Dense periodic packings of tetrahedra with small repeating units
我们提出了一个单参数家庭的定期包装的正四面体，包装分数$100/117\approx0.8547$，这是简单的意义上说，他们是传递和他们的重复单元只涉及四个四面体。填料的建设的灵感来自于一个数值搜索的结果，产生了类似的包装。我们提出了一个分析结构的包装和描述其性质。我们还提出了一个传递包装与两个四面体的重复单元和包装分数$\frac{139+40\sqrt{10}}{369}\approx0.7194$。
2010-03-19 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
Densest local sphere-packing diversity: General concepts and application to two dimensions
利用非线性规划方法结合位形空间的随机搜索，得到了N个相同且不重叠的球在相同大小的固定中心球的半径Rmin（N）内的密集局部填充. d维欧氏空间中的Rmin（N）的知识允许构造球填充的关联函数对的可实现性条件和无限球填充的最大密度的上界。本文主要研究二维圆盘问题。我们发现并提出了假定的densitivepackings和相应的Rmin（N）为选定的值N = 348，并使用这些知识来构建这样一个可实现的条件和上限。我们还分析了最大密集堆积的性质和特征，发现它们的对称性和接触网络存在显著的变化，并且即使对于大N，绝大多数也与三角晶格有很大的不同。我们的工作对包装问题、成核理论和表面物理学具有影响。
2010-02-02 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
Superdense Crystal Packings of Ellipsoids
粒子堆积问题从文明的曙光开始就吸引着人们，并继续吸引着数学家和科学家。最近开普勒猜想的证明重新激起了人们的兴趣：面心立方晶格提供了具有填充分数$ϕ\approx0.7405$ \cite{Kepler_Hales}的相等球体的密集填充。在这里，我们报告的一致椭球的denountified已知的包装。新的填充族是近球形椭球体的晶体（周期）排列，并且总是超过密集晶格填充。对于长宽比分别为$\sqrt{3}$和$1/\sqrt{3}$的长椭球和扁椭球，都获得了显著的最大密度$ϕ\approx0.7707$，并且每个椭球都有14个相邻椭球。目前的结果并不排除可能性，甚至更密集的晶体包装的椭球体可以被发现，并相应的开普勒猜想可以制定为椭球体。
2004-03-10 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
Densest plane group packings of regular polygons
填充的规则凸多边形（$n$ -）是足够密集的背景下，已被广泛研究的建模物理和生物系统，以及离散和计算几何。以往的研究主要是关于双晶格或密排晶格的。在这里，我们考虑所有的二维晶体对称群（平面群），通过限制的配置空间的一般包装问题的全等副本的一个紧凑的子集的二维欧几里得空间，以特定的同构类的离散群的等距。将平面群布局问题转化为一个非线性约束最优化问题。利用近似解决这一问题的熵置信域填充算法，我们研究了各种$n$ -边形在所有$17$平面群中的已知和未知的离散填充，以及关于每一个$n$ -边形的离散平面群填充的公共对称性的状态图.
