Elements of mathematical foundations for a numerical approach for weakly random homogenization problems
这项工作是我们以前的工作“一个数值方法相关的缺陷型理论的一些弱随机问题的均匀化”（预印本可在此存档）的后续工作。它扩展和补充，理论和实验上，那里提出的结果。考虑的是弱随机非均匀材料模型的均匀化。该材料由参考周期性材料随机扰动另一个周期性材料，使其均匀化的行为是接近的参考材料。我们考虑的随机扰动的法律更普遍的比我们以前的工作上面引用。我们证明了渐近展开的有效性，在一定的一类设置。我们还扩展了在我们以前的工作中引入的正式方法。我们的微扰方法与固体物理学的缺陷型理论具有共同的特征。证明了该方法的计算效率。
2010-05-21 math.AP
Periodic homogenization of a class of weakly coupled systems of linear PDEs
本文利用状态切换扩散过程的弱收敛、解的概率表示及连续映射定理，建立了一类快速周期振荡系数的弱耦合线性椭圆与抛物方程组的周期均匀化理论。
2023-12-06 math.AP math.PR
A numerical approach related to defect-type theories for some weakly random problems in homogenization
在本文中，我们提出了一种方法来计算均匀化的行为的介质，这是一个小的随机扰动的周期性参考材料。我们所考虑的随机扰动，在我们的工作中，从某种意义上说，是微观水平上的一个罕见事件。然而，它会影响材料的宏观性质，我们确实提供了一种计算一阶和二阶修正的方法。为此，我们正式建立一个渐近展开的宏观性质。我们的微扰方法与固体物理学的缺陷型理论具有共同的特征。证明了该方法的计算效率。
2010-05-21 math.AP
Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional elasticity
本文讨论三维弹性力学中弱矫顽积分能与振荡密度$\mathbb{L}(x/ε)\nabla v : \nabla v$的$Γ$收敛的均匀化问题。能量是弱强制性的，在这个意义上，经典的功能性满足的周期张量L（使用光滑的测试函数v与$\mathbb{R}^3$中的紧支持），读作$Λ(\mathbb{L}) >0$，被替换为放松的条件$Λ(\mathbb{L}) \ge 0$。令人惊讶的是，我们证明了与[2]的似乎先验更受约束的二维情况相反，对于满足$\mathbb{L}(y)M : M + D : {\rm Cof}(M) \ge 0$的任何张量$\mathbb{L} = \mathbb{L}(y_1)$，a. e.，均质化张量$\mathbb{L}^0$保持强椭圆，或等价地$Λ(\mathbb{L}^0) >0$。$y \in \mathbb{R}^3$，$\forall M \in \mathbb{R}^{3\times 3}$，对于某个矩阵$D \in \mathbb{R}^{3\times3}$（这意味着$Λ(\mathbb{L}) \ge 0$），以及周期函数重复性（使用具有周期梯度的平滑测试函数$v$），读作$Λ_{\rm per}(\mathbb{L})>0$。此外，我们使用秩二层得到了均匀化张量的强椭圆性损失，这通过$Γ$ -收敛证明了[8]的形式过程。
2016-09-15 math.AP physics.class-ph
Homogenization and hypocoercivity for Fokker-Planck equations driven by weakly compressible shear flows
我们研究了由漂移驱动的二维线性Fokker-Planck方程的长时间动力学，漂移可以分解为一个大的剪切分量和依赖于一个空间变量的正则势的梯度的总和。这个问题可以解释为一个被动标量平流的轻微可压缩的剪切流，并进行小扩散。对于相应的随机微分方程，我们给出了明确的均匀化率在一个家庭的时间尺度依赖于参数测量的不可压缩扰动的强度。这是通过利用辅助泊松问题，并通过计算相关的有效扩散系数。关于福克-普朗克方程的解决方案的长期行为，我们提供了明确的衰减率的唯一不变测度通过采用定量版本的经典hypoverrity计划。从流体力学的角度来看，这是相当于量化的现象，增强扩散轻微可压缩剪切流。
2020-08-27 math.AP math.PR
Correctors for the homogenization of monotone parabolic operators
在均匀化的单调抛物型偏微分方程的振动在空间和时间变量的梯度仅弱收敛$L^p$。本文构造了一类校正子族，使得在$L^p$中直到一个强收敛于零的余数，我们得到了$L^p$中梯度的强收敛性.
