分数阶非完整里奇流

Lagrange-Finsler空间的熵与里奇流

The Entropy of Lagrange-Finsler Spaces and Ricci Flows

我们制定了一个统计类比的定期拉格朗日力学和芬斯勒几何来自Grisha Perelman的泛函推广的非完整里奇流。当非完整约束流的黎曼度量的结果在芬斯勒一样的配置时，有详细的明确的建设，反之亦然，几何力学建模的黎曼空间与首选的非完整框架结构。

非完整Ricci流和孤子pp-波的参数变形及Schwarzschild解

Nonholonomic Ricci Flows and Parametric Deformations of the Solitonic pp--Waves and Schwarzschild Solutions

我们研究了爱因斯坦和弦引力中几类有物理价值的解的Ricci流。将非完整标架方法应用于一般的非对角度量分析，将场/演化方程转化为精确的偏微分可积系统。在四维和五维引力中，这种解的积分形式依赖于一个、两个和/或三个变量的任意生成函数和积分函数。某些类的非完整框架约束允许我们选择真空和/或爱因斯坦度量，推广这样的解决方案，非平凡的字符串（例如，反对称扭转场）和物质场的来源。这种方法的一个非常重要的性质（起源于Finsler和Lagrange几何，但重新定义的半黎曼空间）是，新的类的精确解可以产生的非完整变形依赖于参数相关的一些广义Geroch变换和Ricci流演化。在本文中，我们应用该方法来构造显式形式的多参数爱因斯坦空间和非完整Ricci流描述的演化/相互作用的孤子pp-波和变形的Schwarzschild度规的几类精确解。我们探索可能的物理后果，并推测它们在现代引力中的重要性。

非完整Ricci流：精确解与引力

Nonholonomic Ricci Flows: Exact Solutions and Gravity

在许多物理上重要的情况下，非完整（不可积）约束Ricci流可以用具有非齐次（各向异性）宇宙学常数的爱因斯坦方程的精确解来模拟。我们开发了两种几何方法来构造这样的解决方案：第一种方法适用于形式主义的非完整框架变形时的引力演化和场方程转化为系统的非线性偏微分方程，可以集成在一般形式。第二种方法在精确解的一（两）个参数族由具有一（两）个Killing向量场的爱因斯坦方程的任何无源解定义时，开发了一个通用方案。一个连续的迭代过程的结果在一类解决方案的特点是无穷多个参数的非阿贝尔群涉及任意函数的一个变量。我们还考虑非线性叠加的一些提到的类的解决方案，以构建更一般的积分品种的Ricci流和爱因斯坦方程取决于无穷多个参数和三/四坐标的四/五维（半）黎曼空间。

非完整里奇流：III。曲线流与孤子族

Nonholonomic Ricci Flows: III. Curve Flows and Solitonic Hierarchies

阐述了（半）黎曼流形和具有不可积分布的向量丛上的尺规作图法，定义了由度量张量正则诱导的非线性联络结构。这样的空间被称为非完整流形，并由两个等价的线性联络来描述，这两个联络也是由度量张量以独特的形式导出的（列维·奇维塔联络和正则区别联络，d-联络）。当Riemann张量用常矩阵系数参数化时，对某些d-联络和标架变换，给出了几何对象在切丛上的提升.对于这样的配置，非拉伸曲线和相应的双汉密尔顿和孤子的层次编码信息的里奇流演化，爱因斯坦空间和精确解的重力和几何力学。所应用的方法在芬斯勒几何中得到了正式的阐述，并使我们能够发展广义黎曼-芬斯勒和拉格朗日空间的形式主义。然而，对于（半）黎曼流形上的Levi Civita联络和完整标架，所有的尺规作图法都可以等价地重新定义.

非完整Clifford和Finsler结构、非交换Ricci流和数学相对论

Nonholonomic Clifford and Finsler Structures, Non-Commutative Ricci Flows, and Mathematical Relativity

本文概述了作者18年来在数学物理、粒子物理和引力中的几何方法、修正和应用等方面的研究活动（1994年博士论文答辩后）。十个最相关的出版物按常规结构分为三个“战略方向”：1）非完整几何流的演化和Ricci孤子和场方程的精确解，（2）非线性动力学和各向异性场相互作用模型量子化的几何方法;（3）（非）交换几何，几乎Kaehler和Clifford结构，Dirac算子和有效的Lagrange-Hamilton和Riemann-Finsler空间。

李代数体上的几乎Kaehler里奇流与Einstein和Lagrange-Finsler结构

Almost Kaehler Ricci Flows and Einstein and Lagrange-Finsler Structures on Lie Algebroids

本文研究了李代数胚上几乎Kaehler结构的里奇流，当基本几何对象完全由（半）黎曼度量或有效的正则生成Lagrange/ Finsler函数确定时.有构造规范几乎辛连接的几何流可以表示为梯度的，其特征在于格里戈里Perelman的泛函的非完整变形。本文的第一个目标是定义这种几何型值并导出几乎Kähler-Ricci几何发展方程。第二个目标是研究如何构造具有非完整分布的黎曼流形和（协）切丛的固定李代数体（即Ricci孤子）构型，以模拟（广义）Einstein或Finsler-Cartan空间。最后，给出了李代数体型Ricci孤子和（有效）Einstein和Lagrange Finsler代数体的一般非对角解的例子。

分数引力和几何力学中的常曲率系数和精确解

Constant Curvature Coefficients and Exact Solutions in Fractional Gravity and Geometric Mechanics