2022-11-21 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math-ph
Densest Lattice Packings of 3-Polytopes
基于Minkowski关于三维凸体临界格的工作，本文提出了一种计算任意3-多胞形的稠密格填充密度的有效算法。作为应用，我们计算了所有正则多面体和阿基米德多面体的密排格填充。
1999-09-29 math.MG
Optimally dense packings of hyperbolic space
在以前的工作中，概率的方法来控制双曲空间的密度的困难，导致了一个可行的概念，最佳密度的包装机构。本文推广了Nevo的一个遍历定理，给出了最优稠密填充的一个适当定义.给出的例子来说明各个方面的密度问题，特别是在重点转移，从单独的包装空间的包装的分析。
2002-11-26 math.MG
A densest compact planar packing with two sizes of discs
我们认为包装的平面使用光盘的半径1和r=0.545151. . r的值允许紧密填料，其中填料中的每个孔由三个彼此相切的圆盘形成。我们证明，最大的密度可能是图1所示的紧凑包装。
2004-12-21 math.MG
Compact Packings are not always the Densest
本文给出了B.康奈利关于圆填料的密度
2021-04-27 cs.CG math.MG
New dense superball packings in three dimensions
本文利用$p \in (1, 1.58]$构造了一类新的三维超球格填充（$l^p_3$范数为单位球）.我们猜想这个族对于$p \in (1.58, \log_2 3 = 1.5849625\ldots]$也是存在的。就像正八面体的密排晶格填充一样，我们的晶格填充家族中的每个超级球都有$14$邻居。
2018-06-28 math.MG
On a Detail in Hales's "Dense Sphere Packings: A Blueprint for Formal Proofs"
在“致密球形填料：形式证明的蓝图”黑尔斯证明了，对于单位球的每一种堆积，半径为$r$的球的密度至多为$π/\sqrt{18}+c/r$，对于某个常数$c$。当$r$趋于无穷大时，这就证明了著名的开普勒猜想。如Hales所述，$c$取决于填料。我们遵循Hales的证明来计算一个常数$c'$，该常数独立于Hales等人在“开普勒猜想的形式证明”中提到的存在的球体填充。
2017-12-10 math.MG
Improving Dense Packings of Equal Disks in a Square
我们描述了一种新的数值方法，用于生成各种几何形状内的磁盘和球体的密集包装。我们相信，在一些较小的情况下，这些填料实际上是最佳的。当应用到前面研究的n个相等的圆盘在一个正方形中的填充情况时，该程序证实了所有以前的记录填充，除了n = 32，37，48和50圆盘，在那里发现比以前记录的更好的填充。然而，对于n = 37和50，新的模式有很大的不同。例如，它们是镜像对称的，而以前的记录包装不是。
2004-05-15 math.MG
Robust Algorithm to Generate a Diverse Class of Dense Disordered and Ordered Sphere Packings via Linear Programming
我们已经将生成周期性密集粒子填充的问题表述为称为自适应收缩单元（ASC）表述的优化问题[S. Torquato和Y. Jiao，Phys. Rev. E { \bf 80}，041104（2009）]。由于在$d$ -维欧氏空间$\mathbb{R}^d$中具有尺寸分布的球形填充的目标函数和不可穿透性约束可以精确线性化，因此使用序列线性规划（SLP）技术来解决相应的ASC优化问题是最合适和自然的。我们实现了一个SLP的解决方案，以产生强大的广泛的频谱的堵塞球填充在$\mathbb{R}^d$为$d=2,3,4,5$和$6$的无序和密度的多样性的最大密度。通过调整{ \it影响球}的半径，这种确定性算法可以以很小的计算代价产生除了通常的无序结构之外的广泛的固有结构。在三维空间中，我们表明，它可以产生高概率的各种严格堵塞的包装与包装密度的任何地方在广泛的$[0.6, 0.7408...]$。我们还应用该算法生成各种无序包装以及最大稠密包装的$d=2,3, 4,5$和6。与LS过程相比，我们的SLP协议能够确保最终的包装是真正的堵塞，产生无序堵塞的包装，密度非常低，并且在生成最大密度的包装时，特别是随着空间维度的增加，计算速度明显更快。
