Very small intervals containing at least three primes
Vladimir Shevelev
设$p_n$是第$n$个素数。借助于Cramér-like模型，我们证明了含有3个素数的$(2p_n,\enskip2p_{n+1})$形式的区间集关于所有这种形式的区间集有正密度.
Let $p_n$ is the $n$-th prime. With help of the Cramér-like model, we prove that the set of intervals of the form $(2p_n,\enskip2p_{n+1})$ containing at list 3 primes has a positive density with respect to the set of all intervals of such form.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bounded length intervals containing two primes and an almost-prime II
Zhang证明了有无限多个有界长度的区间包含两个素数。看来，目前的技术不能证明，有无限多个区间的有界长度包含三个素数，即使强大的假设，如埃利奥特-Halbernut猜想假设。我们证明了存在无穷多个长度至多为$10^8$的区间，其中包含两个素数和一个至多有31个素因子的数。
On Weyl sums over primes in short intervals
主要结果扩展到短区间内的素数和，即作者早期对素数“长”外尔和的估计。
Primes and prime ideals in short intervals
在相应的黎曼假设下，证明了等差数列中素数和素理想的Cramér短区间定理的类似定理.两种结果在下伏结构的数据中是一致的。我们的方法主要是基于素数和素理想的计数函数的惯性性质。
Large gaps between consecutive prime numbers containing square-free numbers and perfect powers of prime numbers
我们证明了K. Ford，D. R. Heath-Brown和S. Konyagin关于无平方数的素数回避和素数的完全幂。
Sum of one prime and two squares of primes in short intervals
在黎曼假设的假设下，证明了区间$[N, N + H]$包含一个整数，它是一个素数和两个素数的平方之和，条件是$H \ge C (\log N)^{4}$，其中$C > 0$是有效常数.
Arithmetic progressions of primes in short intervals
格林和陶证明了素数包含任意长的等差数列。我们表明，本质上相同的证明导致以下结果：在一个短的时间间隔的素数包含许多等差数列的任何给定的长度。
On the Difference between Consecutive Primes and Estimates of the Number of Primes in the Interval $(n, 2n)$
使用连续素数之间的差异的评估，我们开发了另一种方法估计的素数在区间$(n, 2n)$的数量。我们还讨论了超克拉默猜想，$p_{n+1} - p_n = O(log^{1+ε}p_n)$，其中$ε> 0$，在我们的文件中所获得的结果的上下文中。
A Conditional Explicit Result for the Prime Number Theorem in Short Intervals
在黎曼假设下，给出了短区间上素数定理的一个显式界。
Sums of one prime power and two squares of primes in short intervals
令$k\ge 1$为整数。证明了整数$n=p_{1}^{k}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}$表示的平均数的一个合适的渐近公式，其中$p_1,p_2,p_3$是素数，在比以前已知的更短的区间内成立。
Explicit relations between primes in short intervals and exponential sums over primes
在黎曼假设（RH）的假设下，证明了素数上指数和的截断均方平均渐近公式中的假设误差项与短区间内素数的均方误差项之间的定量关系.我们还注意到，这样的关系与更精确的形式蒙哥马利的配对相关猜想。
Higher moments of primes in short intervals I
本文在黎曼假设下证明了短区间内素数的两个高偶矩之间的一个“等价性”。我们还提供了数值证据支持这些渐近公式。
Bounded length intervals containing two primes and an almost-prime
