如果我们考虑在$n$顶点上具有幂律度分布的传染率$λ$的接触过程，平均场计算表明，如果幂$α>3$，则传染率的临界值$λ_c$是正的.物理学家似乎认为这是一个既定的事实，因为该结果最近已被推广到二分图由戈麦斯Gardeñes等人。Acad. Sci. USA 105（2008）1399- 1404]。在这里，我们表明，临界值$λ_c$是零的任何值的$α>3$，和接触过程开始从所有顶点感染，概率趋于1 $n\to\infty$，保持一个积极的密度感染网站的时间至少为$\exp(n^{1-δ})$的任何$δ>0$。利用最后一个结果，结合接触过程对偶，我们可以建立一个拟平稳分布的存在性，其中一个随机选择的顶点以概率$ρ(λ)$被占据。预期$ρ(λ)\sim Cλ^β$为$λ\to0$。这里我们展示了$α-1\leβ\le2α-3$，因此$β>2$为$α>3$。因此，即使图是局部树状的，PDMATHAMBMY也不取平均场临界值PDMATHAMBMZ。
英文摘要：
If we consider the contact process with infection rate $λ$ on a random graph on $n$ vertices with power law degree distributions, mean field calculations suggest that the critical value $λ_c$ of the infection rate is positive if the power $α>3$. Physicists seem to regard this as an established fact, since the result has recently been generalized to bipartite graphs by Gómez-Gardeñes et al. [Proc. Natl. Acad. Sci. USA 105 (2008) 1399--1404]. Here, we show that the critical value $λ_c$ is zero for any value of $α>3$, and the contact process starting from all vertices infected, with a probability tending to 1 as $n\to\infty$, maintains a positive density of infected sites for time at least $\exp(n^{1-δ})$ for any $δ>0$. Using the last result, together with the contact process duality, we can establish the existence of a quasi-stationary distribution in which a randomly chosen vertex is occupied with probability $ρ(λ)$. It is expected that $ρ(λ)\sim Cλ^β$ as $λ\to0$. Here we show that $α-1\leβ\le2α-3$, and so $β>2$ for $α>3$. Thus even though the graph is locally tree-like, $β$ does not take the mean field critical value $β=1$.
Survival and extinction of epidemics on random graphs with general degrees
本文建立了Galton-Watson树上接触过程的充要条件（分别为：随机图）以显示消光阶段（分别为短期生存）。我们证明了Galton-Watson树的生存阈值$λ_1$是严格正的当且仅当其后代分布$ξ$具有指数尾，即，对于某些$c>0$，我们证明了$\mathbb{E} e^{cξ}<\infty$，解决了Huang和Durrett的一个猜想[12]。在度分布为$μ$的随机图上，我们证明了如果$μ$具有指数尾，则对于足够小的$λ$，具有全部感染初始条件的接触过程对于$n^{1+o(1)}$ -时间w. h. p.（短生存）存活，而对于足够大的$λ$，它运行在$e^{Θ(n)}$ -时间w. h. p.（长生存）。当$μ$是次指数的，我们证明了接触过程w. h. p.显示长期生存的任何固定的$λ>0$。
Non-equilibrium Fluctuations of the Weakly Asymmetric Normalized Binary Contact Path Process
本文是对\cite{xue2020hydrodynamics}中所研究的问题的进一步研究，作者证明了$\mathbb{Z}^d,\, d \geq 3$上弱非对称规范化二元接触路径过程的经验测度的一个大数定律，并证明了在非平衡初始条件下中心极限定理成立.我们证明了当基础格的维数$d$和过程的感染率$λ$足够大时，上述猜想成立.
