On Folding a Polygon to a Polyhedron
Joseph O'Rourke
我们表明，在“几何折叠算法：链接，折纸，多面体”[DO07]中提出的开放问题是解决了一个定理的Burago和Zalgaller [BZ96]从十几年前。
We show that the open problem presented in "Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra" [DO07] is solved by a theorem of Burago and Zalgaller [BZ96] from more than a decade earlier.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Enumerating Foldings and Unfoldings between Polygons and Polytopes
我们提出并回答了几个问题的方式来折叠多边形的多面体的数量，以及有多少多面体可以从一个多边形;和类似的问题展开多面体多边形。我们的答案大致是：指数地多，或者非指数地无限。
Examples, Counterexamples, and Enumeration Results for Foldings and Unfoldings between Polygons and Polytopes
我们研究了如何通过折叠多边形并将其周边粘合关闭来制作凸多面体（多面体）的表面，以及切开多面体并将其展开为多边形的相反过程。我们从两个方向探索基本的枚举问题：给定一个多边形，有多少折叠？给定一个多面体，简单多边形有多少次展开？在全文中，我们特别注意凸多边形和正多边形。我们发现，每一个凸多边形折叠成无限多个不同的多面体，但他们的组合不同的胶合数是多项式。然而，也有简单的多边形具有指数数量的不同胶合。在相反的方向，我们表明，有一个指数的不同的切割，导致简单的展开多面体。我们建立了多面体具有凸展开的必要条件，这意味着，例如，在柏拉图立体中，只有四面体具有凸展开。我们提供了一个清单的多面体，可以展开为正多边形，表明，对于n>6，基本上只有一类这样的多面体。
Polar, Spherical and Orthogonal Space Subdivisions for an Algorithm Acceleration: O(1) Point-in-Polygon/Polyhedron Test
如果要处理更大的数据集，算法的加速正成为一个关键问题。算法的评价主要通过计算几何方法和计算复杂性的评价来完成。然而，在今天的工程问题，这种方法不尊重处理的项目的数量总是有限的，一个显着的作用也发挥读/写操作的速度。提高算法速度的一种常用方法是应用空间剖分技术，通常采用正交空间剖分。本文描述了非正交细分。所提出的方法可以显着改善内存消耗和运行时的复杂度。提出的修改空间细分技术证明了两个简单的问题点在凸多边形和点在凸多面体测试。
Maximum overlap area of a convex polyhedron and a convex polygon under translation
针对三维空间中凸多面体与凸多边形平移重叠面积最大化问题，提出确定性算法，时间复杂度为O(n log^2 n)，并推广至三凸多边形最大重叠及两凸多边形对称差最小化问题。
Universal Hinge Patterns for Folding Strips Efficiently into Any Grid Polyhedron
我们提出了两种通用的铰链模式，使一条材料折叠成任何连接的表面上的三维立方体网格的单位正方形-例如，任何多边形的表面。折叠是有效的：对于在拓扑学上等效于球体的目标表面，条带仅需要具有目标表面积的两倍，并且折叠在任何地方堆叠最多两层材料。这些几何结果提供了一种构建可编程物质的新方法，该方法比正方形$N \times N$材料片的可能性有效得多，正方形材料片可以折叠成仅具有表面积$O(N)$的所有多立方体，并且可以在一个点处堆叠$Θ(N^2)$层。我们还展示了我们的条带折叠如何通过刚性运动而不发生碰撞（尽管假设厚度为零），这在2D片材折叠中是不可能的。为了实现这些结果，我们开发了新的近似算法铣削表面的网格多面体，它同时给出了一个2近似的旅游长度和8/3近似的圈数。折叠条带时，长度和匝数都消耗面积，因此我们基于2D铣削中这两个目标的过去近似算法。
Reconstructing a Polyhedron between Polygons in Parallel Slices
给定两个$n$ -顶点多边形，$P=(p_1, \ldots, p_n)$位于$z=0$的$xy$-平面中，而$P'=(p'_1, \ldots, p'_n)$位于$z=1$的$xy$ -平面中，带状曲面是与连接$P$和$P'$的环同胚的三角化曲面，使得三角化的边集包含所有$i =1, \ldots, n$的连接$p_i$和$p'_i$的顶点不相交路径$π_i$.然后，该表面由带组成，其中$i$ th带在$π_i$和$π_{i+1}$之间。我们给出了一个多项式时间算法，找到一个带状表面没有斯坦纳点，如果存在。我们探讨带状表面和线性变形之间的连接，在变形中的时间对应于$z$方向。特别是，我们表明，如果$P$和$P'$是凸的和线性变形从$P$ $P'$（它移动$i$第顶点上的一条直线从$p_i$到$p'_i$）保持平面在任何时候，那么有一个带状表面没有斯坦纳点。
