Nash equilibrium payoffs for stochastic differential games with jumps and coupled nonlinear cost functionals
本文研究了两人非零和随机微分对策的纳什均衡支付，其代价泛函由一组耦合的后向随机微分方程定义。我们得到了纳什均衡收益的存在性定理和特征定理。为此，该问题等价地描述了一个随机微分对策的跳跃。但是，与Buckdahn、Hu和Li [9]的工作不同，这里必须开发停时的动态规划原则这一重要工具。证明了上下值函数分别是Isaacs型偏微分方程相关耦合系统的黏性解。我们的结果推广了Buckdahn，Cardaliaguet和Rainer [7]以及Lin [16]的结果.
2013-07-18 math.PR
On the inviscid limit of the singular stochastic complex Ginzburg-Landau equation at statistical equilibrium
研究了具有Gibbs测度初始数据的二维奇异随机随机三次非线性复形Ginzburg-Landau的极限行为。我们发现，在适当的小粘度和小噪音制度，极限动力学给出的吉布斯平衡的确定性立方非线性薛定谔方程。为了获得这种收敛性，我们的方法结合了热和薛定谔分析，在Bourgain（1993）的傅立叶限制范数方法的框架内。
2022-12-01 math.AP math.PR
Time-Inconsistent Stochastic Linear--Quadratic Control: Characterization and Uniqueness of Equilibrium
在本文中，我们继续我们的研究一般的时间不一致的随机线性-二次（LQ）控制问题最初在[6]中制定。我们通过一个前向-倒向随机微分方程流导出了平衡控制的一个充分必要条件。当状态为一维且问题中的系数均为确定性时，我们证明了在\cite{HJZ}中构造的显式平衡控制确实是唯一的。我们的证明是基于导出的平衡等价条件以及随机版本的Lebesgue微分定理。最后，我们证明了均衡策略是唯一的均值-方差投资组合选择模型在一个完整的金融市场中的无风险利率是一个确定的函数的时间，但所有其他的市场参数可能是随机过程。
2015-05-26 math.PR q-fin.PM
Sub-exponential convergence to equilibrium for Gaussian driven Stochastic Differential Equations with semi-contractive drift
研究了由加性高斯噪声驱动的随机微分方程在半压缩环境中（即漂移在紧集外仅为压缩而无排斥区域）向平稳区的收敛性.在这种情况下，我们开发了一个同步耦合策略，以获得次指数界的收敛速率在Wasserstein距离的平衡。然后，通过一个接近终端时间的合并耦合，我们得到了一个类似的全变差距离的界。
2020-06-02 math.PR
Thermodynamic Formalism of Stochastic Equilibrium Economics
University of Helsinki（赫尔辛基大学）
本文提出将大偏差理论引入随机经济均衡，以热力学概念如熵和配分函数构建新的经济学正则法，类比于经典统计力学。
2026-01-02 math.PR
Thermal conductivity and local thermodynamic equilibrium of stochastic energy exchange models
本文研究了由确定性问题转化为随机微观热传导模型的宏观热力学性质。我们的目标是从数值上验证从确定性模型继承的“低能位点效应”如何影响宏观热力学性质，如热导率和局部热力学平衡。经过一系列的数值计算，我们的结论是，无论是热传导率或局部热力学平衡的存在是定性地改变了这种影响。
2019-03-25 math-ph math.MP math.PR
A Stochastic Compartmental Model for Fast Axonal Transport
在本文中，我们开发了一个概率微观房室模型，并用它来研究轴突运输的宏观尺度特性，细胞内货物在神经元轴突中移动的过程。通过直接模拟最小尺度的相互作用，我们可以使用最近的微观实验观察来推断模型的所有参数。然后，使用概率论的技术，我们计算的渐近极限的随机行为的个别汽车货物复合物，同时还表征平衡和非平衡合奏行为。我们使用这些结果，以调查三个重要的生物学问题：（1）如何均匀的轴突在随机平衡？(2)在大的局部扰动之后，轴突能多快地恢复到随机平衡？(3)从整个细胞的角度来看，我们对到达耗尽靶区的时间的理解是如何改变的？
2011-05-20 math.PR physics.bio-ph q-bio.NC
Time-Inconsistent Stochastic Optimal Control Problems and Backward Stochastic Volterra Integral Equations
研究了一类随机微分方程的最优控制问题，其代价泛函由一个倒向随机Volterra积分方程（简称BSVIE）确定.这种成本泛函具有递归的特性，可以覆盖一般的折现情形（包括指数和非指数）。众所周知，这样的问题一般是时间不一致的。因此，而不是找到一个全局最优控制，我们寻找一个时间一致的局部接近最优的平衡策略。利用多人微分对策的思想，构造了一类与时间区间划分相关联的近似均衡策略。通过将时间区间划分的网格步长设为零，导出了平衡Hamilton-Jacobi-Bellman（简称HJB）方程，由此得到了平衡值函数和平衡策略.在一定条件下，证明了一个验证定理，并建立了平衡HJB的适定性。作为平衡态HJB方程的Feynman-Kac公式，自然地引入了一类新的BSVIE（包含$Z(\cd,\cd)$的对角值$Z(r,r)$），并简要地给出了这类方程的适定性.
