No directed fractal percolation in zero area
我们表明，分形（或“Mandelbrot”）渗流在两个维度上产生一组不包含有向路径时，所产生的一组具有零面积。这将第一作者在保持概率恒定的情况下的类似结果改进为保持概率接近1的情况。
1997-01-23 math.PR
The geometry of fractal percolation
讨论了一个研究得很好的随机分形族--分形渗流。重点研究分形渗流在平面上的投影。我们的目标是提出更强的版本的经典Marstrand定理，有效的分形渗流的几乎每一个实现。扩展有三个方向：{itemize}这些陈述适用于所有方向，而不是几乎所有方向，这些陈述适用于更一般的投影，例如圆上的径向投影，在$\dim_H >1$的情况下，每个投影不仅有正的勒贝格测度，而且有非空的内部。[详细]
2013-06-17 math.DS math.PR
Fractal percolation is unrectifiable
我们表明，存在$0<α_0<1$（取决于参数），分形渗流几乎肯定是纯粹的$α$ -不可纠正的所有$α>α_0$。
2021-03-30 math.CA math.PR
Fractal percolation, porosity, and dimension
研究了分形渗流集$E\subset\mathbb{R}^d$的孔隙度性质。除此之外，对于所有的$0<\varepsilon<\tfrac12$，我们获得了$E$的上孔隙度小于$\tfrac12-\varepsilon$或下孔隙度大于$\varepsilon$的例外点集的维数界限。我们的方法也适用于非均匀分形渗流和更一般的随机集，其后代分布引起的高尔顿-沃森过程。
2015-08-21 math.PR
The largest slice of fractal percolation
本文确定了平面分形渗流包含 $k$ 个共线点的维数阈值，并研究了临界维数下最大线性切片的广义豪斯多夫测度大小。
2025-01-25 math.CA math.PR
Fractal dimension of discrete sets and percolation
在分形几何中有各种各样的维数概念来表示$\mathbb R^d$的子集（随机和非随机）。在这个简要的文本中，我们讨论了它们的类似物的无限子集的$\mathbb Z^d$，更一般地说，无限图。然后，我们将这些概念应用到临界渗流集群，其中的各个维度有不同的值。
2019-12-11 math.PR
Projections of fractal percolations
本文研究了随机Cantor集$E\subset \mathbb{R}^2 $的径向投影、正交投影和距离集，称之为Mandelbrot逾渗或逾渗分形。证明了如下命题几乎必然成立：若$E$的豪斯多夫维数大于1，则到\textbf{every}直线的正交投影、以\textbf{every}为中心的径向投影以及到\textbf{every}点的距离集都包含区间.
2013-06-17 math.DS math.PR
Visible parts of fractal percolation
研究了分形渗流在平面上可见部分的维数性质。只要分形渗流的维数至少为1，我们表明，在不灭绝的条件下，几乎可以肯定，所有可见的部分线是1维的。而且，几乎所有的Hausdorff测度都是正的且有限的.我们还验证了类似的结果，从点的可见部分。这些结果的动机是一个开放的问题上的尺寸的可见部分。
2009-11-19 math.CA math.PR
Minkowski sum of fractal percolation and random sets
本文证明分形渗流Minkowski和的命中概率可由容量刻画，并推广至一般随机集，如随机游走和临界分支随机游走的轨迹。
2024-12-21 math.PR
On homogenized conductivity and fractal structure in a high contrast continuum percolation model
在上一篇文章（S。Matsutani和Y. Shimosako和Y. Wang，Physica A \bf{391}（2012）5802-5809），我们数值研究了二维连续渗流模型（CPM）的具有高对比度局部电导率（$γ_0$和$γ_1$，$0<γ_0 \ll γ_1$）的电势问题。作为数值计算结果，我们表明，在那里的等势曲线表现出分形结构的阈值$p_c$附近，并给出了一个近似的曲线表示之间的关系的均匀化电导率和体积分数$p$超过$[p_c,1]$。在这篇文章中，我们利用电导率的对偶性和准调和性质，重新研究了这些问题，以改进这些结果。我们表明，在$γ_0\to0$，CPM中的拟调和势问题是拟共形等价于一个随机狭缝问题，这导致我们的共形性和分形结构之间的观察阈值。在此基础上，我们将近似曲线的定义域$[p_c,1]$推广到$[0,1]$，并部分推广到三维情形.这些曲线很好地代表了电导率的数值结果。
2014-04-24 cond-mat.dis-nn math-ph math.MP
Dimension (in)equalities and Hölder continuous curves in fractal percolation