2000-07-01 math.AP
Homogenization of a nonlinear elliptic problem with large nonlinear potential
研究了一类具有大非线性位势的非线性椭圆边值问题的均匀化问题。更具体地说，我们感兴趣的形式$$ -\text{div}(a(\frac{x}{\varepsilon})|Du_\varepsilon|^{p-2}Du_\varepsilon) +\frac{1}{\varepsilon}V(\frac{x}{\varepsilon})|u_\varepsilon|^{p-2}u_\varepsilon=f. $$的p-拉普拉斯算子序列的渐近行为表明，在潜在的$V$的中心条件下，存在一个两尺度均匀化系统的解决方案$(u, u_1)$，使序列$u_\varepsilon$的解决方案弱收敛到$u$在$W^{1,p}$和梯度$D_x u_\varepsilon$两尺度弱收敛到$D_x u+ D_y u_1$在$L^p$，分别。我们通过两尺度收敛和一个新的收敛结果明确地刻画了极限系统。
2012-08-15 math.AP
Homogenization of a non-linear strongly coupled model of magnetorheological fluids
研究了一个非线性强耦合系统的严格周期均匀化问题，该系统模拟了可磁化刚性颗粒在非导电粘性牛顿流体中的悬浮。流体拖动粒子，从而改变磁场。反之亦然，磁场作用在颗粒上，颗粒又通过无滑移边界条件影响流体。当颗粒的尺寸接近于零时，悬浮液的行为由广义磁流体动力学系统控制，其中流体由静止的Navier-Stokes系统建模，而磁场由麦克斯韦方程组建模。两尺度收敛理论的一个修正结果使我们能够得到几个弱收敛序列的乘积的极限，其中div-curl引理是这类问题中的典型工具，是不适用的。
2022-02-11 math.AP
Cocompact imbeddings and structure of weakly convergent sequences
集中紧性方法是证明不等式极小解存在性和泛函临界点存在性的有力方法。本文给出了一个功能分析制定的方法在Banach空间中，广义希尔伯特空间的情况下，阐述了\cite{ccbook}。主要对象是一个位错空间-一个三元组$(X,F,D)$，其中$F$是一个凸泛函，定义了Banach空间$X$上的范数，$D$是$X$上的一组等距。位错空间中的有界序列允许分解成由$D$的作用位错的渐近和“轮廓”$w^{(n)}\in X$，即形式为$\sum_ng^{(n)}_kw^{(n)}$，$g^{(n)}_k\in D$的和，而余项在任何序列$g_k\in D$的作用下弱收敛（{ \em $D$ -弱收敛}）。这种分解允许扩展弱收敛的论点从变分问题与紧的问题，其中$X$是{ \em cocomplex}（相对于组$D$）嵌入到一个Banach空间$Y$，也就是说，当每个序列$D$ -弱收敛在$X$是收敛的规范$Y$。我们证明了一个一般的声明存在的极小在cocompact嵌入适用，特别是索伯列夫嵌入缺乏紧凑性（无界域，临界指数），包括次椭圆索伯列夫空间和空间的黎曼流形。
2008-03-24 math.AP
Approximation and Homogenization of Thermoelastic wave model
本文利用半群方法、双尺度收敛方法和变分技巧研究了弱耦合热弹性波模型的均匀化与逼近问题，通过数值实验验证了离散系统的谱行为、能量衰减特性及数据平滑度的影响。
2023-06-28 math.AP math.DS
H-distribution via Sobolev spaces
确定了索伯列夫空间中弱收敛序列的H-分布。证明了$W^{-k,p}( \R^d)$中的弱收敛序列$(u_n)$对每个$θ\in\mathcal S(\R^d)$都具有$θu_n$在$W^{-k,p}(\R^d)$中强收敛的性质当且仅当与该序列相关的所有H分布都等于零.结果适用于一个弱收敛序列的解决方案，一个家庭的线性一阶偏微分方程。
2016-09-19 math.AP
Homogenization for nonlocal problems with smooth kernels
