Superconvergence for Neumann boundary control problems governed by semilinear elliptic equations
Universität der Bundeswehr München（德国联邦国防大学慕尼黑）；Weierstrass Institute for Applied Mathematics and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用数学与随机性研究所）
本文研究半线性Neumann边界控制问题在多边形域中的离散误差分析，采用分段常函数近似控制，分段线性有限元离散状态和共轭状态，通过投影得到局部最优控制近似，证明在内角小于2π/3时收敛阶为h²|ln h|^{3/2}。
2013-11-25 cs.NA math.NA math.OC
Improved energy-norm a posteriori error estimates for singularly perturbed reaction-diffusion problems on anisotropic meshes
在最近的文章[Kopteva，N.，编号。数学，137，607 - 642（2017）]作者获得了各向异性三角剖分上奇摄动半线性反应扩散方程能量范数的残差型后验误差估计。这些估计的误差常数与网格单元的直径和长宽比以及小扰动参数无关。本文的目的是改进估计量的跳跃残差部分的权重。这是通过使用一个新的尖锐版本的各向异性元素的标度迹定理，其中涉及的帽子基函数作为权重。
2020-04-05 cs.NA math.NA
A parameter uniform method for two-parameter singularly perturbed boundary value problems with discontinuous data
研究了一维具有间断源和对流系数的两参数奇摄动问题。对流系数和源项在区域中的某一点处都是不连续的。扰动参数的存在导致在边界处的边界层。此外，由于数据在内点处的不连续性而出现内层。一个适当定义的Shishkin-Bakhvalov网格上的迎风格式被用来解决边界层和内部层。在不连续点处使用三点公式。该方法具有一阶参数一致收敛性。用数值方法对一些试验问题进行了验证。数值结果验证了索赔。Shiskin-Bakhvalov网格的使用有助于实现一阶收敛，不像Shishkin网格，由于对数项，收敛的阶数恶化。
2022-08-08 cs.NA math.NA
Fully Adaptive Newton-Galerkin Time Stepping Methods for Singularly Perturbed Parabolic Evolution Equations
University of Bern（伯尔尼大学）
本文提出一种自适应求解半线性抛物型问题的算法，结合牛顿法线性化与自适应离散化，针对可能的奇异摄动问题，通过后验误差分析设计全自适应牛顿-伽辽金时间步进算法，并通过数值实验验证其鲁棒性和可靠性。
2015-10-02 cs.NA math.NA
A posteriori error control for fourth-order semilinear problems with quadratic nonlinearity
本文提出一种通用后验误差分析方法，利用拟最优平滑器修改不可压缩2D Navier-Stokes和von Kármán方程中的三重线性项，首次为多种离散化下的2D Navier-Stokes方程流函数涡度公式提供了高效可靠的后验误差估计。
2023-09-15 cs.NA math.NA
Adaptive Fixed Point Iterations for Semilinear Elliptic Partial Differential Equations
Applied University of Zürich（苏黎世应用大学）
本文研究了有限维固定点迭代在Banach空间设定下的行为，通过网格大小和收缩因子界定了离散序列与连续解的差异，并展示了自适应有限元离散化方法在半线性单调问题中的应用。
2017-06-27 cs.NA math.NA
Multilevel Schwarz preconditioners for singularly perturbed symmetric reaction-diffusion systems
我们提出了强大的和高度并行的多层非重叠Schwarz预处理器，解决了一个系统的稳态，奇摄动反应扩散方程的奇异反应算子的内部惩罚间断Galerkin有限元离散，使用GMRES求解器。我们提供的两个级别的设置和多重网格V-循环的收敛性证明，以及广泛的制度的数值结果。
2020-09-05 cs.NA math.NA
Data-Free Asymptotics-Informed Operator Networks for Singularly Perturbed PDEs
Seoul National University（首尔大学）；Inha University（仁荷大学）；Chung-Ang University（中央大学）
本文提出eFEONet，一种无数据指导的算子网络，用于高效求解退化扰动PDEs中的尖锐层问题。
2026-01-10 cs.NA math.NA
Parameter uniform numerical method for singularly perturbed two parameter parabolic problem with discontinuous convection coefficient and source term
本文考虑了一类具有间断对流系数和源项的含时双参数抛物型奇摄动问题。该问题包含参数$ε$和$μ$分别乘以扩散和对流系数。由于这些参数，边界层在边界的两侧发展。由于对流项和源项的不连续性，在不连续点附近形成一个内层。内、边界层的宽度取决于扰动参数的比值。我们讨论了比率$\displaystyle\frac{μ^2}ε$的问题。在空间上采用Shishkin-Bakhvalov网格，在时间上采用Crank-Nicolson方法。在不连续点处，使用了三点公式。该方法在时间上具有二阶一致收敛性，在空间上具有一阶一致收敛性。Shishkin-Bakhvalov网格提供一阶收敛;与Shishkin网格不同，对数因子会降低收敛阶数。最后给出了一些算例来验证所给出的结果。
