多边形区域的有界次数多项式描述
Description of polygonal regions by polynomials of bounded degree
摘要：
我们证明了在$R^2$中的每一个（可能是无界的）凸多边形$P$与$m$边可以用不等式$p_1 \ge 0,...,p_n \ge 0,$表示，其中$p_i$是至多$k$仿射函数的乘积，每个仿射函数在$P$的一个边上为零，$n=n(m,k)$满足$s(m,k) \le n(m,k) \le (1+ε_m) s(m,k)$，其中$s(m,k):=\max \{m/k,\log_2 m\}$和$ε_m \to 0$为$m \to \infty$ . $n$的这种选择是渐近最佳可能的。给出了用$p_1 > 0,..., p_n > 0$表示$P$内部的一个类似结果.对于$k \le m/\log_2 m$，这些陈述对于次数不超过$k$的任意多项式的表示仍然有效。
英文摘要：
We show that every (possibly unbounded) convex polygon $P$ in $R^2$ with $m$ edges can be represented by inequalities $p_1 \ge 0,...,p_n \ge 0,$ where the $p_i$'s are products of at most $k$ affine functions each vanishing on an edge of $P$ and $n=n(m,k)$ satisfies $s(m,k) \le n(m,k) \le (1+ε_m) s(m,k)$ with $s(m,k):=\max \{m/k,\log_2 m\}$ and $ε_m \to 0$ as $m \to \infty$. This choice of $n$ is asymptotically best possible. An analogous result on representing the interior of $P$ in the form $p_1 > 0,..., p_n > 0$ is also given. For $k \le m/\log_2 m$ these statements remain valid for representations with arbitrary polynomials of degree not exceeding $k$.
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