在本文中，我们考虑的非局部方程的均匀化问题，涉及不同的光滑核。我们假设空间域被划分为两个子域$A_n \cup B_n$的序列，并且我们有三个不同的平滑核，一个控制从$A_n$到$A_n$的跳跃，第二个控制从$B_n$到$B_n$的跳跃，第三个控制$A_n$和$B_n$之间的相互作用。假设$L^\infty$中的$χ_{A_n} (x) \to X(x)$弱-*（然后$L^\infty$中的$χ_{B_n} (x) \to (1-X)(x)$弱-*）为$n \to \infty$，我们证明了存在一个齐次极限系统，其中出现了三个核和极限函数$X$。我们处理诺依曼和狄利克雷边界条件。此外，我们还提供了我们的结果的概率解释。
2020-05-25 math.AP math.PR
Explicit corrector in homogenization of monotone operators and its application to nonlinear dielectric elastomer composites
本文研究了非线性静电与电致伸缩弹性弱耦合系统的周期均匀化，证明了有效响应由依赖于原微观结构的均匀介电弹性体描述，并在最小正则性下获得了单调算子均匀化的显式校正子及两个 $L^p-$ 梯度估计。
2023-07-29 math.AP
A note on the stochastic weakly* almost periodic homogenization of fully nonlinear elliptic equations
一个函数$f\in \BUC(\R^d)$称为弱 * 概周期函数，记作$f\in\APs(\R^d)$，如果存在$g\in\AP(\R^d)$，使得$\oM(|f-g|)=0$，其中$\BUC(\R^d)$和$\AP(\R^d)$分别是$\R^d$中有界一致连续函数空间和概周期函数空间，$\oM(h)$表示$h$的平均值，如果它存在的话。我们给出了一个非常简单的直接证明的Dirichlet问题的形式$F(\om,\frac{x}{\ve},D^2u)=0$，$x\in U$，完全非线性一致椭圆型方程的随机均匀化性质，在有界域$U\subset\R^d$，在几乎所有的$\om\in \Om$的情况下，实现$F(\om,\cdot,M)$是一个弱 * 几乎周期函数，对于所有的$M\in§^d$，其中$§^d$是空间的$d\X d$对称矩阵。这里$(\Om,μ,\FF)$是一个概率空间，概率测度为$μ$和$\s$ -$μ$的代数$\FF$-$\Om$的可测子集。对于每个固定的$M\in§^d$，$F(\om,y,M)$是平稳过程，即$F(\om,y,M)=\tilde F(T(y)\om,M):= F(T(y)\om,0,M)$，其中$T(y):\Om\to\Om$是保测度映射的遍历群，使得映射$(\om,y)\to T(y)\om$是可测的。此外，$F(\om,y,M)$，$M\in§…
2014-10-23 math.AP
Homogenization of a Boundary Obstacle Problem
证明了在$C^{1,α}$域上Laplacian算子边界障碍问题序列的均匀化极限解的存在性。具体来说，我们证明了能量极小$\int |\nabla u_ε|^2 dx$ $u_ε$，受到$u \geq ϕ$上的一个子集$S_ε$，收敛弱$H^1$的一个限制$\bar{u}$，最大限度地减少能量$\int |\nabla \bar{u}|^2 dx + \int_Σ(u-ϕ)_-^2 μ(x) dS_x$，$Σ\subset \partial D$，如果障碍集$S_ε$收缩以适当的方式与缩放参数$ε$。这是Caffarelli和Mellet的一个结果的推广，而这又是Cioranescu和Murat的一个结果的推广。
2010-05-06 math.AP
Homogenization of peristaltic flows in piezoelectric porous media
本文针对压电多孔介质中的蠕动流，提出弱非线性双尺度均匀化模型，通过敏感性分析线性化处理变形非线性，实现高效降阶模拟，数值验证了电驱动下的流体推进。
2024-06-06 math.AP physics.comp-ph
Homogenization of linear transport equations. A new approach