2022-08-08 cs.NA math.NA
Construction of a global solution for the one dimensional singularly-perturbed boundary value problem
University of Tuzla（图兹拉大学）
本文研究了一维半线性奇异扰动边值问题的近似解构造，通过网格点数值和格林函数表示精确解，提出ε均匀收敛性，验证了理论结果。
2017-05-26 cs.NA math.NA
Superconvergence analysis of interior penalty discontinuous Galerkin method for a class of time-fractional diffusion problems
本文针对一类具有 Caputo 导数的非自治时间分数阶对流-扩散-反应方程，提出空间采用非对称内罚 Galerkin 方法、时间采用分级网格 L1 格式的数值方案，证明其离散稳定性与误差超收敛性，并推广至半线性问题。
2023-08-07 cs.NA math.NA
A SDFEM for system of two singularly perturbed problems of convection-diffusion type with discontinuous source term
本文研究了两个对流扩散型奇摄动边值问题（BVP）的方程组，该方程组具有间断源项和一个小的正参数与最高导数相乘。然后，他们的解决方案显示边界层以及弱内层。提出了一种基于有限元法（Shishkin和Bakhvalov-Shishkin网格）的数值方法。我们得到了一个误差估计的顺序$O(N^{-1}\ln^{3/2}{N})$的能量范数的扰动参数。数值实验也支持我们的理论结果。
2021-04-08 cs.NA math.NA
FEM-analysis on graded meshes for turning point problems exhibiting an interior layer
Institute of Numerical Mathematics, Technical University of Dresden（德累斯顿工业大学数值数学研究所）
本文研究了具有简单内部转折点的奇异扰动边值问题，采用Liseikin提出的分层网格上的高阶有限元进行离散化，证明了在能量范数下的ε-均匀误差估计，并在这些分层网格上对线性元证明了在L²范数下的最优阶ε-均匀收敛性。
2016-03-15 cs.NA math.NA
Parameter-uniform approximations for a singularly perturbed convection-diffusion problem with a discontinuous initial condition
研究了具有不连续初始条件的对流扩散型奇摄动抛物问题。一个特定的互补的误差函数被确定为匹配的初始条件中的不连续性。这个解析函数和抛物问题的解决方案之间的差异是近似数值。使用坐标变换，使得层适应网格可以与解决方案中存在的内部层对齐。对相应的数值方法进行了数值分析，证明了该数值方法是一种参数一致的数值方法。数值结果说明了逐点误差界建立的文件。
2022-02-08 cs.NA math.NA
Analysis of Galerkin and streamline-diffusion FEMs on piecewise equidistant meshes for turning point problems exhibiting an interior layer
Institute of Numerical Mathematics, Technical University of Dresden（德累斯顿工业大学数值数学研究所）
研究了具有简单内部转折点的退化扰动边值问题，采用高阶有限元在适应层的分段等距网格上进行离散化，并分析了流体扩散有限元方法的误差估计。
2017-09-28 cs.NA math.NA
A singularly perturbed convection-diffusion problem posed on an annulus
University of Limerick（利默里克大学）；Dublin City University（都柏林城市大学）
本文提出一种有限差分方法，用于解决在环形区域上的一致扰动对流-扩散问题，通过极坐标、上游有限差分算子和分段均匀Shishkin网格结合，确保不形成内部层，并建立参数均匀误差界。
2018-04-19 cs.NA math.NA
Supercloseness of the NIPG method for a singularly perturbed convection diffusion problem on Shishkin mesh in 2D
非对称内罚Galerkin方法作为一种常用的稳定化技术，在计算流体力学中具有重要的应用价值。本文研究了Shishkin网格上二维对流扩散问题的NIPG方法。根据解、网格和数值格式的特点，提出了一种新的复合插值方法。实际上，该插值由层内的垂直-边缘-元素插值和层外的局部$L^{2}$ -投影组成。在此基础上，通过选取不同类型元素间边的罚参数，进一步得到了几乎$k+\frac{1}{2}$阶在能量范数下的超贴近性.这里$k$是分段多项式的次数。数值试验支持了我们的理论结论。
2023-03-07 cs.NA math.NA
Optimal error analysis of an interior penalty virtual element method for fourth-order singular perturbation problems
Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学）；Xiangtan University（湘潭大学）
本文提出一种改进的内部惩罚虚拟元方法，证明其在边界层存在时仍能实现最优均匀误差估计，通过数值实验验证了方法的有效性。
