假设$f\in L^1(\mathbb{R}^d)$，$Λ\subset\mathbb{R}^d$是平移格的有限并集，使得$f+Λ$以权重平铺。我们证明了存在一个格$L\subset{\mathbb{R}}^d$，使$f+L$也瓷砖，可能不同的权重。作为一个推论，连同Kolountzakis的结果，它意味着任何凸多边形，多瓷砖的平面平移承认一个晶格多瓷砖，可能不同的多重性。我们的第二个结果是一个新的凸多边形，多瓷砖的平面平移的特点。它也提供了一个非常有效的标准来判断一个凸多边形是否允许平移多重拼接。作为一个应用，可以很容易地为任何$m\geq 4$构造对称的$(2m)$ -矩阵，这些$m\geq 4$不通过平移进行多瓦片化。最后证明了非凸的凸多边形只允许周期重镶嵌。

2019-10-22math.CAmath.COmath.MG

格平移下多面体的多重镶嵌与等可组合性

Multi-tiling and equidecomposability of polytopes by lattice translates

我们刻画了$\mathbb{R}^d$中的多面体（不一定是凸的或连通的），它通过沿给定格的平移来多瓦空间。我们还给出了$\mathbb{R}^d$中两个多面体通过格平移等分解的充要条件。

2019-09-17math.CAmath.COmath.MG

镶嵌、镶嵌空间和拓扑

Tilings, tiling spaces and topology

为了理解非周期镶嵌（或在非周期镶嵌上建模的准晶），我们构造了一个类似镶嵌的空间，平移群自然地作用于该空间。这个空间就是一个（抽象的）动力系统。空间的动力学性质（如混合，或平移算子的谱）与单个镶嵌的整体性质（如衍射图案）密切相关。平铺空间的拓扑，特别是切赫上同调，给出了原始平铺如何变形的信息。平铺空间可以构造为分支流形的逆极限。

2018-07-06math-phmath.DSmath.MG

3D中多个切片的结构结果

Structure results for multiple tilings in 3D

本文研究三维欧几里得空间通过凸体的多重镶嵌。在多重平铺中，凸体$P$用离散多重集$Λ$平移，使得空间的每个点都精确地覆盖$k$次，除了$P$边界的平移副本。众所周知，所有可能的多重平铺在3D是zonotopes。在2D中，它是由M. Kolountzakis认为，除非$P$是一个平移向量，否则平移向量的多集$Λ$必须是平移格的有限并（也称为准周期集）。在这项工作中[Kolountzakis，2002]，作者问是否相同的准周期结构的平移向量将是真实的3D。在这里，我们证明了这个结论对于3D确实是正确的。也就是说，我们表明，如果$P$是一个凸的多重平铺在3D中，与一个离散的多集$Λ$的平移向量，那么$Λ$必须是一个有限的联盟的平移格，除非$P$属于一个特殊的类zonotopes。这个特殊的类由两个平坦的地带性$P$组成，由位于两个不同的二维子空间$H_1$和$H_2$的并集中的$n+m$线段的Minkowski和定义。等价地，两个平坦的带形$P$可以被认为是两个二维对称多边形的闵可夫斯基和，其中一个可以退化为单个线段。它证明了合理的两个平面zonotopes承认一个多个平铺与非周期（非准周期）的一组平移向量$Λ$。我们注意到，这可能是相当困难的，以提供一个可视化的这些3维非准周期平铺，我们发现他们使用傅立叶方法。

2012-08-07math.COmath.MG

近三次域的分块与谱性质

Tiling and spectral properties of near-cubic domains

通过平移证明了R或R^2是一个可测区域，并且如果它分别“足够接近”一个线段或一个正方形，则它允许一个格块。我们还证明了一个类似的结果，在1维谱集，并给出一个例子表明，没有类似的平铺结果在3维及更高。

2002-06-11math.CAmath.MG