的面积$n$，其中的临界指数是超越数$\log_23$和振幅涉及微小的振荡。基于数值数据，我们也期望类似的现象发生在4边多边形。渐近方法涉及到原始组合的梅林变换技术和奇异性分析，这是潜在的利益，在一些其他的渐近枚举问题。
2021-11-04 math.CO
Some simple bijections involving lattice walks and ballot sequences
在这篇笔记中，我们观察到，一个双射相关的Littelmann的根操作（类型$A_1$）透明地解释了著名的枚举长度的散步$\N$（左因子的Dyck路径），以及其他一些重合枚举。我们表明一个关系与双射解决方案的贝特朗的选票问题：这些可以机械地转化为双射证明上述枚举公式。
2010-10-23 math.CO
Enumeration of walks on lattices. I
本文对加权图的笛卡儿积、双积、对称和外幂、双幂、Schur运算、覆盖和半覆盖上的行走数的计算给出了一种有条理的方法。对于半单李代数的权格和根格，这种方法允许我们计算各种组合常数和表示论常数，特别是给定顶点数的平面辛波图的数目。
1998-03-26 math.CO math.RT
Enumeration of simple random walks and tridiagonal matrices
我们提出了一些旧的和新的结果在计数的随机游动在一维，主要是在工程的计数组合。三对角矩阵的$n$次幂的迹与$n$步的加权路的枚举之间的关系允许路的更容易的组合枚举。这对于三对角随机矩阵的理论也是有希望的。
2002-01-31 cond-mat.stat-mech hep-lat math.CO
Exact enumeration of self-avoiding walks on BCC and FCC lattices
体心立方（BCC）和面心立方（FCC）晶格上的自避免行走的枚举长度分别为28和24，使用长度加倍的方法。分析的枚举结果产生的值的指数$γ$和$ν$，这是在协议，但不太准确，比那些更早从简单的立方晶格的枚举结果。精确地确定非通用生长常数和振幅，产生BCC晶格$μ=6.530520(20)$、$A=1.1785(40)$和$D=1.0864(50)$，以及FCC晶格$μ=10.037075(20)$、$A=1.1736(24)$和$D=1.0460(50)$。
2017-03-27 cond-mat.stat-mech math.CO
Refining enumeration schemes to count according to permutation statistics
我们考虑的问题，计算分布的置换统计量的限制置换通过枚举计划。限制排列是那些避免了vincular模式集（包括经典模式和连续模式）的排列，并且统计量以某些vincular模式的副本数（如下降统计量和主索引）来描述。枚举方案是一种多项式时间算法（具体地说，是一种递归关系系统），用于计算避免给定的一组vincular模式的排列数。枚举方案最显著的特点是它们可以通过有限的计算来发现和证明。我们证明了，当一个有限的枚举计划存在，以计算避免一组特定的vincular模式的排列的数量，该计划也可以计算某些排列统计量的分布，很少的额外计算。
2014-01-01 math.CO
Explicit formulas for enumeration of lattice paths: basketball and the kernel method
本文讨论整数上有向格行走的计数问题，从给定的高度$j$开始，到给定的高度$k$结束，有附加的限制，例如，永远不能到达高度$0$之间。我们首先讨论整数上的步数为$-h, \dots, -1, +1, \dots, +h$的游动的情形。$h=1$的情形等价于经典的Dyck路，对于经典的Dyck路，已知有许多方法可以得到包含Catalan-like数的显式公式。案例$h=2$对应于“篮球”走步，我们将详细介绍。然后，我们继续讨论更一般的情况，即具有任何有限集步骤的行走，也允许与每个步骤相关联的一些权重/概率。我们展示了如何广泛适用的方法，所谓的“内核方法”，导致明确的公式的长度$n$，任何$h$，在嵌套的总和二项式的行走的数量。最后，我们将一些特殊情况下，其他组合问题，或排队论中出现的问题。
2017-02-03 math.CO
Automatic Classification of Restricted Lattice Walks
