带加性噪声的随机偏微分方程有限元离散的改进半隐式欧拉-丸山格式
A modified semi--implict Euler-Maruyama Scheme for finite element discretization of SPDEs with additive noise
AI总结：
针对带加性时空噪声的一般二阶半线性抛物型随机偏微分方程，提出一种使用噪声线性泛函的改进半隐式欧拉-丸时间步进与有限元空间离散的新格式，证明其在均方L²范数下的收敛性，并通过数值实验表明该格式比标准半隐式欧拉-丸山格式具有更好的收敛性。
摘要：
我们考虑由加性时空噪声驱动的一般二阶半线性抛物型随机偏微分方程（SPDE）的数值逼近。我们引入一种新的改进格式，在时间上使用噪声的线性泛函与半隐式欧拉-丸山方法，在空间上分析有限元方法（尽管扩展到有限差分或有限体积是可能的）。我们证明了扩散反应方程和扩散对流反应方程在均方$L^{2}$范数下的收敛性。我们给出了二维线性反应扩散方程以及二维随机对流扩散反应方程的非线性例子的数值结果。从分析和数值结果中我们都可以看出，所提出的格式比标准的半隐式欧拉-丸山方法具有更好的收敛性质。
英文摘要：
We consider the numerical approximation of a general second order semi--linear parabolic stochastic partial differential equation (SPDE) driven by additive space-time noise. We introduce a new modified scheme using a linear functional of the noise with a semi--implicit Euler--Maruyama method in time and in space we analyse a finite element method (although extension to finite differences or finite volumes would be possible). We prove convergence in the root mean square $L^{2}$ norm for a diffusion reaction equation and diffusion advection reaction equation. We present numerical results for a linear reaction diffusion equation in two dimensions as well as a nonlinear example of two-dimensional stochastic advection diffusion reaction equation. We see from both the analysis and numerics that the proposed scheme has better convergence properties than the standard semi--implicit Euler--Maruyama method.
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