Geodesic Folding of Tetrahedron
在这项工作中，我们显示了一个家庭的多面体的几何性质，通过折叠一个正四面体沿正三角形网格。每个多面体由一对非负整数标识。多面体可以沿着三角形的测地线带切割，以分解和展开成一个或多个带（同胚于圆柱体）。波段数是两个数的最大公约数。通过适当地选择数对，我们可以创建一个共同的三角带，该三角带折叠成属于该族的不同的多个多面体。
Folding Every Point on a Polygon Boundary to a Point
该研究扩展了计算折纸中仅折叠多边形顶点的问题，提出将凸多边形边界所有点折叠到内部点并求解无折痕安全区域，证明了抛物线边界区域交集的结构性质，设计出线性时间算法，并得出安全区域弧数可通过多边形直线骨架确定的结构结论。
Efficient Folding Algorithms for Regular Polyhedra
我们研究折叠问题，即对于给定的P和Q，一个多边形P是否可以折叠成一个多面体Q。最近，当Q是一个盒子时，已经开发了一个有效的算法来解决这个问题。我们将这个想法扩展到正多面体，也称为柏拉图体。我们的算法的基本思想是共同的，这就是所谓的冲压。然而，它们的计算复杂性取决于它们的几何性质而不同。我们开发了四个算法的问题如下。(1)正四面体的一种算法，可推广到四面体。(2)一种求解正六面体（或立方体）的算法，它比以前已知的算法效率高得多。(3)一般三角面体的一种算法，它包含了Q是正八面体或正二十面体的情形。(4)正十二面体的一种算法。结合这些算法，我们可以得出结论，折叠问题可以解决伪多项式时间时，Q是一个正多面体和其他相关的固体。
Source Unfoldings of Convex Polyhedra via Certain Closed Curves
我们将凸多面体P的源展开的概念扩展到基于特定类中的闭合多边形曲线Q而不是基于点。这个类要求Q在两边都“生活在一个圆锥上”;它包括简单的、封闭的准测地线。切割Q（在P中）的切割轨迹的特定子集导致多面体的非重叠展开。这给出了一种将任意凸多面体的曲面展开为简单平面多边形的新的一般方法。
A Comparison of O(1) and Cyrus-Beck Line Clipping Algorithms in E2 and E3
本文提出了一种用凸多边形和/或凸多面体裁剪E2和E3中直线的新算法，并与Cyrus-Beck算法作了比较。E2中的新算法基于对偶空间表示和空间细分技术。E3中的算法原理是基于多面体到三个正交E2坐标系的投影。算法具有最优的复杂度O（1），并表明预处理可以显着提高线裁剪的速度。明显的应用是一个多边形和/或多面体和许多剪切线。详细的理论估计和实验结果也被提出。
A Geometric Approach for Computing the Kernel of a Polyhedron
提出了一种计算一般多面体几何核的几何算法。几何核（或简称核）被定义为一组点，从这些点可以看到整个多面体。虽然多边形的核的计算已经在文献中得到了很大程度的解决，但对于多面体却做得很少。目前，核估计的主要实现是基于线性规划问题的解决方案。我们对它的几个例子进行比较，表明我们的方法是更有效地分析一个通用的镶嵌元素。还提供了技术实施的细节和讨论的利弊的方法。
On Flat Polyhedra deriving from Alexandrov's Theorem
我们表明，有一个简单的算法来确定是否多面体保证存在的亚历山德罗夫的胶合定理是一个退化的平面多面体，并重建它的胶合指令。对于由n个标签指定粘合的多边形，该算法的运行时间为O（n^3）。
Polyhedron Kernel Computation Using a Geometric Approach
多面体的几何核（或简单的核）是一组点，从这些点可以看到整个多面体。虽然多边形的核的计算在文献中已经得到了很大程度的解决，很少有方法已经提出了多面体。核估计的最公认的解决方案是解决线性规划问题。相反，我们提出了一种几何方法，扩展了我们以前的方法，优化它预期在预处理步骤中的所有计算，并引入了几何精确谓词的使用。实验结果表明，我们的方法是更有效的比代数方法的一般镶嵌和检测，如果一个多面体是不是星形。还提供了技术实施的细节和讨论的利弊的方法。
Unfolding Manhattan Towers
我们提供了一个算法展开的任何正交多面体，落入一个特定的形状类，我们称之为曼哈顿塔，一个非重叠的平面正交多边形的表面。该算法沿着顶点网格的4x5x1细化的边缘切割。
On inside-out Dissections of Polygons and Polyhedra
研究多边形和多面体的内外翻转剖分，提出任意多边形用$2n+1$块、正多边形用至多6块的新上界，并证明可分解为正四面体和正八面体的多面体可剖分。
Capturing points with a rotating polygon (and a 3D extension)
研究了旋转一个简单多边形使其包含平面上给定点集的最大元素数的问题。我们考虑这个问题的变化，旋转中心是一个给定的点或位于一条线段，一条线，或一个多边形链。我们还解决了3D的扩展，其中我们围绕给定点旋转多面体，以包含空间中一组点的最大数量的元素。
Ununfoldable Polyhedra with Convex Faces