2010-12-14 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech math.MG
On densest packings of equal balls of $\rb^{n}$ and Marcinkiewicz spaces
我们调查，“一拉Marcinkiewicz”技术应用于（渐近）密度函数，如何稠密系统的相等领域的$\rb^{n}, n \geq 1,$可以在无穷远处分割，以允许计算其密度作为一个真正的限制，而不是limsup。等球堆积的密度是Marcinkiewicz意义下球系的特征函数的范数1。给出了密度球填充和最大密度完全饱和球填充的存在性定理的新的直接证明。
2008-12-09 math.MG
A Densest ternary circle packing in the plane
我们考虑平面上的圆填充，其圆的大小为$1$、$r\simeq 0.834$和$s\simeq 0.651$。这些尺寸是允许紧凑填充的代数数，即，其中每个孔由三个相互相切的圆形成的填充。人们认为，在可能的情况下，紧凑的填料可以使密度最大化。我们证明，这确实是这些尺寸的情况下。证明应该是可推广到其他尺寸，允许紧凑的包装，是第一步走向一般的结果。
2019-12-04 cs.CG math.MG
Crystalline Assemblies and Densest Packings of a Family of Truncated Tetrahedra and the Role of Directional Entropic Forces
多面体和它们的排列方式从古希腊时代起就引起了人类的兴趣，并且是今天凝聚态物质的重要图案，适用于许多种类的液体和固体。然而，人们对多面体形状的构建块（如多面纳米颗粒和胶体）的结晶稳定相知之甚少。虽然已知硬颗粒仅由于熵而组织，并且在文献中报道了一些不寻常的相，但与多面体形状有关的熵力的作用还没有得到很好的理解。在这里，我们研究了一个家庭的截断四面体的热力学自组装，并报告了几个原子晶体的同构，包括金刚石，β-锡，高压锂，多面体形状从四面体到八面体变化。我们比较我们的研究结果与密度填充的截断四面体家庭通过数值压缩和报告一个新的空间填充多面体，这在以前的搜索中被忽视。有趣的是，自组装结构不同于密排填料。我们发现，自组装晶体结构可以理解为多面体的趋势，以最大限度地提高面对面的对齐，这可以概括为定向熵力。
2011-12-02 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft cond-mat.stat-mech
Dense packing of space with various convex solids
离散几何中的一个基本问题是确定给定凸集$K$的全等副本在平面或空间中的最有效填充。最常用的效率度量是密度。几种类型的问题出现取决于类型的等距允许的包装：包装的平移，晶格包装，平移和点反射，或所有等距。由于它与数论、晶体学等的联系，对晶格堆积的研究最为广泛。在二维空间中，这个理论已经发展得相当好，在三维空间中，晶格堆积也有一些重要的结果。本文综述了已知的结果，重点是最新的进展。提出了许多新的问题，指出了三维一般堆积理论今后发展的方向。
2010-08-13 math.MG
On the translative packing densities of tetrahedra and cubooctahedra
本文给出了可重平移四面体填充和可重平移立方八面体填充的密度的上界。
2012-11-12 math.MG math.NT
A Computer Approach to Determine the Densest Translative Tetrahedron Packings
在1900年，作为他的第18个问题的一部分，希尔伯特提出了一个问题，以确定一个给定的固体，如单位球或单位边的正四面体的全等（或平移）填充。到目前为止，我们对这一问题的认识还很有限，除了球的情况。证明了对于四面体、立方八面体和八面体等特殊固体，它们的最大平移堆积密度与最大晶格堆积密度是相同的。为了反驳这个猜想，本文提出了一种计算机方法来确定一个给定的多面体的最大局部平移填充密度，通过研究相关的颜色图和应用优化。特别地，所有的四面体的情况下，立方八面体的情况下，和八面体的情况下的猜想已减少到有限个可管理的最优化问题。
2018-05-06 math.MG
Densest geodesic ball packings to $\mathbf{S}^2\!\times\!\mathbf{R}$ space groups generated by screw motions