Goldston、Pintz和Yıldırım证明了，如果素数对于某个$θ>1/2$有“分布水平”$θ$，那么存在一个常数$C(θ)$，使得有无穷多个整数$n$，其中$[n,n+C(θ)]$区间包含两个素数。在同样的假设下，我们证明了对于任意整数$k\ge 1$，存在常数$D(θ,k)$和$r(θ,k)$，使得有无穷多个整数$n$，其中区间$[n,n+D(θ,k)]$包含两个素数和$k$几乎素数，且所有几乎素数至多有$r(θ,k)$素因子.如果$θ$可以取为与$1-ε$一样大，并且假设具有2个、3个或4个素因子的数也具有分布水平$1-ε$，则我们证明存在无限多个整数$n$，使得区间$[n,n+90]$包含2个素数和一个最多具有4个素因子的数。
Higher moments of primes in short intervals II
在充分了解偶数阶矩的基础上，导出了素数在短区间内的$λ$阶矩的渐近公式，并证明了奇阶矩的“等价性”。我们还提供了支持这些结果的数字证据。
Bounded gaps between primes in short intervals
Baker、Harman和Pintz证明了素数定理的一个弱形式在$[x-x^{0.525},x]$形式的区间中对大的$x$成立。本文将Maynard和Tao关于素数间小间隔的一个结果推广到这个长度的区间。更精确地说，我们证明了，对于任何$δ\in [0.525,1]$存在正整数$k,d$，使足够大的$x$，间隔$[x-x^δ,x]$包含$\gg_{k} \frac{x^δ}{(\log x)^k}$对连续素数不同的最多$d$。这证实了梅纳德的一个推测，即素数之间的小间隔的结果可以细化到这个长度的短间隔的设置。
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with primes and powers, II: density $1$
我们证明，适当的渐近公式在短时间内举行的问题，表示一个整数作为一个素数平方和平方，或一个素数平方。这样的结果得到假设黎曼假设和在无条件的情况下。
Short interval results for certain prime-independent multiplicative functions
利用平滑曲线上整数点理论的最新结果，给出了一类整数值素无关乘性函数值分布的渐近公式。
On critical small intervals containing primes
设p是奇素数，使得p_n<p/2< p_{n+1}，其中p_n是第n个素数。本文研究如下问题：在区间（p，2 p_{n+1}）中素数存在的概率是多少？在借助Ramanujan素数（[11]，[12]）和引入伪Ramanujan素数强定义概率之后，我们证明了，如果这样的概率P存在，则P>=0.5。我们还研究了一个对称的情况下，左间隔，它连接到序列A080359在OEIS。
Sums of primes and squares of primes in short intervals
令$\mathbf H_2$表示偶数集合$n \not\equiv 1 \pmod 3$。我们证明了当$H \ge X^{0.33}$，几乎所有的整数$n \in \mathbf H_2$，$X < n \le X + H$都可以表示为一个素数与一个素数的平方之和.我们也证明了一个类似的结果，三个平方和的素数。
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with primes and powers, I: density $3/2$
我们证明，适当的渐近公式在短时间内举行的问题，表示一个整数作为一个素数和一个平方，或一个素数平方。这样的结果得到假设黎曼假设和在无条件的情况下。
A variant of the Euclid-Mullin sequence containing every prime
我们考虑一个推广的欧几里德证明的无穷素数，并表明它导致的变种的欧几里德-穆林序列，可证明包含每一个素数。
Primes in explicit short intervals on RH
在黎曼假设的前提下，给出了连续素数之差的上界。
Prime polynomial values of linear functions in short intervals
本文建立了数论中一个猜想的函数域模拟，它是几个著名猜想的组合，包括Hardy-Littlewood素数元组猜想，关于等差数列和短区间内素数个数的猜想，以及Goldbach猜想.在大有限域的极限中，证明了$n$线性函数的同时素数个数的一个渐近公式。
Bounded prime gaps in short intervals
本文推广了Zhang和Pintz关于有界素缺的最新结果，给出了短区间$[x,x+x (\log x)^{-A}]$中有界素对个数为6* 10 ^7的下界.我们的结果只通过分析张的定理1的证明，但我们也解释了如何张的定理2的一个尖锐的变体将意味着相同的结果为更短的时间间隔。
The variance of the number of prime polynomials in short intervals and in residue classes
我们解决了一个函数域版本的两个apturtures关于方差的素数在短时间间隔（戈德斯通和蒙哥马利）和等差数列（胡利）。我们工作中的一个重要组成部分是最近N的等分布结果。卡茨