将凸多面体展开为简单平面多边形是一个研究得很好的问题。本文通过研究与凸多面体具有相同组合结构的非凸多面体来研究可展开性的极限。特别地，我们给出了两个多面体的例子，一个有24个凸面，一个有36个三角形面，不能通过沿着边切割来展开。我们进一步表明，这样的多面体确实可以展开，如果削减允许跨面。最后，我们证明了具有三角形面的“开”多面体无论如何剖切都不一定是可展开的。
Optimally Guarding 2-Reflex Orthogonal Polyhedra by Reflex Edge Guards
设正交多面体是$\mathbb R^3$中有限盒集的并集（即，具有平行于坐标轴的边的长方体），其表面是连通的2-流形。我们研究了NP完全问题的保护一个非凸的正交多面体反射边在两个方向（而不是三个，在一般情况下），通过放置最小数量的边缘警卫反射边缘。我们证明了$$\left\lfloor \frac{r-g}{2} \right\rfloor +1$$反射边保护是足够的，其中$r$是反射边的数目，$g$是多面体的亏格。对于$g=0$，此界限是紧的。因此，我们推广了一个经典的平面艺术画廊定理的O 'Rourke，它指出，相同的上限持有顶点后卫在一个正交多边形的$r$反射顶点和$g$孔。然后，我们给出了一个类似的上限$m$，在多面体中的边的总数。我们证明，$$\left\lfloor \frac{m-4}{8} \right\rfloor +g$$反射边缘后卫是足够的，而以前最有名的边界是$\lfloor 11m/72+g/6\rfloor-1$边缘后卫（不一定反射）。我们也考虑其中的警卫是开放的设置（即，它们是没有端点的线段），证明即使在这种更具挑战性的情况下也存在相同的结果。最后，我们展示了如何计算守卫位置匹配上述界限在$O(n \log n)$时间。
Folding One Polyhedral Metric Graph into Another
本文研究了将一个多面体度量图折叠成另一个的1D折纸问题，在所有柏拉图立体对之间找到了折叠并确立了整数最优比例因子，同时证明了该问题是NP-hard且难以近似，验证最小比例因子的问题为DP-complete。
A Parameterized Algorithm for Flat Folding
本文提出一种参数化算法，证明折纸折痕图案的平面可折叠性测试在层数和树宽参数下是固定参数可处理的，且算法在树宽上为单指数复杂度。
Closed cap condition under the cap construction algorithm
本文研究帽构造算法中多边形与帽多边形构成多面体的问题，通过分析顶点对处角缺陷相等的构造，揭示线性关系并证明存在大量满足封闭帽条件的多边形。
Decremental Greedy Polygons and Polyhedra Without Sharp Angles
本文研究平面和三维点集中最大最小角多边形与多面体的构造，给出 $O(n\log n)$ 和 $O(n^2)$ 算法，并证明三维曲线在禁止重复时为 NP-难、允许重复时可近立方时间求解，同时提出保证递减贪心最优性的通用问题类。
Searching Polyhedra by Rotating Half-Planes
探照灯调度问题首先在2D多边形中进行了研究，其目标是让固定位置的控球后卫旋转探照灯以抓住逃避的入侵者。在这里，问题扩展到3D多面体，现在的警卫边界段旋转半平面的照明。在仔细地详细描述3D模型之后，建立了几个结果。第一个是一个几乎直接扩展的平面单向扫描策略，我们称之为穷举警卫，一个泛化，成功，尽管没有明确定义的概念，在3D的平面“顺时针旋转”。接下来有两个结果：每个具有r>0反射边的多面体最多可以通过r^2个适当放置的保护来搜索，而如果多面体是正交的，则仅r个保护就足够了。（最小化搜索给定多面体的警卫数量很容易被视为NP困难。最后，我们表明，决定一组给定的警卫是否有一个成功的搜索时间表是强NP-难的，并决定一个给定的目标区域是否可搜索的是强PSPACE-难的，即使是正交多面体。一些周边的结果证明途中，这些中心定理，和几个开放的问题仍然为今后的工作。
Computational Complexities of Folding
该研究证明了折纸折叠问题在计算复杂性方面的多个难度结果，包括平面折叠的固定参数可解性、PSPACE完全性和不可判定性等。
Implementing Simulation of Simplicity for geometric degeneracies
我们描述了如何实现模拟的简单性（SoS）。SoS通过确定向坐标添加不同阶的非阿基米德无穷小的影响，消除了点在多边形查询、多面体相交、地图覆盖以及其他2D和3D几何和空间算法中的几何退化。然后它修改几何谓词以模仿它，并在通常的算术中计算它们。几何简并是一种巧合，例如一个多边形的顶点在另一个多边形的边上，如果对象是独立同分布的，则概率接近于零。一致地。然而，在实际数据中，它们可能经常发生。特别是在3D中，有太多类型的退化，无法可靠地枚举。但是，如果不处理它们，则谓词的计算结果是错误的，并且输出拓扑可能是错误的。我们描述了SoS的理论，以及如何成功地修改了几个算法和程序，包括许多立方体的并集的体积，在一个三维网格中的点定位，和相交的三维网格。
Covering and Partitioning Complex Objects with Small Pieces
研究如何用最少的小块覆盖或划分多边形，证明覆盖和划分问题等价，提出一种局部搜索算法获得PTAS，同时指出三维情况下近似最优解为NP难问题。
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