Graham's Tree Reconstruction Conjecture and a Waring-Type Problem on Partitions
假设$G$是一棵树。Graham的“树重构猜想”指出$G$由整数序列$|G|$，$|L(G)|$，$|L(L(G))|$，$|L(L(L(G)))|$，$\ldots$唯一确定，其中$L(H)$表示图$H$的线图。除了一些简单的观察之外，对这个问题知之甚少。我们证明了$n$顶点上的树的数目是$e^{Ω((\log n)^{3/2})}$，这些树可以通过它们的相关整数序列来区分。证明策略包括使用Prouhet-Tarry-Escott问题产生的分区构建大量的毛毛虫图。
2017-08-23 cs.DM math.CO
Hadwiger's Conjecture for squares of 2-Trees
Hadwiger猜想断言任何图都包含一个阶不小于图的色数的团子。我们证明了这个著名的猜想是真实的所有图当且仅当它是真实的分裂图的平方。这一观察意味着Hadwiger的弦图的平方猜想是困难的一般情况下，因为弦图是分裂图的超类。然后我们考虑了2-树，它们是可平面图、2-退化图和弦图的子类。证明了Hadwiger猜想对$2$ -树的平方成立.我们通过证明以下更强的结果来实现这一点：对于任何$2$树$T$，它的平方$T^2$有一个阶为$χ(T^2)$的团子，每个分支集诱导一条路，其中$χ(T^2)$是$T^2$的色数.
2019-10-01 cs.DM math.CO
Toward Grünbaum's Conjecture
针对 Grünbaum 猜想，本文利用 Schnyder 树的新结构，证明了平面 3-连通图存在生成树及其余树最大度至多为 4，改进了 Biedl 的 5 度界。
2024-02-08 cs.DM math.CO
The Non-Cancelling-Intersections Conjecture Fails for Left-Linear Trees
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
Amarilli等人提出的非消去交集（NCI）猜想的两种强化中，仅用左线性树时该猜想不成立，研究通过非构造性论证证明存在规模极大的反例。
2026-08-21 cs.DM math.CO
On Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with treewidth at most 3
一条路（路）图$G$的循环）分解是一组边不相交的路径（分别是周期），其覆盖$G$的边缘集。Gallai（1966）证明了$n$顶点上的每个图都允许一个大小至多为$\lfloor (n+1)/2\rfloor$的路分解，Hajós（1968）证明了$n$顶点上的每个欧拉图都允许一个大小至多为$\lfloor (n-1)/2\rfloor$的圈分解. Gallai猜想在许多图类中得到了验证。特别地，Lovász（1968）证明了这个猜想对于至多有一个偶度顶点的图，Pyber（1996）证明了它对于每个圈包含一个奇度顶点的图。Hajós猜想，另一方面，被证实只有图的最大程度$4$和平面图。本文证明了树宽至多为$3$的图的Gallai猜想和Hajós猜想。此外，我们表明，树宽最多$3$，不承认路径分解的大小最多$\lfloor n/2\rfloor$的唯一的图形是同构的$K_3$或$K_5-e$。最后，我们利用本文所发展的技术，对最大度不超过$4$的图和围长不超过$6$的平面图给出了Gallai猜想和Hajós猜想的新证明。
2017-06-14 cs.DM math.CO
New Computational Result on Harmonious Trees
Graham和Sloane在1980年提出了一个猜想，指出每棵树都有一个和谐标号，一个与可加基密切相关的图标号。关于这个猜想的结果非常有限。在本文中，我们提出了一个计算方法，通过检查树的大小有限的猜想。使用混合算法，我们能够证明每棵树最多31个节点是和谐的，在这个方向上扩展了以前的最佳结果。
2012-10-31 cs.DM math.CO
Counterexamples to a Conjecture on Laplacian Ratios of Trees
Indian Institute of Technology Indore（印度理工学院印多尔分校）
本文通过构造无限族反例，推翻了关于树的拉普拉斯比最大值的猜想，研究了树的拉普拉斯矩阵永久与顶点度数乘积的比值问题。
2026-05-13 cs.DM math.CO
Trees and co-trees with constant maximum degree in planar 3-connected graphs
本文考虑Grünbaum的猜想：每个平面3-连通图都有一棵生成树$T$，使得$T$及其余树的最大度都不超过3.这里，$T$的余树是通过取非树边的顶点而获得的对偶的生成树。虽然Grünbaum的猜想仍然是开放的，我们证明了每个平面3-连通图有一个生成树$T$，使得$T$和它的共树的最大度最多为5。它可以在线性时间中找到。
2013-12-15 cs.DM math.CO
Nim heaps in the Game of Cycles: the parity conjecture fails on trees
University of Southern California（南加州大学）
本文研究循环博弈中的尼姆堆，证明树上的奇偶性猜想不成立，最小反例有15个顶点，还分析了蜘蛛树的Grundy值，给出相关公式与算法，提出非负整数是否均为树的Grundy值的问题。
2026-10-14 cs.DM math.CO
Oriented trees in $O(k \sqrt{k})$-chromatic digraphs, a subquadratic bound for Burr's conjecture
本文证明有向图色数达到$8\sqrt{2/15}\\,k\sqrt{k}+O(k)$即可包含任意$k$阶定向树，首次为Burr猜想建立次二次上界，并改进树形图与分块路径情形。
2024-02-29 cs.DM math.CO
Equitable vertex arboricity conjecture holds for graphs with low degeneracy
公平树着色可以将通信网络上的结构分解问题公式化，同时考虑到安全性。图的均匀树- $k$ -着色是指图的顶点使用$k$不同的颜色着色，使得每个颜色类都诱导出一个森林，并且任意两个颜色类的大小相差至多1.本文证明了图的公平树着色的一些理论结果，证明了对于任意整数$k\geq (Δ+1)/2$，最大度至多为$Δ$的$d$ -退化图都是公平树- $k$ -可着色的，只要$Δ\geq 9.818d$满足，从而证实了低退化度图的公平点荫度猜想.