本文研究了具有旋转点群的$\mathbf{S}^2\!\times\!\mathbf{R}$空间群的局部最优等球测地球填充，其生成元为螺旋运动。我们确定了上述空间群的密度单传递测地线球排列，并将其形象化，计算了它们的最佳密度和半径。密排堆积源自$\mathbf{S}^2\!\times\!\mathbf{R}$空间群$\mathbf{3qe.~I.~3}$，堆积密度为$\approx 0.7278$。E.莫尔纳已经表明，瑟斯顿几何有一个统一的解释，在真正的射影3球$\mathcal{PS}^3$。在我们的工作中，我们将使用这种$\mathbf{S}^2\!\times\!\mathbf{R}$几何的投影模型。
2014-07-04 math.MG
On the densest packing of polycylinders in any dimension
利用横截性和降维论证，得到了A. Bezdek和W. Kuperberg应用于多圆柱体$\mathbb{D}^2\times \mathbb{R}^n$，表明在任何维度上的最佳堆积密度都是$π/\sqrt{12}$。
2017-06-28 math.CO math.MG math.NT
Maximally Dense Disc Packings on the Plane
假设有一组不同大小的圆盘，它们内部不相交，在平面上有一个填充物，并假设最小半径除以最大半径的比值介于$1$和$q$之间。在他1964年的著作《正则图》（MR 0165423）中，拉斯洛·费杰斯·托特发现了一系列填充，这是他对任何$1 > q > 0.2$的最大密度的最佳猜测。同时Gerd Blind在（MR0275291，MR0377702）中证明，对于$1 \ge q > 0.72$，可能的最密集包装是$π/\sqrt{12}$，这是当所有磁盘大小相同时。在正则图中，比率$q$的上界使得他的填充密度大于Fejes Tóth发现的$π/\sqrt{12}$是$0.6457072159...$。在这里，我们改进的上界$0.6585340820...$。我们的新包装的基础上扰动的三角形包装，有三个不同大小的磁盘，发现Fernique，哈希米和Sizova（MR4292755），这是一个惊喜。
2023-03-17 math.MG
Dense Packings from Algebraic Number Fields and Codes
本文从数域和码的角度给出了欧氏空间中稠密填充的一种新的构造方法。通过将任意数域$K$嵌入到$\mathbb{R}^{[K:\mathbb{Q}]}$中的规范$\mathbb{Q}$ -嵌入，素理想$\mathfrak{p}$及其剩余域$κ$都可以作为离散子集嵌入到$\mathbb{R}^{[K:\mathbb{Q}]}$中.因此，我们可以将$\mathfrak{p}$的$n$拷贝的笛卡尔积的嵌入图像与$κ$上的长度$n$代码的图像连接在一起。这种连接导致欧几里德空间$\mathbb{R}^{n[K:\mathbb{Q}]}$中的填充。此外，我们还将单级级联推广到多级级联，得到了稠密填充和渐近好的填充族。例如，我们利用\Magma{}构造了一个比Barnes-Wall格BW $_{256}$更密集的$256$ -维堆积。
2017-01-11 cs.IT math.AC math.IT
Uniqueness and Symmetry in Problems of Optimally Dense Packings
我们分析了确定最优稠密包装的一般问题，在欧几里德或双曲空间，一些固定的有限集的机构的全等副本。我们强烈指导的例子，非周期平铺在欧几里得空间和一个新的家庭的例子在双曲平面的详细分析。我们的目标是了解定性的最优密度问题，特别是适当的意义的唯一性的解决方案，和对称性的作用，在分类最优稠密包装。
2018-07-09 math.DS math.MG
On Dense Tetrahedra in Binary Sphere Packings
HSE University（高等经济大学）；Laboratoire LIP, ENS Lyon & Inria Lyon（里昂高等师范学院与法国国家信息与自动化研究所里昂实验室）
本文研究三维空间中不等球体堆积分解中四面体的密度，通过结合几何洞察与区间算术计算，改进了特定尺寸球体堆积密度的上界。
2026-06-26 cs.CG math.MG
A candidate to the densest packing with equal balls in the Thurston geometries