研究了由一致有界向量场序列$b_ε(x)$诱导的线性迁移方程的均匀化问题，对于某些$u_ε(t,x)$的解在$t=0$上与$L^p_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$的有界序列一致.假设序列$b_ε\cdot\nabla w_ε^1$在$L^q_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$中是紧的（$p$的$q$共轭），且存在一致有界序列$\nabla w_ε^1$，使得如果$N\!=\!2$，则$σ_ε\,b_ε$是发散自由的，或者如果$N\!\geq\!3$，则$σ_ε\,b_ε$是$L^N_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)^N$中$(N\!-\!1)$有界梯度的叉积，我们证明了序列$σ_ε\,u_ε$弱收敛到一个线性迁移方程的解。结果表明，$b_ε\cdot\nabla w_ε^1$的紧性取代了经典二维周期情形的遍历性假设，使我们能够处理任意维的非周期向量场。均匀化的结果说明了各种和一般的例子。
2019-05-22 math.AP
Bloch-wave homogenization on large time scales and dispersive effective wave equations
本文研究周期介质中的二阶线性波动方程，目的是推导$\R^n$，$n \in \{1, 2, 3\}$中的有效方程。对于小周期长度$\eps>0$的限制，标准均匀化理论提供了描述时间间隔$[0,T]$上的解的有效二阶波动方程。为了近似大时间间隔$[0,T\eps^{-2}]$上的解，必须使用色散的高阶波动方程。在这项工作中，我们提供了一个适定的，弱色散的有效方程，并估计原始的非均匀问题的解决方案和色散波动方程的解决方案之间的误差。我们使用布洛赫波分析，以确定一个家庭的相关的极限模型，并介绍了一种方法来选择一个良好的有效的模型对称性假设下的周期性结构。数值试验验证了分析结果。
2013-08-30 math.AP
Sulfate attack in sewer pipes: Derivation of a concrete corrosion model via two-scale convergence
我们探讨了均匀化的限制，严格推导出放大方程的微观反应扩散系统模拟硫酸盐腐蚀的下水道管道混凝土。该系统是半线性的、部分耗散的、弱耦合的，定义在多孔介质中，通过在孔隙水平上的固-水界面上的非线性常微分方程来描述。首先，我们证明了微观模型的适定性。然后，我们应用均匀化技术的基础上的两个尺度收敛的均匀周期域，并推导出upscaled方程连同显式公式的有效扩散系数和反应常数。我们使用边界展开方法来达到非线性常微分方程的均匀化极限。最后，除了给出它的强公式外，我们还证明了放大的双尺度模型存在唯一解。
2010-11-26 math.AP
Homogenization for nonlocal evolution problems with three different smooth kernels
在本文中，我们考虑了与跳跃过程相关的演化问题的均匀化，该跳跃过程涉及三个不同的光滑内核，这些内核控制着域的不同部分的跳跃。我们假设空间域被划分为两个子域$A_n \cup B_n$的序列，并且我们有三个不同的平滑核，一个控制从$A_n$到$A_n$的跳跃，第二个控制从$B_n$到$B_n$的跳跃，第三个控制$A_n$和$B_n$之间的相互作用。假设$χ_{A_n} (x) \to X(x)$在$L^\infty$中弱（然后$χ_{B_n} (x) \to 1-X(x)$弱在$L^\infty$）作为$n \to \infty$和初始条件是由密度$u_0$在$L^2$我们表明，有一个均匀化的极限系统中的三个核和极限函数$X$出现。当初始条件是一个三角洲在一个点上，$δ_{\bar{x}}$（这对应于过程中，开始在$\bar{x}$），我们表明，有收敛沿连续性，使$\bar{x} \in A_{n_j}$或$\bar{x} \in B_{n_j}$为每个$n_j$足够大。我们还提供了一个随机过程，描述了一个粒子的运动，根据三个不同的内核，在$Ω$跳跃的演化方程的概率解释，并表明，底层的过程收敛分布与极限方程的极限过程。我们重点分析了Neumann型边界条件，最后简要介绍了如何处理Dirichlet边界条件。
2020-09-28 math.AP math.PR