More precise pair correlation of zeros and primes in short intervals
Goldston和Montgomery [3]在黎曼假设下证明了短区间内素数的强对相关猜想与两个二阶矩是等价的。在本文中，我们得到了上述每一个的第二个主要的条款，并表明他们几乎是相互等价的。
Primes in the intervals between primes squared
连续素数平方之间的短间隔集具有令人愉快的--但似乎未被利用的--性质，即每个间隔$s_k:=\{p_k^2, \dots,p_{k+1}^2-1\}$都被$k$第一个素数完全筛选。在这里，我们利用这一基本特征，并提出证据的猜想，即$π_k \sim |s_k|/ \log p_{k+1}^2$，其中$π_k$是素数在$s_k$的数量;或更严格的，即$y=x^{1/2}$是必要的和充分的素数定理是有效的长度为$y$的间隔。此外，我们提出并证实，素数计数函数$π(x)$是最好的理解为相关的随机变量$π_k$的总和。在此假设下，我们推导出$π(p_{k+1}^2)=\sum_{j=1}^k π_j$的理论方差，由此我们推测$|π({x})-\textrm{li}(x)| =O(\sqrt{\textrm{li}(x)})$。从我们的研究中出现的观点是，连续素数之间的间隔平方持有进一步理解素数分布的关键;如所证明的，这种观点也建立了有利于黎曼假设的强有力的支持。
Bounded intervals containing many primes
结合Harman的筛法和Maynard及Tao的工作，我们证明了$$\liminf_{n\rightarrow \infty}(p_{n+m}-p_n)\ll \exp(3.815m).$$
An extended pair-correlation conjecture and primes in short intervals
在本文中，我们将Montgomery和Goldston & Montgomery关于对相关函数及其与短区间内素数素数分布的关系的著名研究推广到对相关函数的更一般的形式。
On the Prime Numbers in the Interval [4n,5n]
对于所有的$n\geq k\geq 2$，在$kn$和$(k+1)n$之间存在一个素数，这是真的吗？本文证明了对于所有的$n>2$，$4n$和$5n$之间总有一个素数.我们还证明了对于所有的$n>5$，$n$和$5n$之间至少有7个素数。
A note on Primes in Short Intervals
我们可以假设Hardy-Littlewood素数$k$ -元组猜想的平均形式，而不是强定量形式，并且仍然得到Montgomery和Soundarajan [1]关于$ψ(x+h) - ψ(x)$的相同分布结果.
Discorrelation between primes in short intervals and polynomial phases
设$H = N^θ, θ> 2/3$和$k \geq 1$。我们得到了短区间上素数的指数和的估计：\[ \sum_{N < n \leq N+H} Λ(n) e(g(n)), \]其中$g$是次数为$k$的多项式。作为一个结果，这在特殊情况下$g(n) = αn^k$，我们推导出一个短间隔版本的华林-哥德巴赫问题。
Note On Prime Gaps And Very Short Intervals
本文在黎曼假设的前提下，讨论了一个新的初等论证，它似乎证明了一个有限序列的素数p_1，p_2，.的最大素数间隔，p_n <= x，满足max {p_（n+1）- p_n：p_n <= x} <= c1（（logx）^2）/loglogx，c1 > 0常数。等价地，它表明非常短的区间（x，x + y）包含素数，对于所有y > c2（（logx）^2）/loglogx，c2 > 0常数，并且x足够大> 0。
Explicit Interval Estimates for Prime Numbers
使用一个平滑函数和最近的知识的零点的黎曼ζ函数，我们计算对$(Δ,x_0)$，使所有$x \geq x_0$存在至少一个素数的间隔$(x(1 - Δ^{-1}), x]$。
Large gaps between consecutive prime numbers containing perfect powers
对于任何正整数$k$，我们表明，无限经常，完美的$k$ -th权力出现在非常长的间隙内连续素数之间，即间隙的大小$$ c_k \frac{\log p \log_2 p \log_4 p}{(\log_3 p)^2}, $$其中$p$是较小的两个素数。
A heuristic study of the distribution of primes in short and not-so-short intervals
对自然数$N$上长为$h$的短区间内素数的分布进行了数值研究。基于数论中的Cramér模型，得到了一个适用于$h \gg \log{N}$但$h \ll N$的启发式表达式，支持了Montgomery和Soundararajan关于素数分布在此尺度下方差的猜想.