在没有任何对称性假设的情况下，在$3$维常曲率空间中的球（或球）填充问题由Böröczky和Florian在\cite{BF64}中解决了双曲空间$\HYP$，并通过黑尔斯证明了著名的开普勒猜想\cite{H}在欧几里得空间$\EUC$中。本文的目的是推广的问题，找到其他$3$维齐性几何（Thurston几何）$$ \SXR,~\HXR,~\SLR,~\NIL,~\SOL, $$的球包装的传递对称群，所考虑的空间的离散等距群之一，球包装。此外，我们描述了一个候选的denner-geodesicball packing。迄今为止最大的密度是$\approx 0.85327613$，它不是通过用双曲空间$\HYP$的相等球填充来实现的。然而，它达到例如在$\overline{\bH}^3$的等球填充，其中等球的理想中心位于$\overline{\bH}^3$的绝对图形上，通过其Coxeter-Schläfli符号诱导正则理想单形平铺$(3,3,6)$。本文提出了一种密度为$\approx 0.87499429$的$\SXR$几何中的测地线球填充。极值构形在定理2.8中描述，我们的猜想和进一步的评论在第3节中总结。
2012-10-08 math.MG
Dense Packings with Nonparallel Cylinders
\emph{cylinder packing}是一类在$3$维欧几里得空间中内部互不相交的全等无限圆柱体。圆柱填料的\emph{local density}是给定球体内圆柱体所占体积与整个球体体积之比。圆柱填料的\emph{global density}是通过使球的半径接近无穷大而得到的。众所周知，当所有圆柱体彼此平行且每个圆柱体正好被其他六个圆柱体包围时，可以获得最大的全局密度。在这种情况下，圆柱填料的整体密度等于$π/\sqrt{12}= 0.90689\ldots$。问题是，如果施加\emph{no two cylinders are parallel}的限制，圆柱填料的密度可以有多大。在本文中，我们证明了两个结果。首先，我们证明了存在没有两个圆柱相互平行的圆柱填充，其局部密度任意接近于平行圆柱填充的局部密度。其次，我们构造了一个没有两个平行圆柱的圆柱堆积，其整体密度为$1/2$。这改进了K.库珀伯格角Graf和P. Paukowisch。
2018-09-27 math.MG
Top dense hyperbolic ball packings and coverings for complete Coxeter orthoscheme groups
在$n$ -维双曲空间$\mathbf{H}^n$ $(n\ge2)$中，有$n$-型球（球）：球、时球和超球.如果$n=2,3$，我们知道球堆积密度的普遍上限，其中每个球的体积与相应的Dirichlet-Voronoi（D-V）细胞的体积有关。例如，在$\mathbf{H}^3$中，密度球填充是从由具有二面角$\fracπ{3}$的理想规则单形$T_{reg}^\infty$组成的$\{3,3,6\}$ Coxeter平铺导出的。这种堆积的密度是$δ_3^\infty\approx 0.85328$，这也为球堆积密度提供了一个非常粗略的上限。然而，对于全等球的“经典”球填充和球覆盖，没有“本质”的结果。本文的目的是寻找具有“经典球”的$\mathbf{H}^3$中的极值球排列。我们只考虑与广义的，所谓的{ \it完全Coxeter orthoschemes}及其扩展群相关的周期全等球安排（为了简单起见）。在定理1.1-1.2中，我们还分别给出了密度为$0.77147\dots$的齿球填充和密度为$1.36893\dots$的齿球覆盖的结构。两者都与扩展的Coxeter群$(5, 3, 5)$和所谓的双曲足球流形有关（参见图~）。3）。这些事实在晶体学中与富勒烯有着重要的关系。
2016-12-14 math.MG
Repeated Patterns of Dense Packings of Equal Disks in a Square
我们检查序列的密集包装的n全等非重叠磁盘内的一个广场，遵循特定的模式，因为n沿某些值，n = n（1），n（2），. n（k），.扩展和改进Nurmela和Ostergard以前的工作，其中以前的模式为n = n（k）的形式k*k，k*k-1，k*k-3，k（k+1），和4k*k+k，我们确定了新的模式为n = k*k-2和n = k*k+[k/2]。我们还发现密集的包装比在[Nurmela，Ostergard] n =21，28，34，40，43，44，45，和47。此外，我们产生我们猜想是最佳包装n =51，52，54，55，56，60，和61。最后，对于每个识别的序列n（1），n（2），. n（k），.其对应于某个特定的重复模式，我们识别阈值索引k_0，对于该阈值索引k_0，对于k =
2004-06-21 math.CO math.MG