我们提出了一个实验数学方法，导致计算机驱动的发现的各种结构特性的一般计数函数来自枚举的散步。
2009-06-01 math.CO
Algebraic area enumeration for open lattice walks
本文扩展算符方法，计算方形格点上固定长度与代数面积的开放行走数量，并推导端点位于特定直线及完全固定端点情形的计数方法。
2022-06-24 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
A non-backtracking Polya's theorem
Pólya的随机游动定理指出，$d$维网格上的随机游动对于$d=1,2$来说是循环的，对于$d\ge3$来说是瞬时的。我们证明了一个版本的Pólya的随机游动定理的非回溯随机游动。也就是说，我们证明了$d$维网格上的非回溯随机游动对于$d=2$是常返的，对于$d=1$，$d\ge3$是瞬态的。一路上，我们证明了几个有用的一般事实，非回溯随机游动图。此外，我们的证明包括一个精确的枚举的数量封闭的非回溯随机游动在一个无限的2维网格。这个枚举表明了网格上的非回溯随机游动和三项式系数之间的有趣的组合联系。
2016-10-15 math.CO
Enumeration of non-crossing partitions according to subwords with repeated letters
一个避免模式，其中的字母在一个出现的要求是相邻的被称为一个子字。在本文中，我们根据每个子字模式都包含重复字母的几个无限族的出现次数，来枚举长度为n的非交叉划分集NC_n的成员。作为结果的一个结果，我们得到了NC_n（n >= 0）中所有长度为3且含有重复字母的子字模式的显式母函数计算公式.此外，推导出了各种模式族在NC_n的所有成员上出现的总次数的简单表达式。最后，给出了NC_n上三个无限子字等价族的组合证明，推广了如下等价：211 = 221，1211 = 1121和112 = 122.
2023-03-11 math.CO
Asymptotic Enumeration of Difference Matrices over Cyclic Groups
我们确定了欧几里德格上的某类随机游动与循环群上的差分矩阵之间的关系。然后，我们使用傅里叶分析的技术来估计这些随机游动的返回概率，这反过来又产生了差矩阵的渐近数在循环群的列数增加。
2017-06-02 math.CO math.PR
Exact and asymptotic enumeration of cyclic permutations according to descent set
利用Gessel和Lettenauer的一个结果，我们找到了一个关于给定下降集的轮换数的简单公式，将其表示为普通下降数（即，那些计数具有给定下降集合的所有排列的排列）。然后，我们使用这个公式表明，对于几乎所有的集合$I \subseteq [n-1]$，具有下降集合$I$的大小- $n$置换是$n$ -循环的部分是渐近的$1/n$。作为一个特例，我们恢复了交替循环的Stanley结果。我们还使用我们的公式来计算没有两个连续下降的周期。
2019-07-15 math.CO
$x(1-t(x+x^{-1}))F(x;t) = x-tF(0;t)$
Johannes Kepler Universität Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学）
本文介绍了格子行走计数问题，通过代数方法和生成函数探讨其解决方法，重点在于简单行走的计数及不同技术的应用。
2026-01-20 math.CO
Enumeration of Random Walk Positions in $L_1$-norm ball in $\mathbb{Z}^d$
本文主要是推导出计算单位步长的$\mathbb{Z}^d$中$n$步随机游动可能位置的一般公式，记为$|P_n^{d}|$ .对于我们的结果，我们首先提出了计数公式的递推关系：$|P_n^{d+1}| = |P_n^d| + 2\sum_{k=0}^{n-1} |P_k^d|$。其次，我们提出了利用母函数和Faulhaber公式推导$|P_n^{d}|$显式公式的两种方法。最后，我们在公式的矩阵表示中得到了主要定理。
2022-10-02 math.CO math.NT math.PR