Consecutive primes in short intervals
我们得到了\[ \#\{x/2< p_{n}\leq x:\ p_n \equiv\ldots\equiv p_{n+m}\equiv a\text{ (mod $q$)},\ p_{n+m} - p_{n}\leq y\}, \]的下界，其中$p_{n}$是$n^{\text{th}}$素数。
A conditional result on exponential sums over primes in short intervals
本文在广义 Riemann 假设及 Dirichlet L 函数密度假设同时成立的条件下，给出短区间中素数指数和的一个条件性结果。
Prime numbers in logarithmic intervals
设$X$为大参数。本文首先给出$(p,p+h]$型素数在短区间内的积分矩的一个新的估计，这里$p\leq X$是素数，$h=\odi{X}$是素数。然后，我们将应用这一点来证明，对于每个$λ>1/2$，存在一个正比例的素数$p\leq X$，使得区间$(p,p+ λ\log X]$至少包含一个素数。作为结果，我们改进了Cheer和Goldston关于实数$λ>1$的大小的结果，并证明了存在正比例的整数$m\leq X$使得区间$(m,m+ λ\log X]$不含素数.我们还证明了其他结果的时刻之间的差距连续素数和整数$m\leq X$的正比例，使间隔$(m,m+ λ\log X]$包含至少一个素数。这些技术的最后应用是两个定理（第一个是无条件的，第二个是我们假设黎曼假设和蒙哥马利对相关猜想的一种形式的有效性），关于素数$p\leq X$的正比例，使得区间$(p,p+ λ\log X]$不包含素数。
Large gaps between consecutive prime numbers containing perfect $k$-th powers of prime numbers
设$k\geq 2$是一个固定的自然数。证明了存在无穷多对连续素数$p_n$，$p_{n+1}$满足$$ p_{n+1}-p_n\geq c\:\frac{\log p_n\: \log_2 p_n\: \log_4 p_n}{\log_3 p_n}\:,$$且$c$为固定正常数，其中区间$(p_n, p_{n+1})$包含素数的$k$次幂.
Explicit Short Intervals for Primes in Arithmetic Progressions on GRH
在广义黎曼假设的假设下，我们证明了等差数列中素数的Cramér定理的显式版本。
On the Primes in the Interval [3n, 4n]
对于区间[kn，（k+1）n]中是否总有素数这个老问题，著名的伯特兰公设对k=1给出了肯定的答案。这是由P.L.切比雪夫在1850年，和一个优雅的初等证明是由P.Erdos在1932年。M. El Bachraoui在2006年使用初等技巧证明了k=2的情况。本文给出了k=3情形的一个证明，同样没有使用素数定理或任何深层次的分析结果。此外，我们还给出了区间[3n，4n]中素数个数的一个下界，表明当n趋于无穷大时，区间[3n，4n]中素数个数趋于无穷大.
Prime polynomial values of quadratic functions in short intervals
本文在大有限域的极限上建立了Bateman-Horn猜想在短区间上的函数域模拟。因此，我们开始计数素多项式所产生的原始二次函数在短时间内。为此，我们进一步研究了Mobius和及其相关项（Chowla型和）的消去的函数域模拟，并证明了Mobius和的平方根消去等价于Chowla型和的平方根消去.
On intervals (kn,(k+1)n) containing a prime for all n>1
我们研究k的值，其中区间（kn，（k+1）n）包含一个素数，每个n>1。我们证明了这样的整数k的列表包括k= 1，2，3，5，9，14，没有其他的，至少对于k<= 50，000，000。对于这个列表的每个已知k，我们给出了最小N_k（m）的一个好的上估计，使得当n>=N_k（m）时，区间（kn，（k+1）n）至少包含m个素数。
The behaviour of a certain additive function in large intervals between consecutive primes
本文研究连续素数之间大区间内特定整数素因子所决定的加性函数的行为，结合素数大间隙相关结果、Erdős–Kac 定理及 Kubilius 模型得到主要结论。
Siegel zeros, twin primes, Goldbach's conjecture, and primes in short intervals
我们研究的分布素数下不太可能的假设，西格尔零存在。特别是，我们证明了\[ \sum_{n \leq X} Λ(n) Λ(\pm n+h) \]的渐近公式，它保持一致的$h = O(X)$。这样一个渐近公式以前只对固定的$h$得到过，在这种情况下，我们的结果定量地改进了Heath-Brown（1983）和Tao and Teräväinen（2021）的结果。由于我们的主要定理也适用于大的$h$，我们可以得出新的结果之间的联系西格尔零和哥德巴赫猜想和西格尔零和素数之间的几乎所有非常短的时间间隔。
Solving $a x^p + b y^p = c z^p$ with $abc$ containing an arbitrary number of prime factors
在本文中，我们证明了新的情况下的渐近费马方程的系数。这是通过求解显着的$S$ -单位方程和应用Frey-Mazur方法来完成的。
