图的Laplacian第二特征值重数、Courant节线定理与紧致多面体曲面的实维数之间的关系

关于量子图上节点域的个数与图划分的稳定性之间的联系

On the connection between the number of nodal domains on quantum graphs and the stability of graph partitions

Courant定理给出了一类Laplacian型算子本征函数节点域个数的上界。特别地，它适用于量子图的一般本征函数。该定理规定，在将特征值排序为非递减序列之后，第$n$个特征函数的节点域$ν_n$的数目满足$n\ge ν_n$。在这里，我们提供了一个新的解释的柯朗节亏$d_n = n-ν_n$的情况下，量子图。它等于莫尔斯指数-在一个临界点-一个能量功能的适当定义的空间图分区。因此，节点的缺陷假设一个以前未知的和深刻的意义-它是在对应于$n$ -th特征函数的临界点附近的不稳定方向的数量。为了证明这种联系，图的分区和能量泛函的空间的定义和相应的临界分区进行了详细的研究。

图上节点缺陷的磁性解释

Magnetic interpretation of the nodal defect on graphs

在这篇文章中，我们给出了Gregory Berkolaiko（arXiv 1110.5373）最近的一个令人惊讶的结果的自然证明，该结果将有限图上薛定谔算子的“Courant节点亏损”解释为与通过打开磁场而使算子变形相关的Morse指数。这个证明受到Miroslav Fiedler 1975年发表的一篇精彩论文的启发。

Non-boundedness of the number of super level domains of eigenfunctions

Generalizing Courant's nodal domain theorem, the "Extended Courant property" is the statement that a linear combination of the first $n$ eigenfunctions has at most $n$ nodal domains. A related question is to estimate the number of connected components of the (super) level sets of a Neumann eigenfunction $u$. Indeed, in this case, the first eigenfunction is constant, and looking at the level sets of $u$ amounts to looking at the nodal sets $\{u-a=0\}$, where $a$ is a real constant. In the first part of the paper, we prove that the Extended Courant property is false for the subequilateral triang…

Courant-sharp eigenvalues of compact flat surfaces: Klein bottles and cylinders

The question of determining for which eigenvalues there exists an eigenfunction which has the same number of nodal domains as the label of the associated eigenvalue (Courant-sharp property) was motivated by the analysis of minimal spectral partitions. In previous works, many examples have been analyzed corresponding to squares, rectangles, disks, triangles, tori, Möbius strips,\ldots . A natural toy model for further investigations is the flat Klein bottle, a non-orientable surface with Euler characteristic $0$, and particularly the Klein bottle associated with the square torus, whose eigenval…

具有几何控制的弱Pleijel定理

The weak Pleijel theorem with geometric control

设$Ω\subset \mathbb R^d\,, d\geq 2$是一个有界开集，用$λ\_j(Ω), j\geq 1$表示Dirichlet Laplacian的特征值按非减序排列，具有重数. Pleijel定理的弱形式指出，存在精确$j$节点域（Courant-sharp本征值）的相关本征函数的本征值$λ\_j(Ω)$的数目是有限的。本文的目的是确定柯朗夏普特征值的上界，用$Ω$的简单几何不变量表示。我们将看到，这与Y最喜欢考虑的问题之一有关。萨法罗夫

$\mathbb{R}^2$中量子谐振子和其他薛定谔算符的一些节点性质

Some nodal properties of the quantum harmonic oscillator and other Schr{ö}dinger operators in $\mathbb{R}^2$

对于球面上的球面拉普拉斯算子和正方形上的狄利克雷拉普拉斯算子，安东尼·斯特恩在她的博士论文（1924年）中声称存在一个无穷序列的特征值，其对应的特征空间包含一个恰好有两个节点域的特征函数。这些结果分别由Hans Lewy在1977年和作者在2014年给出了完整的证明（参见Gauthier-Shalom-Przybytkowski，2006）。本文对二维各向同性量子谐振子也得到了类似的结果。在相反的方向上，我们构造了一个无穷序列的正则本征函数与尽可能多的节点域允许的柯朗定理，直到一个因素$\frac{1}{4}$。对于$2$维有界区域，一个经典的问题是用能量的平方根来估计Dirichlet本征函数的节点集的长度.在最后一节中，我们考虑了$\mathbb{R}^2$中的一些Schr{<$}dinger算子$-Δ+ V$，并给出了能量为$λ$的本征函数在经典允许区域$\{V(x) < λ\}$中节点集长度的界.

具有径向势的薛定谔算子的Pleijel定理

Pleijel's theorem for Schrödinger operators with radial potentials

1956年$Å$。Pleijel给他著名的定理表明，不平等的柯朗定理的数目节点域是严格的大特征值的拉普拉斯算子。这是一个后果的一个更强的结果，给出了一个渐近上界的本征函数的节点域的数目的本征值趋于$+\infty$。对于Schr”\odinger算子，自然会出现类似的问题。第一作者最近在谐振子方面得到了第一个有意义的结果。本文的目的是考虑更一般的径向势。我们将分析势趋于$+\infty$的情况和势为负且趋于零的情况，其中所考虑的本征函数与低于本质谱的本征值相关联。

离散图和度量图上结点数的一个下界

A lower bound for nodal count on discrete and metric graphs

根据Sturm的一个著名定理，振动的弦被其第N个本征函数的零点精确地分成N个节点区间。柯朗指出，斯特姆弦定理的一半适用于膜理论：第N个本征函数不能有超过N个域。他还举了一个例子，一个本征函数高的频谱与最小数目的节点域，从而排除存在一个非平凡的下限。Sturm结果的一个类似物的离散化的区间讨论了Reinmacher和Krein。区间的离散化是一种简单形式的图，即链图。但对于更复杂的图形又能说些什么呢？自90年代初以来，人们就知道量子树上薛定谔算子的一般本征函数的节点计数也是精确的（其中每条边都被标识为实数线的间隔，并且在顶点上强制执行一些匹配条件）：第N个本征函数的零将树划分为精确的N个子树。我们在两个方向上讨论这个结果的两个推广。一个处理相同的连续薛定谔算子，但一般的图（即非树）和另一个处理离散薛定谔算子的组合图（树和非树）。我们得到的结果适用于这两种类型的图：第N个特征函数的节点域的数量由N-L限制，其中L是将图与树（定义为循环空间的维数或图的基本群的秩）区分开的链接的数量。我们还表明，如果它的genericity条件下降，节点计数可以任意远低于相应的本征函数的数量。

对球面和平面域的特征值多重性上界再审视

Upper bounds on eigenvalue multiplicities for spheres and plane domains revisited

本文重新审视了球面和平面域的特征值多重性上界，通过详细证明和扩展到Robin边界条件，提供了关于特征值多重性的上界结果。