An Efficient High-Order Meshless Method for Advection-Diffusion Equations on Time-Varying Irregular Domains
我们提出了一种求解时变域平流-扩散方程的高阶径向基函数有限差分（RBF-FD）框架。我们的框架是基于最近开发的重叠RBF-FD方法的推广，该方法利用一种新的自动程序计算RBF-FD在模板中心周围的可变大小区域的stenetry权重。该过程消除了重叠参数$δ$，从而使得能够在移动域上无调谐地组装RBF-FD微分矩阵。此外，我们的框架利用了一个简单而有效的程序更新微分矩阵的移动域平铺节点集随时间变化的基数。最后，对流扩散在时变域处理通过快速节点集修改，一个新的高阶半拉格朗日方法，利用新的调谐自由重叠RBF-FD方法，和高阶时间积分方法的组合。所得到的框架没有调优参数，并且具有$O(N \log N)$时间复杂度。我们证明了对流-扩散方程在时变二维和三维区域上的高阶收敛性，对于小的和大的Peclet数。我们还提出了验证我们的复杂性估计的时间。最后，我们利用我们的方法来解决一个耦合的3D问题的血小板聚集和凝血模型的动机，再次证明高阶收敛速度的移动域。
2021-08-20 cs.NA math.NA
Spatially-varying meshless approximation method for enhanced computational efficiency
本文提出一种空间变化的混合无网格近似方法，仅在几何细节区域使用散乱节点，其余区域采用规则节点，从而减小模板尺寸并降低计算成本，在自然对流问题中验证了其在保持精度的同时显著提升计算效率。
2023-04-21 cs.NA math.NA
Meshless moment-free quadrature formulas arising from numerical differentiation
针对Lipschitz域及其边界积分的求积权重生成问题，提出一种无需网格划分和矩计算的方法，通过求解稀疏欠定线性系统确定散乱节点权重，实验证明其在二维和三维域上鲁棒且高精度，与现有方案相比精度具竞争力。
2025-06-07 cs.NA math.NA
On generation of node distributions for meshless PDE discretizations
在本文中，我们提出了一种算法，能够生成局部规则的节点布局与空间可变的节点密度的内部任意域在二维，三维和更高的维度。通过求解二维和三维热流体问题，证明了所生成的节点分布适用于RBF-FD方法。此外，局部最小间距的保证证明了均匀和可变的节点密度。所提出的算法具有时间复杂度$O(N)$产生$N$节点与恒定的节点间距和$O(N \log N)$产生的节点间距。从节点质量、时间复杂度、执行时间和PDE解的精度等方面与现有算法进行了比较。
2019-08-20 cs.DS cs.NA math.NA
Improved Stencil Selection for Meshless Finite Difference Methods in 3D
本文提出一种三维拉普拉斯算子的几何模板选择算法，改进八分圆选择策略，从不规则点集中选出高精度影响子集，并在多个STL模型的泊松方程求解中验证其性能优于有限元方法及其他选择方法。
2022-12-22 cs.NA math.NA
An Upwind Generalized Finite Difference Method for Meshless Solution of Two-phase Porous Flow Equations
本文首次尝试将新发展的迎风GFDM方法应用于两相渗流方程的无网格求解。该方法利用节点云对计算区域进行灵活的离散，避免了复杂的网格划分。结合移动最小二乘逼近和局部泰勒展开，在节点的局部影响域内用广义差分算子逼近节点处油相压力的空间导数。通过引入相相对渗透率的一阶迎风格式，结合离散边界条件，得到了基于GFDM的不混溶两相渗流非线性全隐式离散方程组，并采用基于自动微分的牛顿迭代法的非线性求解器进行求解，避免了顺序耦合格式带来的额外计算量和可能的计算不稳定性。通过两个数值算例验证了该方法的计算性能。详细的误差分析找出了计算误差的两个来源，粗略地研究了广义差分算子的收敛阶，发现在节点间距较小时，广义差分法的低阶误差使其收敛阶低于有限差分法的收敛阶，并指出节点影响域内节点配置的对称性或均匀性对广义差分算子精度的显著影响。为获得较高的计算精度，节点影响域的半径应较小，这是本文所研究的双曲型两相渗流问题与椭圆型问题在采用GFDM时的显著区别。
2022-04-18 cs.NA math.NA
Spatially dependent node regularity in meshless approximation of partial differential equations