A new div-curl result. Applications to the homogenization of elliptic systems and to the weak continuity of the Jacobian
本文在$\mathbb{R}^N$的开集$Ω$（$N\geq 2$）中，对分别在$L^p(Ω)^N$和$L^q(Ω)^N$中有界的两列向量值函数与${1/p}+{1/q}=1+{1/(N-1)}$的乘积，建立了一个新的div-curl结果.我们还假设乘积在$W^{-1,1}(Ω)$中弱收敛。证明的关键成分是一个紧凑的结果，有界序列在$W^{1,q}(Ω)$，基于嵌入$W^{1,q}(S\_{N-1})$到$L^{p'}(S\_{N-1})$（$S\_{N-1}$单位球的$\mathbb{R}^N$）通过适当选择的环上的梯度不是太高，在德乔治和曼弗雷迪的精神。将div-curl结果应用于等矫顽系统的均匀化，如果$N\textgreater{}2$，则对于某些$ρ\textgreater{}{N-1\over 2}$，其系数在$L^ρ(Ω)$中等有界，如果$N=2$，则在$L^1(Ω)$中等有界.它还允许我们证明一个弱连续性结果的雅可比矩阵的有界序列在$W^{1,N-1}(Ω)$满足一个替代假设的$L^\infty$强估计Brezis和阮。两个例子显示了结果的清晰度。
2015-01-09 math.AP
Inviscid limit for SQG in bounded domains
证明了耗散SQG方程的Leray-Hopf解的任何弱收敛序列的极限是有界区域上无粘SQG方程的弱解.
2018-06-06 math.AP
Concentration effects of BV gradients have gradient structure
证明了有界变差映射的梯度序列的弱-* 收敛序列所产生的浓度效应具有梯度结构。这与相应的振荡现象形成鲜明对比。
2021-12-20 math.AP
Periodic homogenization of non-symmetric Lévy-type processes
本文研究周期介质中具有无穷小生成元$$ \sL f(x)=\int_{\R^d}\left(f(x+z)-f(x)-\langle \nabla f(x), z\rangle \I_{\{|z|\le 1\}} \right) k(x,z)\, Π(dz) +\langle b(x), \nabla f(x) \rangle, \quad f\in C^2_b (\R^d) $$的$\R^d$上的强Markov过程的均匀化问题，其中$Π$是$\R^d$上的一个非负测度，它不对源$0$充电，满足$\int_{\R^d} (1 \wedge |z|^2)\, Π(dz)<\infty$，并且关于$\R^d$上的Lebesgue测度是奇异的.在适当的标度下，证明了$\R^d$上的标度过程弱收敛于Lévy过程.所得结果与著名的工作\cite{BLP,Bh}在跳跃扩散条件下的结果一致。特别是，我们完全刻画了均匀化的极限过程时，$b(x) $是一个有界的连续多元1-周期$\R^d$值函数，$k(x,z)$是一个非负的有界连续函数，是多元1-周期的$x$和$z$变量，并在球坐标$z=(r, θ) \in \R_+\times \bS^{d-1}$，$$ \I_{\{|z|>1\}}\,Π(dz) = \I_{\{ r>1\}} \varrho_0(dθ) \, \frac{ dr }{r^{1+…
2020-07-07 math.AP math.PR
Homogenization of the stationary Maxwell system with periodic coefficients in a bounded domain
在$C^{1,1}$类的有界区域$\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^3$中，考虑具有理想电导率边界条件的稳态Maxwell系统.假设介电常数和磁导率由$η({\mathbf x}/ \varepsilon )$和$μ({\mathbf x}/ \varepsilon )$给出，其中$η( {\mathbf x})$和$μ({\mathbf x})$是对称的$(3 \times 3)$ -矩阵值函数;它们关于某个晶格是周期的，有界的和正定的。这里$\varepsilon >0$是小参数。