Algebraic area enumeration of random walks on the honeycomb lattice
研究了蜂窝格上给定长度和代数面积的闭游动的计数问题。使用一个不可约的运营商实现蜂窝晶格移动，我们映射到一个霍夫斯塔德一样的哈密顿问题，并表明，生成函数的封闭行走映射到大配分函数的质点系的不相容统计顺序$g=2$和一个适当的频谱，沿着先前建立的两个作者的连接线。重新解释的结果，在标准的霍夫斯塔德光谱要求的混合物$g=1$（费米子）和$g=2$排斥的物理意义和性质需要进一步阐明。在这种情况下，我们还获得了一些意想不到的斐波那契序列内的权重的组合因素出现在计数的散步。
2021-07-22 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Enumeration of three quadrant walks with small steps and walks on other M-quadrant cones
该研究将四分之一平面小步游走计数的相关结果推广到任意M象限锥情形，推导了刻画生成函数的解析泛函方程，明确了不同M值下生成函数的代数、D有限或D代数性质。
2023-12-19 math.CO math.PR
Analytic Combinatorics in Several Variables: Effective Asymptotics and Lattice Path Enumeration
分析组合学领域通过其生成函数的分析性质研究序列的渐近行为，导致了深入而强大的工具的发展，并在数学和自然科学中应用。除了现在经典的单变量理论，最近的工作在多变量分析组合学（ACSV）的研究表明，如何获得渐近的系数的某些D-有限的功能所表示的多元有理函数的对角线。我们给出了一个教学介绍ACSV的方法，从计算机代数的观点，制定严格的算法，并给出了第一个复杂的结果，在这方面的条件下，得到广泛的满足。此外，我们给出了几个新的应用ACSV有限区域的格行走的计数。除了证明几个开放式的渐近性，这样的散步，详细研究了格步行模型的加权步骤进行。
2017-09-15 cs.SC math.CO
Enumeration of walks in multidimensional orthants and reflection groups
本文利用普适性将多维正交卦限游走模型关联至多面体域，揭示其变换群与反射群的联系并给出群无限的条件，同时研究节点域特征值以推导往返计数的精确渐近性质。
2025-01-10 math.CO math.PR math.SP
An explicit formula of hitting times for random walks on graphs
本文证明了一般连通图上随机游动的首中时的一个显式公式。应用该公式改进了一般图的首中时的Lawler界，证明了邻顶点的首中时的一个精确界，并导出了某些特殊图的首中时的闭公式.
2013-11-30 math.CO
Sieved Enumeration of Interval Orders and Other Fishburn Structures
根据Eriksen和Sjöstrand（2014）的结果，我们详细介绍了一种从适当的Mahonian结构构建遵循Fishburn分布的结构的技术。这种技术是在Bousquet-Mélou et al.（2010）的bivincular模式上引入的，然后用于引入以前未考虑的一类匹配;明确地，根据右交叉和左嵌套的弧的数量的零对齐匹配。然后，我们定义了Claesson和Linusson（2011）的阶乘偏序集的统计量，计算我们称为错误标记的特征的数量，并证明根据错误标记的数量，阶乘偏序集遵循Fishburn分布。作为我们的方法的结果，我们发现一个身份的菲什伯恩数的Mahonian数。
2015-03-10 math.CO
The algebraic area of closed lattice random walks
给出了一个包含给定代数区域的长度为$n$的闭格随机游动的计数公式。信息包含在编码的Kreft系数，在相称的情况下，Hofstadter长期方程的量子粒子跳跃的晶格耦合到一个垂直的磁场。代数区域枚举是可能的，因为它被分成$2^{n/2-1}$部分，每个部分都可以用显式的组合表达式来处理。
2019-02-13 math-ph math.CO math.MP