我们研究了引力理论和拉格朗日力学中的分数位形。该方法是基于Caputo分数阶导数，使零常数的行动。我们阐述了物理相互作用的分数几何模型，我们制定了其他类型的分数导数的非完整变形的方法。本文的主要结果包括在一个证明，相应的类的非完整分布的一个大类的物理理论建模为非完整流形与常数矩阵曲率。这使我们能够将相互作用和约束的分数动力学编码到曲线流和孤子层次的几何结构中。

延拓李代数体上的动力学方程与Lagrange-Ricci流发展

Dynamical Equations and Lagrange--Ricci Flow Evolution on Prolongation Lie Algebroids

非完整Ricci流与正则Lagrange系统几何演化的研究[S. Vacaru：J. Math. Phys. \textbf{49}（2008）043504 \& Rep. Math. Phys. \textbf{63}（2009）95]扩展到包括李代数体上的几何力学和重力模型。我们证明，如果考虑拉格朗日力学[J. Kern，Arch. Math.（Basel）\textbf{25}（1974）438]的等价几何化，几何力学和类似重力的这种演化情景可以模拟为以广义Perelman泛函为特征的梯度流。中华民国导出了描述Lagrange-Ricci流的李代数胚上的Hamilton方程。最后，我们证明了李代数胚上的几何演化模型是由延拓李代数胚上的统计泛函导出的有效代数值来描述的。

引力和几何力学中的分数曲线流和孤子族

Fractional Curve Flows and Solitonic Hierarchies in Gravity and Geometric Mechanics

非完整流形和拉格朗日-芬斯勒空间的几何方法应用于分数阶微积分与Caputo导数，并阐述分数阶引力和分数阶拉格朗日力学模型。这些模型的几何数据被编码成（分数）双哈密顿结构和相关的孤子层次。当相应的曲线分数流的层次结构由分数波映射和类似的薛定谔映射以显式形式描述时，该结构产生分数向量sine-Gordon方程和分数向量mKdV方程的水平/垂直对。

Hamilton动力学的体积测地畸变和里奇曲率

Volume geodesic distortion and Ricci curvature for Hamiltonian dynamics

研究了一类具有不完整约束和类作用量的变分问题的光滑体积形式沿极值的变化。我们引入了一个新的不变量描述的体积与动力学的相互作用，我们研究了它的基本性质。然后，我们展示了如何这个不变，连同曲率一样的不变量的动力学，出现在膨胀的体积在正则点的指数映射。这推广了著名的展开的黎曼体积的里奇曲率方面的广泛的一类几何结构，包括所有的子黎曼流形。

分段平坦曲率与三维里奇流

Piecewise Flat Curvature and Ricci Flow in Three Dimensions

离散形式的标量，部分和里奇曲率构造在单纯分段平坦的三角形的光滑流形，直接依赖于单纯的结构和选择的对偶镶嵌。这是通过对体积进行积分来完成的，所述体积包括针对每种类型的曲率的铰链的适当采样，其中积分基于围绕铰链的向量的平行运输。对不同流形的三角剖分的计算表明，这些分段平坦曲率收敛到它们的光滑值。里奇曲率也给出了一个分段平坦的里奇流作为边长的分数变化率，再次收敛到光滑的里奇流的流形测试。

分数阶Laplace-Beltrami算子的整表示

Integral representation for fractional Laplace-Beltrami operators

本文给出了一般黎曼流形的分数Laplace-Beltrami算子的一个整表示，它有几个有趣的应用.我们给出了两个不同的证明，在两个不同的情况下，基本上相同的结果。其中一种方法处理有边界或无边界的紧致流形，而另一种方法处理无边界的黎曼流形，其里奇曲率一致有界的情况。

Fractional combinatorial Calabi flow on surfaces

Using the fractional discrete Laplace operator for triangle meshes, we introduce a fractional combinatorial Calabi flow for discrete conformal structures on surfaces, which unifies and generalizes Chow-Luo's combinatorial Ricci flow for Thurston's circle packings, Luo's combinatorial Yamabe flow for vertex scaling and the combinatorial Calabi flow for discrete conformal structures on surfaces. For Thurston's Euclidean and hyperbolic circle packings on triangulated surfaces, we prove the longtime existence and global convergence of the fractional combinatorial Calabi flow. For vertex scalings o…

单纯里奇流

Simplicial Ricci Flow

本文构造了d维分段平坦单纯几何S的Hamilton里奇流（RF）方程的离散形式。这些新的代数方程是使用爱因斯坦广义相对论的离散公式（称为Regge演算）推导出来的。Regge-里奇流（RRF）方程自然地与单纯格的每个边L相关联。在定义这个方程时，我们发现利用单纯格S及其圆周对偶格S* 是方便的。特别地，与L相关联的RRF方程自然地被定义在连接$\ell$与其（d-1）维外心对偶胞腔L* 的d维混合块上。我们证明了这个方程表示为（1）与S中的边L相关联的单纯Ricci张量Rc_L与（2）在L的对偶中的圆周对偶格S* 的边的分数变化率λ在L* 中的一定体积加权平均之间的比例。S的元素之间的固有正交性和它们在S* 中的正交性提供了Hamilton RF方程的简单几何表示。在本文中，我们利用Regge演算，或等效的离散外部演算，建立这些方程的理论。我们解决这些方程的一些说明性的例子。