2019-11-12 math.OC math.PR
Local equilibrium in inhomogeneous stochastic models of heat transport
我们将Kipnis Marchioro和Presutti的二元性扩展到非均匀格子气系统，其中组分具有不同的自由度，或者相互作用速率取决于空间位置。然后应用对偶过程证明了某些非均匀高维系统在流体力学极限下的局部平衡和具有任意非均匀性的一维系统在非平衡稳态下的局部平衡。
2016-03-16 math-ph math.MP math.PR
Equilibrium fluctuations for a nongradient energy conserving stochastic model
本文研究了一维可逆无梯度模型的平衡态能量涨落场。证明了极限涨落过程服从广义Ornstein-Uhlenbeck过程，其协方差用扩散系数表示。采用Varadhan提出的非梯度法，我们可以导出扩散系数。守恒量（能量）不是系统坐标的线性泛函，这一事实在应用非梯度法时引入了几何性质的新困难。
2010-06-30 math.PR
Equilibrium perturbations for stochastic interacting systems
本文研究两个随机系统（广义排斥过程和非谐振荡器链）的平衡扰动，在特定参数条件下，证明扰动量分别演化为一个或两个解耦的Burgers方程。
2023-01-02 math.PR
A partial stochastic equilibrium model and its limiting behaviour
在一个完全的、连续时间的有限代理市场环境中，证明了（部分）市场均衡价格的存在性。经济主体在充分竞争的环境中充当价格接受者，并从终端财富中最大化指数效用。当经济主体的数量$N$趋于无穷大时，表征均衡资产价格动态的$N$方程的贝叶斯系统就会发生变化。由于系统的对称性，代理的平均场的影响，有条件的共同噪声，成为确定性的。
2022-11-30 math.PR q-fin.MF
Energy-exchange stochastic models for non-equilibrium
非平衡定态受到密集的调查，但仍然知之甚少。例如，在哈密顿系统中推导傅立叶定律是一个仍然存在若干障碍的问题。为了研究非平衡系统，引入了能量交换的随机模型，并利用它们来确定非平衡系统的泛性质。本文在简要回顾了一维哈密顿系统中的反常输运问题之后，考虑了一些边界驱动的相互作用随机系统，并回顾了严格数学处理的“对偶方法”。对偶理论是研究马尔可夫过程和相互作用粒子系统的一种强有力的方法。这些注释的内容主要基于论文[10，11，12]。
2014-10-14 math-ph math.MP math.PR
Rate of convergence to equilibrium for discrete-time stochastic dynamics with memory
本文的主要目的是研究一般离散动力系统在遍历平稳高斯噪声驱动下的长时间行为。在我们的主要结果中，我们证明了不变分布的存在性和唯一性，并展示了一些上界的收敛速率的渐近行为的高斯噪声的协方差函数的平衡（或等价于其移动平均表示）。然后，我们将我们的一般结果应用到分数动力学（包括与分数驱动随机微分方程相关的欧拉格式）。当Hurst参数H属于（0，1/2），我们检索，由于离散时间设置，Hairer在连续时间设置表现出的速率稍微更明确的方法。在这种分数设置中，我们还强调了平衡点的收敛速率对高斯噪声的协方差函数的局部行为的显着依赖性。
2018-11-13 math.PR
Equilibrium in Functional Stochastic Games with Mean-Field Interaction
Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）；Imperial College London（帝国理工学院）；University of California Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
研究具有均值场相互作用的有限参与者随机博弈，提出新方法以算子预解式半显式推导纳什均衡，证明均衡收敛性，还得出均值场博弈的\(\varepsilon -\)纳什均衡，并应用框架解决多种例子。
2026-07-28 math.OC math.PR q-fin.MF
$\varepsilon$-Nash equilibrium in stochastic differential games with mean-field interaction and controlled jumps