Enumeration of m-ary cacti
本文的目的是列举各类循环着色的m-y-plane仙人掌，称为m-ary仙人掌。这个组合问题的动机是复杂的多项式的拓扑分类，最多有m个临界值，研究Zvonkin和其他人。我们得到明确的公式标记和未标记的m元仙人掌，根据i）多边形的数量，ii）顶点颜色分布，iii）每种颜色的顶点度分布。我们还列举了m元仙人掌根据其自同构群的顺序。使用推广的水獭的公式，我们表示的物种的m元仙人掌的根和指出仙人掌。然后使用m维拉格朗日反演的变体来枚举这些结构。无根平面映射的Liskovets计数方法也适用于m元仙人掌。
1999-01-28 math.CO
More models of walks avoiding a quadrant (extended abstract)
本文继续研究避开负象限的平面格路径计数，详细解决了允许全部 8 个最近邻步的国王游走模型，证明其生成函数与一个简单显式的 D-finite 级数相差一个代数级数，并预期该代数性现象在另外 4 个可用反射原理求解的模型中仍会成立。
2021-09-29 math.CO
Enumeration of parallelogram polycubes
在本文中，我们列举了根据几个参数的可调多立方体。在建立了多重Zeta函数与多角形的Dirichlet母函数之间的关系后，我们将其推广到多角形的情形。通过刻画其投影，给出了多立方体按宽、长、深的显式公式和一般生成函数。然后，这些结果被推广到多超立方体。
2021-05-03 cs.DM math.CO
Asymptotic lattice path enumeration using diagonals
本文给出了Weyl室中游动族的新的渐近公式。这里研究的模型定义的步骤集，表现出许多对称性，并限制到第一正交。得到的公式非常简单：每个模型的指数增长性由步数给出，而次指数增长性仅取决于底层晶格的维数和在每个坐标中向前移动的步数。这些表达式是通过分析一个多元有理函数的奇异变化而得到的，该函数的对角线数为所讨论的格路径。此外，我们将展示如何计算这些模型的次显性增长，以及如何确定一阶渐近的偏移。
2014-10-06 math.CO
Spin correlation functions, Ramus-like identities, and enumeration of constrained lattice walks and plane partitions
本文讨论了周期海森堡XX链上翻转自旋分布的平均值与计数组合学某些方面的关系。Bethe向量是模型的状态向量，被认为是在壳和离壳的。正是这种方法，使人们有可能表示和研究的关联函数的形式不相交的嵌套的晶格行走和相关的平面分区。我们区分两种类型的步行者，即锁步模型和随机转弯。特别感兴趣的是随机转弯行走和循环矩阵的连接。得到了对角部分高度固定的平面分区的范迹母函数的行列式表示，作为离壳N粒子Bethe态的母指数的期望.在双标度极限下，计算了演化参数较大时生成指数动态均值的渐近性。结果表明，领先的渐近的振幅依赖于对角约束的平面分区的数量。
2022-11-29 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
More refined enumerations of alternating sign matrices
我们研究了进一步细化的标准细化枚举交替符号矩阵（ASMs）根据其前两行，而不仅仅是第一行，和更一般的“D-细化”枚举的ASMs根据前D行。对于d=2的双精化情形，我们导出了一个由枚举这种矩阵的双精化枚举数A_{n,i,j}所满足的线性方程组。本文给出了A_{n,i,j}的一个显式公式，并给出了关于确定A_{n,i,j}的线性方程组的充分性和关于线性方程到一般d-加细枚举的推广的几个其它说明。
2009-04-15 math-ph math.CO math.MP
Square lattice walks avoiding a quadrant
本文研究避开负象限和西象限的方格点阵行走，证明其生成函数与简单 D-有限级数相差一个代数级数，并给出终点指定时步数计数的闭式表达，同时揭示其与 Gessel 行走枚举的联系。
2016-06-14 math.CO math.PR
Winding of simple walks on the square lattice