2021-04-12 cs.DM math.CO
Reconstruction Conjecture for Graphs Isomorphic to Cube of a Tree
证明了与树的立方体同构的图的重构猜想。证明利用了树从其周边顶点删除子图的可重构性。主要结果如下：（i）树的立方体的特征（ii）树的立方体的可识别性（iii）树作为图G的立方根的唯一性，除非G是完全图（iv）树的可重构性从它们的外围顶点删除子图。
2012-07-08 cs.DM
On structural properties of trees with minimal atom-bond connectivity index IV: Solving a conjecture about the pendent paths of length three
原子-键连接性（ABC）指数是研究最多的基于度的分子结构描述符之一，具有多种化学应用。已知在所有连通图中，树最小化ABC指数。然而，一个完整的表征树与最小的ABC指数仍然是一个悬而未决的问题。到目前为止，已证明的性质之一是，具有最小ABC指数的树可能最多有一条长度为$3$的悬垂路径，并推测如果树的阶大于$1178$，则不可能是这种情况。在这里，我们提供了一个肯定的答案，加强版本的猜想，表明一棵树与最小的ABC指数不能包含一个悬垂路径长度$3$，如果它的顺序是大于$415$。
2017-06-26 cs.DM
On the maximum quartet distance between phylogenetic trees
Bandelt和Dress的一个猜想指出，$n$叶上任何两个系统发育树之间的最大四重距离至多为$(\frac 23 +o(1))\binom{n}{4}$。利用旗代数的机器，我们改进了目前已知的关于这个猜想的界限，特别是我们证明了最大值至多为$(0.69 +o(1))\binom{n}{4}$。通过证明毛毛虫树之间的最大距离至多为$(\frac 23 +o(1))\binom{n}{4}$，进一步证明了该猜想的正确性.
2016-02-03 cs.DM math.CO q-bio.PE
Structural Properties of Shortest Flip Sequences Between Plane Spanning Trees
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；TU Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；University of Kassel（卡塞尔大学）
研究平面生成树间最短翻转序列的结构特性，探讨喜悦边、停车场边及停车场猜想的成立情况与推翻。
2026-03-05 cs.CG cs.DM
An AI enhanced approach to the tree unimodality conjecture
本文利用AI架构PatternBoost训练机器寻找树独立集序列对数凹猜想的反例，成功找到大量顶点数27至101的新反例，并讨论了方法的成功与失败。
2025-10-22 cs.AI cs.DM cs.LG
On the Tree Conjecture for the Network Creation Game
Selfish Network Creation专注于从博弈论的角度对现实世界的网络进行建模。Fabrikant等人[PODC'03]的经典模型之一是网络创建游戏，其中代理对应于网络中的节点，这些节点以每条边$α$的价格购买事件边，以最小化它们到所有其他节点的总距离。该模型已得到充分研究，但仍存在一些有趣的开放性问题。最著名的理论指出，对于所有的$α$，无政府代价是常数，对于$α\geq n$，所有的平衡网络都是树。我们介绍了一种新的技术，用于分析高边缘价格$α$的稳定网络，并采用它来改善这两种架构的最佳已知的界限。特别是，我们证明了$α> 4n-13$所有的平衡网络必须是树，这意味着一个恒定的价格为$α$范围内的无政府状态。此外，我们还改进了平衡树无政府无政府代价的常数上界。
2018-01-05 cs.DM cs.GT cs.SI