我们将分形渗流中极限集C的分形维数的各种概念与C中大于一点的连通分量及其补集（“尘埃”）的维数联系起来。在二维空间中，我们还证明了由大于一点的连通分支组成的集合是a.s.。非平凡Hölder连续曲线的并集，所有曲线都具有相同的指数。最后，我们给出了一个简短的证明，证明了在二维空间中，极限集中的任何曲线都必须有严格大于1的豪斯多夫维数。
2012-03-07 math.PR
The dimension of projections of fractal percolations
\emph{Fractal percolation}或\emph{Mandelbrot percolation}是随机分形中研究得最好的族之一。在本文中，我们研究了这些随机集的几何测度理论性质（投影维数和切片结构）。虽然是随机的，但这些集合的几何形状是相当规则的。我们的结果意味着，用$E\subset \mathbb{R}^2$表示分形渗流在平面上的一种典型实现，{itemize}如果$\dim_{\rm H}E<1$，则对于\textbf{all}线$\ell$，$E$到$\ell$的正交投影$E_\ell$与$E$具有相同的Hausdorff维数，如果$\dim_{\rm H}E>1$，则对于任何在两个坐标上都严格递增的光滑实值函数$f$，像$f(E)$包含一个区间. {itemize}考虑到$E$对于参数域的大部分来说几乎肯定是康托集（{ \it随机尘埃}），第二个陈述非常有趣，请参阅\cite{Chayes1988}。最后，我们解决了$d\geq 2$一维分形代数和的区间存在性问题。
2013-06-17 math.DS math.PR
Universal Behavior of Connectivity Properties in Fractal Percolation Models
为了更好地理解分形渗流中的连通性相变，我们引入并研究了一类维数d大于或等于2的连续分形渗流模型。这些包括一个规模不变版本的经典（泊松）布尔模型的随机几何和（d=2）的布朗循环汤介绍了劳勒和沃纳。该模型导致随机分形集的连通性取决于一个参数λ。本文主要研究随机分形集全不连通的相和随机分形集含有大于一点的连通分量的相之间的过渡。特别是，我们表明，有连接的组件大于一个点在唯一的值的lambda分开的两个阶段（称为临界点）。我们证明，这样的行为也发生在Mandelbrot的分形渗流在所有尺寸d大于或等于2。我们的研究结果表明，它是一个通用的功能，独立的尺寸或模型的精确定义，基本上是一个后果的规模不变性。此外，对于d=2，我们证明了大于一个点的连通分量的存在意味着存在一个唯一的，无界的连通分量。
2010-12-29 math.PR
Projections of Mandelbrot percolation in higher dimensions
我们认为分形渗流（或Mandelbrot渗流），这是一个最好的研究随机康托集的例子。Rams和第一作者研究了分形渗流集在平面上的投影（正交投影、径向投影和共径向投影）。我们将他们的结果推广到更高的维度。
2020-04-25 math.DS math.PR
Recent Progress on Fractal Percolation
本文综述了分形渗流过程的近期研究进展，重点探讨了极限集的维数理论及超临界状态下非平凡连通分量的几何性质，并揭示了其Assouad谱和中间维数恒等于盒维数的结论。
2025-08-11 math.CA math.DS math.PR
New methods to bound the critical probability in fractal percolation
分形渗流是由Mandelbrot在1974年提出的。我们研究了二维情形，其中剖分指数为M，生存概率为p.众所周知，存在一个非平凡的临界值p_c（M），使得a.s.极限集K中的最大连通分支是p<p_c（M）的点，并且对于p \geq p_c（M），存在与单位正方形的对边相交的连通分支的概率为正。对于所有的M \geq 2，p_c（M）的值是未知的.在本文中，我们提出的想法，找到下限和上界，显着尖锐比那些已经知道的。为了找到下界，我们比较了分形渗流和现场渗流。一个全新的结果是，对所有的M，我们构造了一个收敛于p_c（M）的递增序列。序列中的项原则上可以通过算法计算。这些想法导致（计算机辅助）证明p_c（2）> 0.881和p_c（3）>0.784。对于上界，我们引入了分类的思想。分形渗流迭代过程现在在有限字母表上引入了迭代随机过程，这比原始过程更容易分析。这个理论框架是计算机辅助证明下列上界的基础：p_c（2）<0.993，p_c（3）<0.940和p_c（4）<0.972。
2013-10-07 math.PR
Dimension conservation for self-similar sets and fractal percolation