Optimally Dense Packings for Fully Asymptotic Coxeter Tilings by Horoballs of Different Types
本文的目的是确定双曲三维空间$\mathbb{H}^3$中所有四种完全渐近Coxeter镶嵌（Coxeter honeycombs）的最优Horoball填充排列及其密度。要求水平球的中心位于构成镶嵌的规则多面体单元的顶点处。我们允许不同类型的horoball在不同的顶点。我们的结果是通过推广的投影方法双曲空间。主要结果表明，已知的Böröczky-弗洛里安密度上界的“全等horoball”包装的$\mathbb{H}^3$仍然有效的类完全渐近Coxeter平铺，即使包装条件放宽，允许horoball的不同类型下规定的对称群。这一显着的结果的后果进行了讨论，为各种考克斯特瓷砖。
2012-07-12 math.MG
On Minkowksi's bound for lattice-packings
给出了稠格存在Minkowski-Hlawka界的一个新的证明.证明是基于构造稠格的一种基本方法，这种方法几乎是有效的。
2004-09-01 math.MG math.NT
Dense Packings of Congruent Circles in Rectangles with a Variable Aspect Ratio
我们使用计算实验，以找到一个给定的数量n的非重叠全等圆可以包装成最小面积的矩形。没有对矩形的形状做出任何假设。发现的大多数填料具有通常的规则正方形或六边形图案。然而，对于测试范围内的1495个n值，n =< 5000，具体地，对于n = 49、61、79、97、107、. 4999，我们证明，最优不可能实现这样的定期安排。证据表明，当n趋于无穷大时，包含最佳六边形排列的圆的矩形的极限高宽比趋于2-sqrt（3），如果极限存在的话。
2004-05-17 math.MG
A new local invariant and simpler proof of Kepler's conjecture and the least action principle on the crystalformation of dense type
R^3中球堆积的一个新的局部平均密度是通过局部胞元（Voronoi胞元）和Delaunay分解（§1.2.2）的适当组合定义的，只使用单层的周围球。局部填充达到这样的局部不变量的最佳估计必须是f.c.c.或h. c. p.局部填充（定理I）。本文的主要目的是通过几何不变理论提供一个简洁的证明这个强唯一性结果。这一结果也导致简单的证明开普勒猜想的球包装，最小作用原理的晶体形成的密集型，和最佳包装与容器（定理II-IV）。这项工作提供了一个非常简化的替代作者以前的工作开普勒的猜想和最小作用原理的晶体形成的密集型，其中涉及一个本地不变定义的双层周围的领域[HSI]。
2017-04-27 math.MG
Densest packings of translates of strings and layers of balls
令$L \subset {\Bbb R}^3$是单位球的并集，其中心位于$z$轴上，并且与距离$2d \in [2, 2\sqrt{2}]$等距。则由$L$的平移构成的${\Bbb R}^3$中的单位球的填充具有至多$π/(3d\sqrt{3-d^2})$的密度，对于单位球的特定格填充是相等的。设$L \subset {\Bbb R}^4$是单位球的并集，其中心位于$x_3x_4$坐标平面上，并且形成边长为$2$的正方形晶格或规则三角形晶格。则由$L$的平移构成的${\Bbb R}^4$中的单位球的填充具有至多$π^2/16$的密度，并且对于${\Bbb R}^4$中的单位球的密度格填充是相等的。这是${\Bbb R}^4$中单位球的第一类非格填充，并证明了这类填充密度的上界.我们证明的主要工具是${\Bbb R}^2$中关于$(r,R)$ -系统的一个定理。如果为$R/r \le 2 \sqrt{2}$，则与此$(r,R)$ -系统关联的Delone三角测量具有以下属性。Delone三角形的平均面积至少为$\min \{ V_0, 2r^2 \} $，其中$V_0$是非钝角Delone三角形的面积的下确界。这个一般定理也有应用在其他问题的包装：即为$2r^2 \ge V_0$这是足够的，只处理非钝角Delone三角形，这是在一般情况下，一个更容易的任务。本文还证明了L的一个未发表…
2017-06-16 math.MG
On a relation between packing and covering densities of convex bodies