我们使用以下符号表示麦克斯韦系统的解：${\mathbf u}_\varepsilon$是电场强度，${\mathbf v}_\varepsilon$是磁场强度，${\mathbf w}_\varepsilon$是电位移矢量，${\mathbf z}_\varepsilon$是磁位移矢量。已知${\mathbf u}_\varepsilon$、${\mathbf v}_\varepsilon$、${\mathbf w}_\varepsilon$和${\mathbf z}_\varepsilon$在$L_2({\mathcal O})$中弱收敛于相应的均匀化场${\mathbf u}_0$、${\mathbf v}_0$、${\mathbf w}_0$和${\mathbf z}_…
2018-10-28 math.AP
Dispersive homogenized models and coefficient formulas for waves in general periodic media
分析了二阶线性波动方程的一个均匀化极限。空间算子被假定为散度型，振荡系数矩阵$a^\varepsilon$是周期性的特征长度尺度$\varepsilon$ ;没有施加空间对称性。经典的均匀化理论允许在固定的时间间隔$(0,T)$上用非色散波动方程很好地描述解$u^\varepsilon$。相反，当考虑较大的时间间隔时，观察到色散效应。在这篇文章中，我们提出了一个适定的弱色散方程，齐次系数，使其解决方案$w^\varepsilon$描述$u^\varepsilon$以及时间间隔$(0,T\varepsilon^{-2})$。更准确地说，我们提供了一个规范和一致的误差估计的形式$\| u^\varepsilon(t) - w^\varepsilon(t) \| \le C\varepsilon$为$t\in (0,T\varepsilon^{-2})$。它们伴随着有效模型中所有系数的可计算公式。我们还提供了一个$\varepsilon$ -独立方程的三阶描述色散沿射线，我们提出了数值例子。
2014-01-30 math.AP
Homogenization of a stationary periodic Maxwell system in a bounded domain in the case of constant magnetic permeability
在$C^{1,1}$类的有界区域$\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^3$中，考虑了具有理想导电边界条件的稳态Maxwell系统。假设磁导率由常数正的$(3\times 3)$矩阵$μ_0$给出，并且介电常数具有$η({\mathbf x}/ \varepsilon)$的形式，其中$η({\mathbf x})$是具有实元素的$(3 \times 3)$矩阵值函数，相对于某些晶格是周期性的，有界的和正定的。这里$\varepsilon >0$是小参数。假设包含磁场强度旋度的方程是齐次方程，第二个方程的右侧$\mathbf r$是$L_2$类的无发散向量值函数。已知的是，作为$\varepsilon \to 0$，麦克斯韦系统的解，即电场强度${\mathbf u}_\varepsilon$、电位移矢量${\mathbf w}_\varepsilon$、磁场强度${\mathbf v}_\varepsilon$和磁位移矢量${\mathbf z}_\varepsilon$在$L_2$中弱收敛到对应的均匀化场${\mathbf u}_0$、${\mathbf w}_0$、${\mathbf v}_0$，${\mathbf z}_0$（具有有效系数的均匀化Maxwell系统的解）。我们改进了经典的结果。证明了${\mathbf v}_\varepsilon$和${\…
2018-10-26 math.AP
Energy identity for a class of approximate biharmonic maps into sphere in dimension four
本文证明了四维弱收敛的近似双调和方程列在球面上，其双张力场有界于$L^p$中，对某些$p>1$ .我们证明了一个能量恒等式，它用$\mathbb R^4$上的100个非平凡双调和映射的Hessian能量之和来解释Hessian能量的损失.
2011-10-29 math.AP math.DG