我们介绍了一种技术，利用分形渗流的投影特性，建立确定性自相似集的部分尺寸守恒的结果。例如，假设$K$是具有Hausdorff维数$\dim_H K >1$的$\mathbb{R}^2$的自相似子集，使得底层相似性的旋转分量生成完整旋转群。然后，对于所有$ε>0$，将$π_θ$写为在$θ$方向上投影到线$L_θ$上，对于正勒贝格测度的$x \in L_θ$集合，对于除了Hausdorff维数为0的集合中的方向之外的所有方向$θ$，截面的豪斯多夫维数满足$\dim_H (K\cap π_θ^{-1}x)> \dim_H K - 1 - ε$。对于一类自相似集，我们在所有方向上得到了类似的结论，只是用较低的盒维数代替了截面的豪斯多夫维数.我们得到了关于Mandelbrot渗流集的截面维数的类似不等式。
2014-09-24 math.DS math.PR
Visible parts and projections of the affine fractal percolation
University of Oulu（奥卢大学）；University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）
该研究针对仿射分形渗流，明确了其可见部分在不同方向的维数规律及主收缩方向的特殊公式，还得出了其正交投影的豪斯多夫维数性质与区间包含结论。
2026-10-16 math.CA math.MG math.PR
Purely unrectifiable sets, fractal percolation and graphs of functions
ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学）；Westlake University（西湖大学）
本文综述了作者关于不可整流性的研究成果，包括Takagi、Weierstrass-Cellerier等连续函数图形上的纯不可整流1-集，以及分形渗流几乎必然纯α-不可整流的条件。
2026-06-16 math.CA math.PR
Minimal spanning trees at the percolation threshold: a numerical calculation
在$d$到$d=5$的维数范围内，估计了渗流簇上最小生成树的分形维数.一个强大的分析技术开发的相关数据，如在这样的树。这应该是一个强大的方法，适用于分析广泛的随机生成的分形结构。使用这些技术分析的树使用Prim和Kruskal的算法的组合来寻找最小生成树。这种组合减少了内存的使用，并允许模拟更大的系统，否则是可能的。发现临界逾渗团簇上的MST的路径长度分形维数$d_{s}$与T.S.Jackson和N.Read [T.S.Jackson和N.Read，Phys.\修订版本\ E \textbf{81}，021131（2010）]。
2013-06-28 cond-mat.dis-nn math.PR
Variational principles for Hausdorff and packing dimensions of fractal percolation on self-affine sponges
本文建立了一类统计自仿海绵（包括Barański和Gatzouras-Lalley地毯与海绵的分形渗透集）的Hausdorff维数与packing维数的变分原理，通过计算非齐次Mandelbrot测度的维数并利用局部化数字频率构建有效覆盖，获得了维数的精确上界。
2025-09-15 math.DS math.PR
Percolation of fat Poisson cylinders in hyperbolic space
本文研究双曲空间中“胖”圆柱的 Poisson 过程，通过建立其与半尺度不变随机分形模型的新联系，证明该模型经历渗流相变，并得出 $\mathbb{R}^d$ 中分形球模型具有非空片相的次要结果。
2024-12-23 math.PR
Diophantine approximations on random fractals
我们证明了$\mathbb{R}^{d}$中的分形渗流集几乎必然与每个具有全Hausdorff维数的超平面绝对获胜集相交。特别地，如果$E\subset\mathbb{R}^{d}$是一个分形渗流过程的实现，那么几乎肯定（以$E\neq\emptyset$为条件），对于$\mathbb{R}^{d}$的$C^{1}$同构的每个可数集合$\left(f_{i}\right)_{i\in\mathbb{N}}$，$\dim_{H}\left(E\cap\left(\bigcap_{i\in\mathbb{N}}f_{i}\left(\text{BA}_{d}\right)\right)\right)=\dim_{H}\left(E\right)$，其中$\text{BA}_{d}$是$\mathbb{R}^{d}$中的不良可逼近向量的集合。我们证明了这一点，$E$几乎肯定包含超平面扩散子集是Ahlfors经常与尺寸任意接近$\dim_{H}\left(E\right)$。我们实现这一点，通过分析高尔顿-沃森树，并表明它们几乎肯定包含适当的子树，其投影到$\mathbb{R}^{d}$产生上述子集的$E$。这种方法使我们能够得到一个更一般的结果，通过投影的Galton-Watson树对任何相似的IFS，其吸引子不包含在一个单一的仿射超平面。因此，我们的一般结果涉及到更广泛的一类随机分形比…
2019-12-20 math.NT math.PR
What are the limits of universality?