证明了凸体在$\mathbb{R}^d$中存在平移稠密填充的充要条件是凸体存在平移经济覆盖。
2018-11-09 math.CO math.MG
Packing points into a unit cube in higher space
本文利用扩展汉明码的概念，给出了在维数为2的幂的单位立方体中距离至少为1的点的稠密填充的一种构造。
2009-10-06 math.MG
Entropic trust region for densest crystallographic symmetry group packings
分子晶体结构预测（CSP）在给定分子的化学组成和压力-温度条件下寻求最稳定的周期结构。现代CSP求解器使用全局最优化方法来搜索由分子间势能引起的复杂能量景观中具有最小自由能的结构。这些方法的一个主要警告是，初始配置是随机的，因此搜索容易收敛于局部极小值。提供相对于分子的几何表示密集堆积的初始构型可以显著地加速CSP。基于这些观察，我们定义了一类限制在晶体对称群（CSG）上的周期填充，并在信息几何框架下设计了一种搜索法来搜索离散CSG填充。由于CSG在位形空间上引入了一个环面拓扑，通过扩展多元von Mises分布，在由定义在$n$维平坦单位环面上的概率分布组成的统计流形上实现了一种非欧置信域方法.引入适应度函数的自适应分位数重构到优化调度中，通过局部对偶测地流为算法提供了几何表征。此外，我们检查的自适应选择分位数定义的置信域的几何形状，并表明该算法执行扩展的多元冯米塞斯分布随机向量的元素之间的随机依赖性的最大化。我们实验评估的行为和性能的方法上的各种denumbering包装的凸多边形在$2$维CSG的最优解是已知的，并展示其应用在并五苯薄膜CSP。
2023-02-19 cond-mat.mtrl-sci cs.IT cs.NE
Dense Packings of Equal Disks in an Equilateral Triangle: From 22 to 34 and Beyond
以前发表的等边三角形中的相等圆盘的填充处理了多达21个圆盘。我们使用一种新的离散事件模拟算法来产生多达34个磁盘的包装。对于22 =< n =< 34范围内的每一个n，我们给出了我们认为是n个相等圆盘在一个等边三角形中的绝对可能的堆积。对于这些n，我们还列出了我们发现的第二、常常是第三、有时是第四好的填充，在每种情况下，填充的结构意味着盘中心之间的最小距离d（n）是整数系数多项式P_n的根。在大多数情况下，我们不显式计算P_n，但在所有情况下，我们计算和报告d（n）到15个有效的十进制数字。等边三角形中的圆盘填料不同于正方形或圆形中的圆盘填料，因为对于三角形，有无穷多个n值，而d（n）的精确值是已知的，即当n的形式为Delta（k）：= k（k+1）/2时。在这种情况下，d（n-1）= d（n）也已被证明。在此基础上，我们给出了n = Delta（2k）+1，Delta（2k+1）+1，Delta（k+2）-2，Delta（2k+3）-3，Delta（3 k +1）+2，4 *Delta（k）和2*Delta（k+1）+2*Delta（k）-1等七个无穷大类的优化填充.我们还报道了在这些形式中，对于大于34的其他n值，即n=37，40，42，43，46，49，56，57，60，63，67，71，79，84，92，93，106，112，121和254，以及对于n=58，95，108，…
2004-06-12 math.CO math.MG
Density of Binary Disc Packings: Playing with Stoichiometry
我们考虑的硬盘混合物的光盘大小的比例$\sqrt{2}-1$，也就是说，小光盘完全适合在四个大光盘之间的孔。对于每个规定的化学计量的大小盘，密度填料是严格确定通过计算机辅助证明。1：1化学计量比的密度最大：大圆盘在每个间隙部位形成正方形网格，小圆盘嵌套在其中。当存在过量的大圆盘时，分散填料由单相组成，其以混乱的方式混合两种类型的圆盘（它可以用正方形-三角形平铺来描述）。当存在过量的小圆盘时，相反地，出现相分离现象：大圆盘参与到密度为1：1的化学计量比相中，而过量的小圆盘形成致密的六方相。
2022-01-20 cs.DM math.CO math.MG
Towards a proof of the 24-cell conjecture
本文主要研究四维球面填充问题。主要目的是寻找合理的方法来解决四维欧几里得空间中的密度球填充问题。我们考虑两个长期存在的开放问题：最大接吻安排的唯一性在4维和24细胞猜想。注意，24-胞猜想的证明也证明了棋盘格填充D4是4维中的密度球填充。
2018-03-29 math.CO math.MG
Packing and covering in higher dimensions