提出混合规则—散乱节点布置算法HyNP，在几何复杂区用散乱节点、其余区用规则节点，以减小无网格PDE近似的模板尺寸并提升计算效率。
2024-04-11 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Meshless solutions of PDE inverse problems on irregular geometries
School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University, Cambridge MA 02138（工程与应用科学学院，哈佛大学，康科德马萨诸塞州02138）；School of Engineering（工程学院）；Applied Sciences, Harvard University, Cambridge MA 02138（应用科学，哈佛大学，康科德马萨诸塞州02138）；Department of Physics, Harvard University, Cambridge MA 02138（物理系，哈佛大学，康科德马萨诸塞州02138）
针对复杂域上非线性PDE逆问题与优化难题，提出基于超矩形谱基参数化、结合PINNs思路的无网格方法，具指数收敛性，支持数据同化与高效优化求解。
2025-10-29 cs.LG cs.NA math.NA
Direct meshless local Petrov-Galerkin (DMLPG) method: A generalized MLS approximation
University of Isfahan（伊斯法罕大学）；Universität Göttingen（哥廷根大学）
提出一种基于广义移动最小二乘逼近的直接无网格局部Petrov-Galerkin方法，通过直接恢复节点测试泛函避免形函数，降低了计算成本并提高了精度。
2013-03-13 cs.NA math.NA
Numerical meshless solution of high-dimensional sine-Gordon equations via Fourier HDMR-HC approximation
将高维模型表示（HDMR）与傅立叶双曲交叉（HC）近似相结合，提出了一种求解高维sine-Gordon方程（SGE）的隐式时间推进无网格格式.为了保证隐式时间步进格式的相关系数矩阵的稀疏性，首先将整个区域划分为一组子域，在每个子域中，相关的高维导数可以分别用傅里叶HDMR-HC近似来逼近.所提出的方法允许稳定的大时间步长和相对较少的节点数量，具有令人满意的精度。数值算例表明，该方法对于模拟高维空间奇异方程是非常有吸引力的。
2019-05-12 cs.NA math.NA
Meshless Hermite-HDMR finite difference method for high-dimensional Dirichlet problems
本文提出了一种求解高维狄利克雷问题的无网格Hermite-HDMR有限差分法。该方法是基于本地Hermite-HDMR扩展与一个额外的平滑技术。首先，我们引入HDMR分解并结合多重Hermite级数构造了一类Hermite-HDMR逼近，并在一类Hermite空间中建立了相应的误差估计.它不仅可以提供高阶收敛，而且随着维数的增加保持良好的缩放。然后提出了求解高维狄利克雷问题的基于Hermite-HDMR的有限差分法。通过对Hermite-HDMR近似进行平滑处理，即使节点数量很少，也可以保证数值稳定性。数值实验的尺寸高达$30$表明，由此产生的近似是非常高的质量。
2019-05-12 cs.NA math.NA
A quantum algorithm for meshless lattice Boltzmann method with unitary interpolation
School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）；School of Physics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学物理学院）
该研究提出一种带酉插值的无网格LBM量子算法，通过质量加权相似变换将插值酉化，降低块编码成本，Taylor-Green涡旋实验显示速度误差随Carleman阶数增加而减小。
2026-10-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Parallel domain discretization algorithm for RBF-FD and other meshless numerical methods for solving PDEs