本文考虑了一个对称的$n$ -局中人非零和随机微分对策，其中局中人之间具有受控跳跃和平均场型相互作用。每个参与者通过影响自己的私有状态过程的漂移和跳跃部分来最小化某些预期成本。我们考虑相应的限制平均场游戏，并假设后者承认一个经常马尔可夫解，我们证明了一个近似纳什均衡的$n$球员游戏可以构造为$n$足够大，并提供了收敛速率。这扩展到一类具有受控跳跃的博弈，这是平均场博弈文献中的经典结果。本文补充了我们以前的工作，特别是平均场博弈解的存在性进行了研究。
2018-05-11 math.PR
Small-time solvability of a flow of forward-backward stochastic differential equations
本文从时间不一致随机控制问题出发，引入了一类新的正倒向耦合随机系统，即正倒向随机微分方程流。它们是由一个单一的前向扰动和一个连续的倒向随机微分方程组成的系统，这些倒向随机微分方程定义在不同的时间间隔上，并通过一个平衡条件连接起来。我们制定了一个概念的平衡解决方案的一般框架，并证明了小时间适定性的方程。我们还考虑离散流，并表明其平衡解近似原来的，连同估计的收敛速度。
2020-04-26 math.PR
Stochastic Dynamics, Large Deviations Principle, and Non-equilibrium Thermodynamics
通过考察马尔可夫动力学的一般$ε$依赖生成元的确定性极限，建立了介观随机动力学、确定性常微分方程或偏微分方程、大偏差速率函数和宏观热力学势之间的内在联系.我们的结果不仅解决了经典不可逆热力学中关于熵函数起源的长期问题，而且揭示了在确定性极限期间，通过其大偏差速率函数，时间可逆动力学和时间不可逆动力学都具有一个Hamilton函数和一个熵函数，自动出现的一个涌现特征.
2021-09-15 math.PR
Large deviation approach to non equilibrium processes in stochastic lattice gases
本文从微观系统大偏差性质的分析出发，综述了近年来非平衡过程的统计力学的研究进展。随机晶格气体是这种现象的非平凡模型，可以严格研究，提供了一个具有挑战性的数学问题的来源。通过这种方式，已经获得了一些广泛有效的原则，导致有趣的物理后果。
2006-02-24 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Poisson Cluster Measures: Quasi-invariance, Integration by Parts and Equilibrium Stochastic Dynamics
本文研究了Poisson簇过程在$X=\mathbb{R}^{d}$中的分布$μ_{cl}$（i.i.d.在$\mathfrak{X}=\sqcup_{n} X^n$中，通过在组态空间上引入辅助Poisson测度，研究了类属簇（即类属簇）的结构，其中强度测度定义为类属簇中心的背景强度与类属簇的概率分布的卷积.我们证明了测度$μ_{cl}$关于$X$的紧支集同态群是拟不变的，并证明了测度$μ_{cl}$的分部积分公式.相应的平衡随机动力学，然后使用Dirichlet形式的方法构造。
2008-10-07 math.FA math.PR
Stochastic oscillators out of equilibrium: scaling limits and correlation estimates
本文研究受随机噪声扰动的谐振振子链，在扩散标度下依据 Hamiltonian 动力学强度确定能量与体积的两类流体动力学方程，并刻画一般初始测度下的非平衡体积涨落。
2025-05-15 math.PR
Non-collision and collision properties of Dyson's model in infinite dimension and other stochastic dynamics whose equilibrium states are determinantal random point fields
Dyson的相互作用布朗粒子模型是一个随机动力学模型，由无限数量的粒子在具有对数对相互作用势的$ \R $中运动组成。对于这个模型，我们将证明每对粒子永远不会碰撞。该动力学的平衡态是一个具有正弦核的行列式随机点场。本文证明了对于以行列式随机点场为平衡态的Dirichlet型随机动力学，如果行列式随机点场的核是局部Lipschitz连续的，则粒子永远不会碰撞，并给出了Hölder连续时粒子碰撞的例子.此外，我们构造了一种无限维扩散的无限体积动力学，它的平衡态是决定性的随机点场。最后一个结果是部分的，因为我们简单地构造了一个与给定的行列式随机点场作为平衡态的{\em正则}预Dirichlet型的{\em最大可闭部分}相关联的扩散。对于给定的行列式随机点域，证明标准预Dirichlet型的闭性是一个公开问题。我们证明了这些动力学是有限体积动力学的强预解极限。