描述了一种计算$\mathbb{Z}^2$上简单对角行走的方法，该方法的起点和终点固定在一个轴上，绕原点的缠绕角固定。该方法涉及到这样的散步分解成更小的块，其中的生成函数被编码在一个交换集的希尔伯特空间运营商。一般的计数问题，然后通过获得一个明确的特征值分解这些运营商涉及椭圆函数解决。通过进一步将走线的中间缠绕角限制到某个开区间，该方法可用于对限制到开度角为$π/4$的整数倍的$\mathbb{Z}^2$中的锥体的各种类别的走线进行计数。我们提出了三个应用程序的主要结果。首先，我们找到一个明确的生成函数的行走在这样的圆锥，开始和结束在原点。在特定的情况下，锥角$3π/4$这些步行直接相关的Gessel的步行在象限，我们提供了一个新的证明他们的枚举。接下来，我们研究的缠绕角分布的一个简单的随机游动在$\mathbb{Z}^2$周围的一个点在其起始点附近，我们确定离散类似物的已知双曲正割定律和概率解释的雅可比椭圆函数。最后，我们将希尔伯特空间中的一个算子的谱与$\mathbb{Z}^2$中围绕原点具有固定卷绕数的闭环的计数联系起来。
2020-02-04 math-ph math.CO math.MP
Counting trees using symmetries
本文证明了按度分布计数的多型Cayley树的生成函数的一个新公式。利用这个公式，我们恢复和推广了关于树的几个计数结果。特别是，我们推广了Knuth和Bousquet-Mélou和Chapuy关于嵌入树的一些结果。本文还给出了多元拉格朗日反演公式的一个新的证明。我们计算树的策略是利用精确枚举公式的对称性：证明这些对称性很容易，一旦证明了对称性，公式就毫不费力地遵循了。我们还采用这种策略来恢复一个枚举公式的Goulden和杰克逊仙人掌计数根据其程度分布。
2013-04-05 math.CO
Enumeration of symmetry classes of convex polyominoes in the square lattice
本文研究了正方形格上旋转型凸多项式和同余型凸多项式的计数问题。这些可以被定义为轨道群C4的旋转，和D4，对称的平方作用于（平移型）多项式。根据伯恩赛德引理，它足以列举由C4和D4的元素定义的多项式的各种对称类（不动点）。使用Temperley-Bousquet-Melou方法，我们解决了这个问题，并根据宽度，高度和面积提供显式或递归公式的生成函数。我们还列举了类的非对称凸多项式，使用Moebius反演，并证明其数量是渐近等价的凸多项式的数量，这是一个事实，这是显而易见的经验。
1998-03-30 math.CO
Enumeration of Latin squares with conjugate symmetry
一个拉丁方有六个共轭的拉丁方，它们是通过对它的（行、列、符号）三元组进行均匀排列而得到的。我们说一个拉丁方具有共轭对称性，如果它的六个共轭中至少有两个相等。我们列举了具有共轭对称性的拉丁方，并根据几种常见的等价概念对其进行了分类。我们还在其他假设下进行类似的枚举，例如假设拉丁方是简化的、对角的、幂等的或幂单的。我们的数据纠正了早期文献中的一个错误，并提出了几种模式，我们随后找到了证明，包括（1）$n$阶半对称幂等拉丁方的同构类的数量等于$n+1$阶半对称幂单拉丁方的同构类的数量，以及（2）假设$A$和$B$是$n\not\equiv0\bmod3$阶全对称拉丁方。如果$A$和$B$是对位的，则$A$和$B$是同构的。
2021-04-16 math.CO
Enumeration of three-quadrant walks via invariants: some diagonally symmetric models
本文利用Tutte不变量统一求解三象限锥中的八个对角对称格点游走模型，确定其中五个模型的生成函数分别为代数、D-有限或D-代数，并给出正调和函数的显式代数描述。
2021-12-10 math.CO math.PR
Combinatorial Insight of Riemann Boundary Value Problem in Lattice Walk Problems
本文从组合学角度揭示了黎曼边值问题中指标与共形粘合函数的本质，并建立了核方法、RBVP方法与Tutte不变量方法之间的统一联系。
2025-05-09 math.CO
Making Walks Count: From Silent Circles to Hamiltonian Cycles
本文展示矩阵转移方法在沉默圈游戏、反棱柱图哈密顿圈及任意图固定长度路径与圈计数问题中的应用。