本文提出了一种新的与维数无关的并行节点定位算法，该算法能够生成密度可变的节点，适用于无网格数值分析。一个非常有效的顺序算法的基础上泊松磁盘采样并行化共享内存的计算机上使用，如现代工作站与多核处理器。该并行算法使用全局空间索引方法，其数据分为两个级别，这允许一个高效的多线程实现。自举的增加使算法能够使用任何数量的并行线程，同时保持其顺序变体的通用性。我们证明了算法的性能在六个复杂的2-和3-维域，这是非矩形形状或具有不同的节点间距或两者兼而有之。我们执行的算法的运行时分析，以证明它的能力，以达到高的加速比，无论域，并显示如何以及它的规模与16个处理器内核的实验硬件。我们还分析了算法的域形状，质量的点的位置，和各种并行化开销的影响。
2022-02-03 cs.DC cs.NA math.NA
A computational tool for comparing all linear PDE solvers -- Optimal methods are meshless
Univ. Göttingen（哥廷根大学）
提出一种计算技术，通过将线性PDE求解器表示为线性恢复公式并计算其在固定Sobolev空间上的范数来公平比较所有使用相同输入数据的线性方法，发现存在唯一误差最优方法，且该方法必然是无网格的，等同于对称无网格配点法。
2013-02-12 cs.NA math.NA
Meshless interface tracking for the simulation of dendrite envelope growth
本文提出无网格界面追踪方法（MIT）替代相场界面捕获方法（PFIC）求解晶粒包络模型，通过\h-自适应离散化和径向基函数高阶逼近实现无伪影的枝晶包络追踪，实验证明其收敛且能捕获更多包络细节。
2024-02-21 cs.NA math.NA
Error Estimation of Difference Operators on Irregular Nodes
Institute of Mathematical Analysis, Osaka, Japan（大阪数学分析研究所）；Computational Fluid Dynamics Consulting Inc.（计算流体动力学咨询有限公司）；Institute of Industrial Science, The University of Tokyo（东京大学工业科学研究所）
本文研究了不规则节点上差分算子的误差估计，指出二阶导数差分算子的误差估计因节点分配不对称而降低。
2017-07-03 cs.NA math.NA
Beyond the mesh handling Maxwell's curl equations with an unconditionally leapfrog stable scheme
Università degli Studi di Palermo（巴勒莫大学）
本文提出一种无网格方法，通过避免散点间的连接律，实现时间域电磁计算的无条件稳定解法，通过交替方向隐式方案与无网格求解器结合，克服传统网格和时间步长限制，通过三个案例验证了方法的有效性。
2013-04-26 cs.NA math.NA
A Multigrid Preconditioner for Spatially Adaptive High-order Meshless Method on Fluid-solid Interaction Problems
提出了一种求解Stokes极限下流固耦合问题的整体几何多重网格预处理器。问题的离散空间自适应高阶无网格方法，广义移动最小二乘（GMLS）与自适应$h$ -细化。在斯托克斯极限下，固体运动学可以由控制润滑效应的奇点支配。用自适应$h$ -细化来解决这些奇异性会导致方程的病态线性系。为了构造多重网格预条件子的关键成分-插值和限制算子，我们利用自适应$h$ -细化中生成的GMLS节点的层次集的几何信息。我们通过基于物理的分裂建立解耦平滑器，然后通过乘法重叠Schwarz方法将它们组合起来。通过包含不同数量和形状的固体的数值例子，我们证明了性能和评估所设计的预处理器的可扩展性。随着总自由度和实体数$N_s$的增加，所提出的整体几何多重网格预处理器在使用Krylov迭代法求解空间自适应GMLS离散化产生的线性系方程组时，可以保证收敛性和良好的可扩展性.更具体地说，对于固定数量的实体，随着离散化分辨率的逐步细化，线性求解器的迭代次数可以保持在相同的水平，这表明我们的预处理器相对于全次数自由度具有接近线性的可扩展性。当$N_s$增加时，迭代次数几乎与$\sqrt{N_s}$成正比，这意味着相对于实体数目的次线性最优性。
2022-03-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Fast high-dimensional node generation with variable density