2015-02-21 math.PR
Harris-type results on geometric and subgeometric convergence to equilibrium for stochastic semigroups
我们提供了简单的和建设性的证明哈里斯型定理的存在性和唯一性的平衡点和速度的离散时间和连续时间的随机半群。我们的结果适用于松弛速度是指数（也称为几何）和那些没有谱隙的情况下，与非指数速度（也称为亚几何）。我们给建设性的估计，在亚几何的情况下，离散时间的报表，这似乎都是新的。证明的方法也不同于以前的作品，基于半群和插值参数，有效的几何和亚几何的情况下，基本上相同的想法。特别是，我们提出了非常简单的新的几何情况下的证明。
2021-10-18 math.FA math.PR
Rate of convergence to equilibrium of fractional driven stochastic differential equations with rough multiplicative noise
研究了具有Hurst参数$H\in (1/3,1)$和乘性噪声分量$σ$的分数布朗运动驱动的遍历随机微分方程的平衡收敛速率问题.当$σ$是常数时，对于每个$H\in (0,1)$，在[19]中证明了，在一些均值回复假设下，这样的过程以$t^{-α}$阶的速率收敛到其平衡点，其中$α\in (0,1)$（取决于$H$）。在[11]中，这个结果被推广到了当$H\textgreater{}1/2$ .在本文中，我们得到这些类型的结果在粗糙集$H\in (1/3,1/2)$。我们再次检索加法设置的速率顺序。我们的方法还通过删除对噪声系数$σ$的梯度假设来扩展[11]的乘法结果。主要定理包括不变分布的存在唯一性结果。
2016-10-04 math.PR
Time-Inconsistent Stochastic Linear-quadratic Differential Game
该研究针对目标泛函含期望状态二次项与状态依赖项导致的时间不一致随机线性二次微分博弈，定义了新型均衡策略，通过正倒向随机微分方程推导充分条件，在一维确定性系数下得到显式均衡策略并证明其唯一性。
2016-07-03 math.PR q-fin.MF
Approach to equilibrium for the stochastic NLS
本文研究了在$d$维环面上系统根据随机非线性薛定谔方程（SNLS）在高频截断条件下演化的平衡态的Gibbs测度方法.我们证明指数方法截断吉布斯测量的聚焦和散焦的情况下，通过适当的边界条件约束的动力学的傅立叶空间的区域，其中的哈密顿是凸的。我们的方法是基于建立一个非自伴的Fokker-Planck算子的谱间隙的时间演化的措施，这是{ \it均匀}的频率截断$N$。讨论了极限$N\to\infty$。
2012-02-08 math-ph math.AP math.MP
Rate of convergence to equilibrium of fractional driven stochastic differential equations with some multiplicative noise
研究了具有Hurst参数$H\textgreater{}1/2$和乘性噪声分量$σ$的分数布朗运动驱动的遍历随机微分方程的平衡收敛速率问题.当$σ$是常数时，对于每个$H\in(0,1)$，在\cite{hairer}中证明了，在一些均值回复假设下，这样的过程以$t^{-α}$阶的速率收敛到其平衡点，其中$α\in(0,1)$（取决于$H$）。本文的目的是将这种类型的结果扩展到一些乘性噪声设置。更准确地说，我们表明，我们可以恢复这样的收敛速度时，$H\textgreater{}1/2$和逆的扩散系数$σ$是一个雅可比矩阵。这项工作的主要新颖之处是一种类型的推广福斯特-李雅普诺夫类似的技术，这种非马尔可夫设置，这使我们能够把一个渐进的耦合方案，如在\cite{hairer}不诉诸确定性的合同属性。
2016-01-15 math.PR
A dynamic competitive equilibrium model of irreversible capacity investment with stochastic demand and heterogeneous producers
本文提出一个动态竞争均衡模型，研究随机需求下异质生产者不可逆产能投资问题，通过均场解释和显式解法分析价格过程与投资决策。