2017-08-25 cs.DM math.CO
Lattice random walks and quantum A-period conjecture
本文推导了方形和三角形格点上带符号面积的经典闭合随机游走生成函数的显式表达式，将其映射到类Hofstadter哈密顿量迹并关联排斥粒子簇系数，还提出其与拓扑弦理论中量子A周期的猜想联系。
2025-05-20 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Higher Dimensional Lattice Walks: Connecting Combinatorial and Analytic Behavior
我们考虑非负格$\mathbb{N}^d$上的行走的枚举，其中步骤由集合$\mathcal{S} \subset \{-1, 0, 1\}^d \setminus \{\mathbf{0}\}$定义。以前的工作在这方面已经建立了渐近的一些家庭的模型，通过应用技术的分析组合在几个变量（ACSV），其中一个编码的生成函数的格路径模型作为一个多元有理函数的对角线的行走。梅尔泽和米什纳获得渐近时，一套步骤$\mathcal{S}$是对称的每一个轴;在这种情况下，人们总是可以适用的方法ACSV多元有理函数的一套奇点是一个光滑流形（最简单的情况）。在这里，我们更进一步，提供了模型的生成函数，必须编码的多元有理函数与非光滑奇异集的渐近性。在这个过程中，我们的分析连接过去的工作，更深层次的结构结果在多变量的分析组合理论。一个应用是一个封闭形式的渐近模型定义的步骤集是对称的，但一个轴。作为一种特殊情况，我们应用我们的结果时，$d=2$给Bostan和Kauers所证明的渐近性的严格证明;渐近的步行返回边界轴和原点也给出了。
2019-05-07 math.CO
Asymptotics of lattice walks via analytic combinatorics in several variables
考虑二维非负整数格上具有短步的游动的计数。直到同构有79个独特的二维模型考虑，和以前的工作在这方面已经使用的核心方法，随着严格的计算机代数方法，表明23的79个模型承认D-有限生成函数。2009年，Bostan和Kauers使用Padé-Hermite逼近来猜测这23个生成函数所满足的微分方程，在这个过程中猜测它们的系数序列的渐近性。在这篇文章中，我们提供了，第一次，一个完整的严格验证这些猜测。我们的技术是使用核方法来表示的23个生成函数的三变量的对角线有理函数的19个，并应用分析组合学的方法在几个变量（其余4个模型具有代数生成函数，因此可以处理的单变量技术）。这种方法还显示了模型的组合属性和渐近特性（如渐近和多项式增长因子）之间的联系。此外，我们给出了表达式的数量的步行返回到x轴，y轴，和原点，证明最近被证明的渐近Bostan，Chyzak，范Hoeij，Kauers和Pech。
2016-02-26 math.CO
Counting formulas associated with some random matrix averages
从典型群随机矩阵上平均的长期和逆长期系数的矩与具有规定的行和列和的非负矩阵的计数有关。相似的随机矩阵平均值与恶性随机游走者的某些配置和平面划分的枚举有关。研究了随机Hermitian矩阵和Wishart矩阵的特征多项式的平均值的组合意义，从而得到了几个简单的普适性结果。
2005-03-01 math-ph math.CO math.MP
Enumeration of symmetry classes of convex polyominoes on the honeycomb lattice
Hiscononal polyominoes是蜂巢晶格上的polyominoes。我们列举了凸六角多项式的对称类。这里，凸性被理解为沿着三个主要列方向的凸性。我们推导出生成系列的自由（即反射和旋转）和非对称凸六角多项式，根据面积和半周长。我们给出了生成级数的显式公式或隐式函数方程，这便于计算机代数。
2004-03-10 math-ph math.CO math.MP
On the algebraic area of cubic lattice walks
本研究提出立方格点上指定长度与3D代数面积的闭合随机游走的显式枚举公式，该公式可映射到三类量子排斥统计粒子的集团系数，满足两类g=1费米子数量相等的约束。