Vanderbilt University（范德堡大学）；National Center for Atmospheric Research（美国国家大气研究中心）；University of Colorado, Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出一种结合准蒙特卡洛方法和加权里斯能量最小化的方法，用于生成具有指定最近邻距离函数的离散分布，适用于无网格求解器和插值构建。
2018-08-10 cs.NA math.NA
Robust Node Generation for Meshfree Discretizations on Irregular Domains and Surfaces
University of Utah（犹他大学）
本文提出了一种基于泊松盘采样和新型无参数高阶参数球形径向基函数的算法，用于自动生成不规则2D和3D域的散节点集，并验证了其在热方程RBF-FD离散化中的鲁棒性。
2018-06-08 cs.DS cs.NA math.NA
Rectangular mesh contour generation algorithm for finite differences calculus
在这项工作中，提出了一种二维轮廓生成算法的不规则区域。使用已知的轮廓坐标，通过网格段来近似物理域的轮廓。为此，该算法使用了一个重复的结构，分析已知的不规则轮廓坐标近似的物理域轮廓的网格段。为此，该算法计算由不规则轮廓的已知点和相邻顶点定义的线的斜率。通过这种方式，算法计算线的点及其到网格的最近已知节点的距离，从而获得近似轮廓的点。重复该过程，直到获得近似轮廓。因此，这种近似轮廓生成算法，从一个网格的已知节点，是适合于描述网格涉及的几何形状与不规则的轮廓和计算有限差分数值模拟。通过三个几何形状来评估轮廓，即由给定轮廓和近似轮廓限定的区域之间的差异，节点的数量和内部点的数量。可以看出，几何复杂性的增加意味着轮廓中需要更多的节点，生成更精细的网格，允许达到低于2%的区域差异。
2022-05-10 cs.CG cs.NA math.NA
A novel Hermite RBF-based differential quadrature method for solving two-dimensional variable-order time fractional advection-diffusion equation with Neumann boundary condition
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；De Montfort University（德蒙福特大学）
本文提出了一种基于Hermite径向基函数的差分四阶方法（H-RBF-DQ），用于准确处理导数边界条件。该方法不同于原始的Hermite RBF方法，通过二维变阶时间分数扩散方程的数值模拟验证了其鲁棒性和通用性。
2018-09-07 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The spectral properties of Vandermonde matrices with clustered nodes
我们研究矩形范德蒙矩阵$\mathbf{V}$与$N+1$行和$s$不规则间隔的节点上的单位圆，在一些节点“集群”在一起的情况下-每个集群内的元素被分离的最多$h \lesssim {1\over N}$，和集群被分开彼此至少$θ\gtrsim {1\over N}$。我们证明了对应于两个不同簇的任何一对列子空间都是近正交的：它们之间的最小主角至多为$$\fracπ{2}-\frac{c_1}{N θ}-c_2 N h,$$，其中某些常数$c_1,c_2$仅取决于簇的重数.因此，通过将问题简化为单独地分析每个聚类，$\mathbf{V}_N$的谱分析被显著简化。因此，我们得到准确的估计1）所有的奇异值的$\mathbf{V}$，和2）分量条件数的线性最小二乘问题。重要的是，这些估计值仅在局部聚类多重性中是指数的，而最多随$s$线性变化。
2020-07-24 cs.NA math.NA
Enhancing RBF-FD Efficiency for Highly Non-Uniform Node Distributions via Adaptivity
提出一种基于局部数据密度的自适应RBF-FD方法，通过多项式细化和自适应模板大小提升微分矩阵稀疏性，在非均匀节点分布下兼顾精度与计算效率。
2024-01-08 cs.NA math.NA
Refined radial basis function-generated finite difference analysis of non-Newtonian natural convection
针对封闭差热腔非牛顿自然对流问题，提出改进RBF-FD求解方法，采用无网格离散与节点密度优化，可大幅减少节点数并保持精度，具备几何灵活性。
2025-02-20 cs.NA math.NA physics.comp-ph