目前的工作调查问题，在$n$维空间与$n$大。早期发展的研究包装和覆盖在高维的动机是数的几何。随后的结果，如发现的利奇格和线性规划界，最终在最近的解决方案的领域包装问题的8和24维，受到编码理论。在介绍了有关经济填充和覆盖存在性的已知结果之后，我们讨论了获得填充全等球密度的上界的不同方法。总结了关于一般凸体堆积密度上界的几个结果。最后，本文对最优安排的结构作了一些评论。
2022-02-23 math.MG
Curved Hexagonal Packings of Equal Disks in a Circle
对于每个k >= 1和相应的六角数h（k）= 3 k（k+1）+1，我们引入m（k）= max[（k-1）！/ 2，1]的圆内h（k）相等圆盘的填充，我们称之为“曲六边形填充”。7个圆盘（k = 1，m（1）=1）的弯曲六边形堆积是众所周知的，并且19个圆盘（k = 2，m（2）=1）中的一个先前已被证明是最佳的。新的37、61和91个圆盘的弯曲六方堆积（k = 3、4和5，m（3）=1，m（4）=3，m（5）=12）是我们使用所谓的“台球”模拟算法在计算机上获得的结果。弯曲的六边形堆积模式在60度旋转下是不变的。当k趋于无穷大时，曲面六角堆积的密度（覆盖分数）趋于π * π/12。该极限小于无限平面中已知的最佳盘填充的密度。我们发现磁盘配置比弯曲的六角形包装127，169，和217磁盘（k = 6，7和8）更密集。除了h（k）圆盘的新填充外，我们还给出了h（k）+1和h（k）-1圆盘的新填充，其中k ≤ 5，即，36、38、60、62、90和92个磁盘。额外的填充显示了k =< 5的弯曲六边形图案的“紧密性”：删除磁盘不会显著改变最佳填充及其质量，但添加磁盘会导致最佳填充的实质性重排并大大降低质量。
2004-06-06 math.MG
On the Sausage Catastrophe in 4 Dimensions
J. Wills（1983）的香肠灾难是观察到在$d=3$和$d=4$中，$n$球在$\mathbb{R}^{d}$中的密堆积对于小的$n$值是香肠状的，对于大的$n$则跳跃到全维堆积而不经过任何中间维。令$n_{d}^{*}$是$n$的最小值，对于该最小值，$n$球在$\mathbb{R}^{d}$中的密排填充是全维的，并且$N_{d}^{*}$是$N$的最小值，对于该最小值，对于所有$N\geq N_{d}^{*}$，$N$球在$\mathbb{R}^{d}$中的密排填充是全维的。推广了Gandini和Zucco（1992）的工作，得到了$n_{4}^{*}\leq338,\!196$和$N_{4}^{*}\leq516,\!946$的新的上界.后一个结果的证明中的一些冗长和重复的部分是使用区间算术得到的。
2023-02-22 math.MG
Simply transitive geodesic ball packings to $S^2 \times R$ space groups generated by glide reflections
$S^2 \times R$几何形状可以由球面$\bS^2$和实数线$\bR$的直积导出。J. Z. Farkas对$S^2 \times R$的空间群进行了分类并给出了完整的列表。$S^2 \times R$流形由E. Molnár和J. Z. Farkas通过相似性和同构。在Schummai中，我们研究了$S^2 \times R$空间中的测地球及其体积，并引入了测地球填充及其密度的概念，确定了$S^2 \times R$的广义Coxeter空间群的密度测地球填充.本文研究了具有Coxeter点群的$S^2 \times R$空间群的局部最优球填充，并且至少有一个生成元是滑移反射。我们确定了上述空间群的密度单传递测地线球排列，并计算了它们的最佳密度和半径。密排堆积的密度为$\approx 0.80407553$，与欧几里德结果$\fracπ{\sqrt{18}} \approx 0.74048$相比，可能是令人惊讶的。E. Molnár证明了齐性3-空间在实射影3-球面$\mathcal{PS}^3(\bV^4,\BV_4, \mathbb{R})$中有统一的解释。在我们的工作中，我们将使用这种$S^2 \times R$几何的投影模型。
2012-06-04 math.GR math.MG
Optimal Packings of Two to Four Equal Circles on Any Flat Torus
我们发现明确的公式半径和位置的圆在所有的最佳密集包装的两个，三个或四个平等的圆在任何平面环面，定义为商的欧几里得平面所产生的晶格由两个独立的向量。我们证明了最优的安排使用刚性理论和拓扑图论的技术。
2019-05-14 math.MG