重正化群理论的一个中心预言是，欧氏格点上的许多统计力学模型的临界行为只取决于维数，而不取决于格点的具体选择。我们调查的程度，这种普遍性继续持有超越欧几里德设置，作为案例研究伯努利债券渗流和格树。我们提出了强有力的数值证据表明，这些模型的多项式体积增长的传递图的临界指数仅取决于体积增长的图形尺寸，而不是任何其他大规模的几何特征。例如，我们的研究结果强烈表明，渗流，这具有上临界尺寸6，具有相同的临界指数的四维超立方晶格$\mathbb{Z}^4$和海森堡群，尽管这两个晶格的不同的大尺度几何阻止相关的渗流模型共享一个共同的标度极限。另一方面，我们也表明，没有这样的普遍性应该被期望举行分形，即使一个允许的指数依赖于大量的标准分形维数。事实上，我们给自然的例子，两个分形共享Hausdorff，光谱，拓扑和拓扑Hausdorff尺寸，但表现出不同的数值的渗流Fisher指数$τ$。这给出了有力的证据反对一个猜想Balankin等人[物理快报。A 2018年]。
2021-06-24 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Patterns in Random Fractals
利用$A$的几乎必然维数刻画了分形渗流极限集$A$中某些几何构型的存在性.我们研究的配置的一些例子是：位似副本的有限集，角度，距离和体积的单形。在随机离散集的相对Szemerédi定理的精神下，我们还考虑了正$ν$ -测度集的相应问题，其中$ν$是$A$上的自然测度.在这两种情况下，我们确定了每一类配置的尺寸阈值。这些结果是通过调查的产品的交叉点的$m$独立实现的$A$与横截平面，更一般地说，代数品种，并扩展一些众所周知的功能，独立渗流树的设置与长程依赖。
2017-03-28 math.CA math.CO math.PR
On the Macroscopic Fractal Geometry of Some Random Sets
本文主要研究现代和古典概率理论中出现的各种随机集的宏观分形行为。除其他事项外，它在这里示出的布尔覆盖过程的宏观行为是类似的Mandelbrot分形渗流的微观结构。其他的，更具技术挑战性的，本文的结果包括：（一）计算的宏观维数的一个大家庭的Lévy过程的图形;和（二）确定的宏观单分形的极值的对称稳定过程。作为（i）的结果，将表明布朗运动的图的宏观分形维数不同于其微观分形维数。因此，不可能有尺度的论点，允许一个推导出宏观几何从微观。第（ii）项扩展了Khoshnevisan，Kim和Xiao \cite{KKX}最近关于布朗运动极值的工作，使用不同的方法。
2016-05-04 math.PR
The Assouad dimension of randomly generated fractals
我们考虑了几种不同的模型产生随机分形，包括随机自相似集，随机自仿射地毯，分形渗流。在每个设置中，我们计算\emph{almost sure}或\emph{Baire typical} Assouad维度，并考虑一些说明性示例。我们的结果揭示了一个共同的现象，在我们所有的模型：Assouad维数的随机生成的分形一般是尽可能大，不依赖于测量理论或拓扑结构的样本空间。这与其他常用的维数概念形成鲜明对比，如Hausdorff维数或包装维数。
2015-05-01 math.DS math.GN math.MG
Projections of the random Menger sponge
使用一个类似的随机过程，产生分形渗流集，从确定性的门格尔海绵，我们得到随机门格尔海绵。从豪斯多夫维数、勒贝格测度和内点的存在性等方面研究了它的正交投影.我们得到这些结果的特殊情况下，我们的定理所述的随机自相似IFS。这些是通过类似于分形渗流的随机过程获得的，应用于确定性自相似IFS的圆柱集，如arXiv：1212.1345。本文给出了直线上的确定性IFS的特殊形式$\mathcal{S}=\left\{\frac{1}{L}x+t_i \right\} _{i=1}^{m}$，其中$L\in\mathbb{N}$，$L\geq 2$和$t_i\in\mathbb{Q}$ .
2022-05-06 math.DS math.PR