2026-04-03 cs.NA math.NA
Error estimates in balanced norms of finite element methods on Shishkin meshes for reaction-diffusion problems
本文研究了反应扩散问题在Shishkin网格上的有限元方法，提出平衡范数以正确反映层行为，并讨论了各向异性问题、半线性方程、超接近性和组合技术。
2016-04-18 cs.NA math.NA
Supercloseness of the NIPG method for a singularly perturbed convection diffusion problem on Shishkin mesh
分析了Shishkin网格上非对称内罚Galerkin（NIPG）方法求解一类奇摄动对流扩散问题的超逼近结果。根据解和方案的特点，提出了一种新的分析方法。更具体地说，Gaussian Lobatto插值和Gaussian Radau插值分别引入层内和层外。通过在不同的网格点上选择特殊的罚参数，进一步建立了能量范数下的几乎k + 1阶超贴近度.这里k是分段多项式的阶。然后，构造了一个简单的后处理算子。特别是，提出了一种新的分析，该算子的稳定性分析。在此基础上，证明了相应的后处理可以使数值解达到更高的精度。最后，在离散能量范数下，可以得到超收敛。这些理论结论可以通过数值计算得到验证。
2021-12-12 cs.NA math.NA
A hybrid approach for singularly perturbed parabolic problem with discontinuous data
本文针对源项和对流系数不连续的二维奇异摄动抛物问题，提出结合中心差分与中点迎风的混合单调差分格式，并证明其空间近二阶、时间二阶的一致收敛性。
2024-10-18 cs.NA math.NA
An efficient spline-based scheme on Shishkin-type meshes for solving singularly perturbed coupled systems with Robin boundary conditions
针对带Robin边界条件、解具重叠相互作用边界层的弱耦合奇摄动线性反应扩散方程组，提出基于Shishkin型网格的三次样条结合中心差分的高效格式，实现近二阶及精确二阶收敛，并用数值结果验证。
2025-09-01 cs.NA math.NA
A finite difference scheme for two-dimensional singularly perturbed convection-diffusion problem with discontinuous source term
针对带不连续源项的二维奇异扰动对流扩散问题，提出一种在分段均匀网格上适应不连续性的有限差分格式，证明了扰动参数无关的近一阶收敛性，并用数值结果验证了其尖锐性。
2024-01-04 cs.NA math.NA
Exponentially Fitted Finite Difference Approximation for Singularly Perturbed Fredholm Integro-Differential Equation
针对二阶奇异摄动Fredholm积分微分方程解析求解难的问题，提出基于指数基函数积分恒等式等的拟合二阶差分格式，证明其收敛稳定且实验验证精度高，为现有方法提供更优替代。
2024-01-29 cs.NA math.NA
A parameter uniform hybrid approach for singularly perturbed two-parameter parabolic problem with discontinuous data
本文针对二维奇异摄动双参数抛物问题中的不连续数据与内部层、边界层，提出空间方向基于Shishkin网格的混合单调差分格式，并结合时间方向Crank-Nicolson方法，实现空间近二阶、时间二阶的一致收敛，数值实验验证了其优越性。
2024-08-31 cs.NA math.NA
A Boundary-Layer Preconditioner for Singularly Perturbed Convection Diffusion
受到其解具有边界层和内层的广泛的现实问题的启发，奇摄动微分方程离散化的数值分析是微分方程解的数值逼近研究中的一个已建立的子学科。因此，许多人知道如何准确和稳定地离散这样的方程\textit{a priori}适应网格，以正确解决其连续解中存在的层结构。然而，尽管是数值模拟过程中的一个关键步骤，但对与这些离散化相对应的线性系方程的有效和精确解知之甚少。在本文中，我们讨论了与这些离散化的直接求解器的应用相关的问题，我们提出了一个预处理策略，调整到对流-扩散方程的层适应网格诱导的矩阵结构，证明了一个强的条件数的预处理系统在一个空间维度上的界限，和一个较弱的界限在两个空间维度上。数值结果证实了效率的预处理在一个和两个维度，解决时间小于一秒的代表性问题的$1024\times 1024$网格和$40\times$加速标准稀疏直接求解器。
2021-12-07 cs.NA math.NA
Interior-point methods for the phase-field approach to brittle and ductile fracture
脆性和韧性断裂的变分方法的控制方程出现从一个非凸的能量泛函的最小化受到不可逆性约束。这导致了由力学平衡方程和内部变量的发展方程控制的多场问题。当平衡方程服从位移场的运动容许性时，内部变量的发展方程服从不可逆性条件，并采取变分不等式的形式，其通常以松弛或惩罚的方式求解，这可能导致实际解的偏差。本文提出了一种能严格求解变分不等式的内点方法。用这种方法，考虑了一系列扰动约束，在极限，恢复原来的约束问题。因此，不涉及控制方程的罚参数或修改。内点法适用于脆性和韧性断裂模型的交错和整体计划。为了稳定的单片格式，扰动施加到能量泛函的黑塞矩阵。所提出的算法被应用到三个基准问题，并与传统的方法相比，其中的裂纹相场的不可逆性施加使用的历史字段或增广拉格朗日。
2020-12-16 cs.NA math.NA