2025-12-03 math.OC math.PR
Conditioned stochastic stability of equilibrium states on uniformly expanding repellers
Imperial College London（帝国理工学院）；The University of Tokyo（东京大学）；Gulf University for Science and Technology（海湾科技大学）
研究提出条件随机稳定性概念，证明均匀扩张排斥集上的平衡态在零噪声极限下收敛，为混沌瞬态中的自然测度提供了理论基础。
2025-12-17 math.DS math.PR
Geometrical Derivation of Equilibrium Distributions in some Stochastic Systems
在这一章中，我们提出了一个简单的几何论证，在某种程度上让我们想起了在物理科学的特定背景下，在热力学极限中正则系综和微正则系综之间的等价性。在更一般的情况下，均匀的多智能体系统，我们的结论是突出的统计等价性的体积为基础的和表面为基础的计算在这种类型的系统。
2012-08-01 math.PR nlin.AO
Conditioned stochastic stability of equilibrium states on uniformly hyperbolic sets
Imperial College London（伦敦帝国理工学院）
该研究通过条件性随机稳定性分析，揭示了均匀超几何集上平衡态在噪声趋于零时的收敛性质，并扩展至Axiom A微分同胚的瞬态混沌场景。
2026-10-23 math.DS math.PR
Numerical computation of effective thermal equilibrium in Stochastically Switching Langevin Systems
本文针对力按连续时间马尔可夫链切换的过阻尼朗之万系统推导准势以刻画有效热平衡，并结合弦方法计算最概然转变路径，通过算法改进克服新出现的数值挑战并验证了准势垒与蒙特卡洛转变时间的一致性。
2021-09-16 cond-mat.stat-mech math.PR
Kyle's Model with Stochastic Liquidity
我们构建了一个均衡的连续时间凯尔模型与随机流动性，基本面价格的一般分布，以及相关的股票和波动率动态。对于具有正支持的分布，我们的均衡允许我们研究噪声交易的随机波动率对资产波动率的影响。特别是，当基本面价格是对数正态分布时，知情交易迫使对数回报率直到到期日是高斯的任何选择的噪声交易波动率，即使价格过程本身带有随机波动率。令人惊讶的是，我们发现，在均衡凯尔的Lambda和它的逆（市场深度）是下鞅。
2022-04-23 math.PR q-fin.PR q-fin.TR
Equilibrium Distribution for t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding with Generalized Kernels
Yi Gu
本文研究广义核 t-SNE 在数据点数量趋于无穷时的收敛性，给出广义输入核与输出核的具体形式，并证明其在一定条件下收敛至平衡分布。
2026-10-14 cs.LG math.PR math.ST
Time-Inconsistent Stochastic Linear--Quadratic Control
在本文中，我们制定了一般的时间不一致的随机线性-二次（LQ）控制问题。时间不一致性是由于期望状态的二次项以及目标泛函中的状态依赖项的存在而引起的。我们定义了一个平衡，而不是最佳的，解决方案的开环控制类内，并通过向前-向后随机微分方程流的平衡控制推导出一个充分条件。当状态是一维的，并且问题中的系数都是确定性的，我们找到了一个显式的平衡控制。作为一个应用，我们考虑了一个均值-方差投资组合选择模型在一个完整的金融市场，无风险利率是一个确定性的时间函数，但所有其他的市场参数可能是随机过程。应用一般的充分条件，当风险溢价是确定的和随机的，我们得到了显式的均衡策略。
2011-11-03 math.DS math.OC math.PR
Stochastic gradient descent and fast relaxation to thermodynamic equilibrium: a stochastic control approach