2023-07-17 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Polyharmonic functions and random processes in cones
研究了锥中布朗运动和随机游动的多调和函数。这些函数消除了连续设置中的通常拉普拉斯算子和离散设置中的离散拉普拉斯算子的一些功率。我们表明，自然出现的多调和函数，而考虑渐近展开的热内核在布朗的情况下，在晶格行走计数问题。本文分别在连续和离散情形下，给出了利用拉普拉斯变换和母函数构造一般多重调和函数的方法。这是通过使用函数方程方法来完成的。
2020-04-08 math.CO math.PR
Integrability of Combinatorial Riemann Boundary Value Problem and Lattice Walks Avoiding a Quadrant
提出矩阵形式 cRBVP 框架，将格路函数方程的可积性归结为关联矩阵特征空间，并解释三象限格路的轨道和判据与反例。
2025-06-11 math-ph math.CO math.MP
Functional centrality in graphs
本文引入函数中心性作为子图中心性的推广。我们提出了一种根据从节点开始和结束的封闭行走的数量来表征图中节点的通用方法。闭合行走根据我们需要测量的拓扑特征进行适当的加权。
2006-10-04 math.CO math.SP
3d positive lattice walks and spherical triangles
在本文中，我们探讨的渐近计数的三维游览限于正八分圆。如[29]所示，指数增长性和临界指数都有普适公式，分别是关于阶跃集和某个球面三角形的主Dirichlet特征值的清单，该球面三角形本身由模型的阶跃来表征。我们的研究重点是临界指数，主要目的是研究步集的组合性质（所谓的行走群的结构，Hadamard分解的存在性，生成函数满足的微分方程的存在性）与相关球面三角形的几何或分析性质的关系（显着的角度，平铺性质，存在一个特殊的封闭形式的公式的主要特征值）。一般的特征值的狄利克雷问题的球面三角形是不知道在封闭的形式，我们还开发了一个有限元方法来计算近似值，通常与十位数的精度。
2019-12-24 cs.NA math.CO math.NA
Colored loop-erased random walk on the complete graph
从一个被视为遍历某个值集的序列开始，我们将相关的循环擦除遍历视为一个有向边序列，如果循环擦除遍历从$i$到$j$进行一步，则边从$i$到$j$。我们引入了这些边的着色，只要行走不会循环回自身，就用固定的颜色绘制边，然后每当循环被擦除时切换到新的颜色，每个新颜色都与之前的所有颜色不同。然后，沿着循环擦除走线的边缘的颜色图案显示未被循环擦除过程触及的走线的连续步骤的延伸。假设生成循环擦除遍历的底层序列是独立随机变量的序列，每个随机变量在$[N]:=\{1, 2, ..., N\}$上是均匀的，对于某些$1 \leq k \leq N-1$，我们将遍历条件设定为从$N$开始，并在首次到达子集$[k]$时停止遍历。我们与分布的随机长度的这个循环擦除步行的分布的第一个循环的长度的步行，通过凯莱的枚举树，并通过威尔逊的算法。对于固定的$N$和$k$，以及$i = 1,2, ...$，令$B_i$表示从$N$到$[k]$的循环擦除遍历具有$i +1$或多个边的事件，并且这些边的$i^{th}$和$(i+1)^{th}$被不同地着色。我们表明，给定的循环擦除随机游动有$j$边缘的一些$1\leq j \leq N-k$，事件$B_i$为$1 \leq i \leq j-1$是独立的，与概率$B_i$等于$1/(k+i+1)$。这确定了循环擦除行走的不同颜色段的随机长度序列的分布，并产生这些随机长度…
2006-11-25 math.CO math.PR
Hall-Littlewood polynomials, affine Schubert series, and lattice enumeration
本文引入Hall-Littlewood-Schubert级数，通过变量替换解决p-adic格枚举等问题，提供Hecke级数新公式，并作为Stanley-Reisner环Hilbert级数的q-模拟，推广Littlewood恒等式。
2025-04-25 math.CO math.GR math.NT