On the error in the prime number theorem in short intervals
在黎曼假设下，用新平滑论证推导短区间素数定理误差项显式界，改进先前结果，并应用此界为短区间素数加权和建立更精确条件界。
Short intervals containing a prescribed number of primes
证明了对每个非负整数$m$，存在一个$\varepsilon>0$，使得如果$λ\in (0,\varepsilon]$和$x$就$m$而言足够大，则区间$[n,n+λ\log n]$中恰好包含$m$素数的正整数$n\leq x$的个数至少是一个常数乘以$x/\log x.$. Freiberg，当$λ$很小时。
Piatetski-Shapiro Primes in short intervals
研究短区间中形如⌊n^c⌋的Piatetski-Shapiro素数的存在性，分别给出渐近公式和下界结果。
Primes in almost all short intervals
本文改进了Jia的结果，证明在几乎所有长度为$n^{1/21.5+\varepsilon}$的短区间内必含素数，通过Watt均值界、筛法分解和精确积分估计实现。
Congruences with intervals and subgroups modulo a prime
我们得到了关于几乎所有模素数$p$的剩余都用一个小整数和$({\mathbb Z}/p{\mathbb Z})^*$的小乘法子群的一个元素的乘积表示的新结果。这些结果是基于J.Cilleruelo和M. Z. Garaev（2014年），
Primes in short intervals
相反，将被预测的基础上Cramér的模型有关的素数的分布，我们开发的证据表明，$ψ(x+H)- ψ(x)$的分布，$0\le x\le N$，是近似正态的平均$\sim H$和方差$\sim H\log N/H$，当$N^δ\le H \le N^{1-δ}$。
Goldbach's problem with primes in arithmetic progressions and in short intervals
本文讨论了几个类似于Bézieri-Vinogradov定理的中值定理。它们涉及在等差数列和短时间间隔内素数的二元和三元加法问题。其中一些平均值的非平凡估计。作为应用，我们证明了对于大奇数n \not \equiv 1（6），Goldbach三元问题n=p_1+p_2+p_3是可解的，其中素数p_1，p_2在短区间p_PDMATHABMO [X_i，X_i+Y]，且X_{i} ^{θ_i}=Y，i= 1，2，且θ_1，θ_2 \geq 0.933使得（p_1+2）（p_2+2）至多有9个素因子.
Short intervals asymptotic formulae for binary problems with prime powers, II
本文改进了关于$n=p_{1}^{\ell_1}+p_{2}^{\ell_2}$和$n=p^{\ell_1} + m^{\ell_2}$形式的整数表示的平均数在短区间内的渐近公式的一些结果，其中$\ell_1, \ell_2\ge 2$是固定整数，$p,p_1,p_2$是素数，$m$是整数.
Prime-Interval Algebras
研究从正整数\(n\)出发，在无先验信息时构造多项式商环，通过模指数运算恢复\((n,2n]\)内素数，仅用前一个素数就能得下一个素数，还发展了环结构、扩展结果并给出实现。
Almost primes in almost all very short intervals
我们证明了只要$h\to \infty$与$X \to \infty$，几乎所有的区间$(x-h\log X, x]$与$x \in (X/2, X]$都包含至多两个素数的乘积.在证明中，我们使用Richert的加权筛，最终的算术信息来自Deshouillers和Iwaniec对Kloosterman和平均值的结果。
Sums of four prime cubes in short intervals
证明了整数$n=p_{1}^{3}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+p_{4}^{3}$的平均表示数的一个合适的渐近公式，其中$p_1,p_2,p_3,p_4$是素数，在比已知的更短的区间内成立.
The variance of integers without small prime factors in short intervals
本研究聚焦短区间内无小素因子整数的方差问题，采用复分析与筛法理论得到某范围内的无条件渐近结果，发现该方差与y-光滑数统计相关，且区间长度达y的幂次时其渐近值小于朴素概率预测。
Some Conjectures on the Number of Primes in Certain Intervals
本文对素数作了一些比现有文献中更尖锐的分析。首先，我们描述了我们的研究勒让德的猜想，这仍然是未解决的。接下来，我们表明，布罗卡猜想可以证明假设我们的改进版本的勒让德猜想。最后，我们锐化了素数的Bertrand公设。我们的研究结果得到了广泛的实证研究的支持。
Biases in the distribution of primes in short intervals
在Hardy-Littlewood素数元组假设下，研究短区间内素数计数分布的二级渐近，发现算术修正导致比Cramér模型更强的向均值偏差，并通过有限筛论证和数值比较验证。
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