研究了受线性反馈力控制的欠阻尼Langevin方程的平衡收敛性。具体而言，我们感兴趣的是采样可能的多峰不变概率分布的Langevin系统在小噪声（或低温），其中的动态可以很容易地被困在亚稳态子集的相空间。我们遵循[陈等人，J.Math.Phys.56，113302，2015]，并考虑在高温下模拟的朗之万方程，其中控制起平衡附加噪声的摩擦的作用，以便在较低温度下恢复原始不变测度。我们讨论了不同的限制，温度比趋于无穷大，并证明收敛到一个极限动态。事实证明，取决于是否较低（“目标”）或较高（“模拟”）的温度是固定的，受控动态收敛到过阻尼朗之万方程或确定性梯度流。这意味着（a）遍历极限和大温度分离极限一般不交换，以及（b）不可能通过使温度分离越来越大来加速收敛到遍历极限的速度。我们讨论了这些观察的影响，从分子动力学的随机优化算法和增强的采样方案的角度。
2021-03-08 math.OC math.PR
Nonzero-sum stochastic differential games between an impulse controller and a stopper
研究了两人非零和随机微分对策，其中一人通过加性脉冲控制状态变量，另一人可以随时停止对策。本文的主要目的是通过一个验证定理来刻画Nash均衡，该定理证明了一个新的拟变分不等式系统，其解给出了相应策略的均衡收益。此外，我们将验证定理应用到一个具有一维状态变量的博弈中，该博弈演化为一个缩放的布朗运动，并且双方都具有线性的收益和成本。两种类型的纳什均衡的充分特点，即半显式表达式的均衡策略和相关的支付。这两个均衡都是阈值型的：在一个均衡中，参与者的干预不是同时的，而在另一个均衡中，第一个参与者诱导她的竞争对手停止游戏。最后，我们提供了一些数值结果描述这两种类型的平衡的定性性质。
2019-03-29 math.OC math.PR
The Zeroth Law of Thermodynamics and Volume-Preserving Conservative Dynamics with Equilibrium Stochastic Damping
我们提出了热力学第零定律的数学公式，并开发了一个随机动力学理论，具有一致的不可逆热力学，系统具有持续的保守的稳态电流在相空间中，而在平衡与热浴。该理论推广了欠阻尼力学平衡：$dx=gdt+\{-D\nablaϕdt+\sqrt{2D}dB(t)\}$，其中$\nabla\cdot g=0$和$\{\cdots\}$分别代表相体积保持动力学和随机阻尼。第零定律意味着平稳分布$u^{ss}(x)=e^{-ϕ(x)}$。我们发现正交性$\nablaϕ\cdot g=0$作为系统的一个标志。基于时间反演$\big(t,ϕ,g\big)\rightarrow\big(-t,ϕ,-g\big)$的随机热力学公式：熵产生$e_p^{\#}(t)=-dF(t)/dt$ ;广义“热”$h_d^{\#}(t)=-dU(t)/dt$，$U(t)=\int_{\mathbb{R}^n} ϕ(x)u(x,t)dx$是“内能“，“自由能”$F(t)=U(t)+\int_{\mathbb{R}^n} u(x,t)\ln u(x,t)dx$从不增加。熵遵循$\frac{dS}{dt}=e_p^{\#}-h_d^{\#}$。我们的公式被证明是符合P. Ao的早期理论。讨论了它与其它理论，势流分解，奇偶变量随机Hamilton系统，Klein-Kramers方程，Freidlin-Wentzell理论，GENERIC…
2013-12-20 cond-mat.stat-mech math-ph math.DS
The Hairer--Quastel universality result in equilibrium
利用随机Burgers方程能量解的概念，给出了一类平稳弱非对称随机偏微分方程Hairer-Quastel普适性结果的一个简短证明.
2016-02-07 math-ph math.MP math.PR
Statistical and Numerical Convergence in Stochastic Equilibrium
本文基于SELCKE的严格随机均衡理论，发现系统以特征值或逆特征值中更接近单位圆者与最大冲击持久性中较大者给出的速率几何收敛至长期均衡，并开发了检验随机均衡存在的模拟程序。
2026-07-23 cs.NA econ.EM econ.TH
Radner equilibrium and systems of quadratic BSDEs with discontinuous generators
受平衡问题的启发，我们在$Z$中建立了一族具有二次非线性和不连续性的马尔可夫倒向随机微分方程解的存在性。利用唯一延拓和向后唯一性，证明了不连续点集的测度为零。在一个连续时间随机禀赋经济模型中，我们证明了具有非退化内生波动率的不完全Radner均衡的存在性。
2021-05-06 econ.TH math.PR q-fin.MF
