Universality and conformal non-invariance in self-affine rough surfaces
我们数值计算表明，粗糙度和生长指数的范围很广的粗糙表面，如随机沉积与松弛（RDR），弹道沉积（BD）和限制固体上固体模型（RSOS），是独立的基本规则（正方形，三角形，蜂窝状）或随机（Voronoi）晶格。此外，我们还证明了在不同晶格上的等高度线的统计性质的水平上，普适性也成立。通过计算单个轮廓的分形维数、环相关指数和长度分布指数，揭示了这种普遍性。我们还表明，超尺度关系是有效的所有研究的高斯和非高斯自仿射粗糙表面的等高度线。最后，利用Langlands的直接方法证明了粗糙表面的轮廓线不是保形不变的，除非我们有简单的高斯自由场论，粗糙度指数为零。et.al
2013-04-08 cond-mat.stat-mech physics.comp-ph
Sliding contact creates universal self-affine fractal surfaces
State Key Laboratory of Solid Lubrication, Lanzhou Institute of Chemical Physics, Chinese Academy of Sciences（中国科学院兰州化学物理研究所固体润滑国家重点实验室）；Peter Grünberg Institute (PGI-1), Forschungszentrum Jülich（于利希研究中心彼得·格林伯格研究所）；MultiscaleConsulting；INSA Lyon, CNRS, LaMCoS（里昂国立应用科学学院法国国家科学研究中心多尺度接触力学实验室）
通过两过程模型（连接形成与断裂驱动通用粗糙化，大尺度变形/断裂限制其增长）解释了金属、岩石和玻璃在滑动接触中产生短波长通用自相似粗糙度而保留材料相关滚降的现象。
2026-08-28 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft cond-mat.stat-mech
Fractal Analysis of Electrical Power Time Series
分形时间序列是自仿射的，其特征在于粗糙度指数H。指数H是与时间序列相关的波动持续性的度量。我们使用最近引进的方法来测量粗糙度指数，移动平均分析，比较两个不同的地方，一个旅游城市和整个国家的电力需求。
1999-12-07 cond-mat.stat-mech
Effects of hard planar walls with a particle scale roughness on the spatial correlations of non-affine strain in amorphous solids are investigated via molecular dynamics simulations. When determined within layers parallel to the wall plane, normalized non-affine strain correlations are enhanced within layers closer to the wall. The amplitude of these correlations, on the other hand, is found to be suppressed by the wall. While the former is connected to the effects of a hard boundary on the continuum mechanics scale, the latter is attributed to molecular scale wall effects on the size of the r…
2018-02-14 cond-mat.stat-mech
The roughness of stylolites: Implications of 3D high resolution topography measurements
岩柱是沉积岩中天然的压溶面。我们目前的三维高分辨率测量在实验室规模的复杂的粗糙度。的地形所示的自仿射标度不变性来描述。在大尺度下，Hurst指数为$ζ_1 \approx 0.5$，并且与小尺度下的Hurst指数非常不同，小尺度下的Hurst指数为$ζ_2 \approx 1.2$。在约$Ł_c =1$ ~mm处的交叉长度标度被很好地表征。测量结果与朗之万方程一致，该方程描述了缝合线界面的生长，作为在大尺度上稳定的长程弹性相互作用或在小尺度上局部表面张力效应与不稳定的淬火材料无序之间的竞争。
2005-01-04 cond-mat.dis-nn cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Reentrant Wetting Transition of a Rough Wall
用传递矩阵方法研究了自仿射粗糙基片上界面脱钉的$2D$模型。相图确定的粗糙度指数，$ζ_S$，有吸引力的壁的几个值。对于所有$ζ_S>0$，观察到以下情况。首先，与平坦壁（$ζ_S=0$）的情况相反，对于在零和$ζ_S$相关正值之间的壁吸引能，衬底总是湿的。此外，在一个小的吸引能范围内，首先发生脱湿转变，随着T的增加，其次是润湿。这种不寻常的重入现象似乎是自仿射粗糙度的一个特殊特征，并且不会发生，例如。例如，在一个实施例中，用于周期性波纹衬底。
1996-11-18 cond-mat.stat-mech
Wave scattering from self-affine surfaces
研究了电磁波在理想反射自仿射曲面上的散射问题。在Kirchhoff近似的框架内，我们表明，散射截面可以通过一个中心对称的Levy分布的散射角的函数，一般粗糙度振幅，赫斯特指数和入射波的波长准确地写。讨论了反射峰的振幅、宽度和位置，以及散射截面随散射角的幂律衰减。
1999-07-09 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech
Roughness exponent in two-dimensional percolation, Potts and clock models
本文对q态Potts（q= 2，3，7）和p=10时钟模型的组态以及正方晶格上的占位态的自仿射分布进行了数值研究. Potts模型的第一和第二阶静态相变位于由表征这些配置文件的粗糙度指数$α$的值的急剧变化。Potts模型的低温相对应于平坦的（$α\simeq 1$）轮廓，而其高温相与粗糙的（$α\simeq 0.5$）轮廓相关联。对于p=10的时钟模型，除了平坦（铁磁）和粗糙（顺磁）的配置文件，一个中间粗糙（$0.5< α<1$）相-与软自旋波之一-观察。我们对Potts模型和钟模型中相变温度的计算结果与静态值一致，表明这种方法能够直接从自旋组态中检测这些模型中的相变，而不需要参考自旋势、序参量或响应函数.最后，我们表明，粗糙度指数$α$是不敏感的几何临界现象。
2001-03-16 cond-mat.stat-mech
Failure mechanisms and surface roughness statistics of fractured Fontainebleau sandstone
在努力调查之间的联系故障机制和压实颗粒材料的裂缝的几何形状，一个详细的统计分析的表面断裂枫丹白露砂岩已经实现。不同宽度W的样品的粗糙度被示出为自仿射，在从晶粒尺寸d到上截止长度λ = 0.15 W的长度尺度范围内具有指数zeta=0.46 +-0.05。这种低zeta值与对其他砂岩和烧结材料的测量结果一致。高度在不同距离Δ z > d上的变化的概率分布P（Δ z，Δ h）可以被折叠成具有适当归一化的单个高斯分布，并且不显示多重分形特征。的粗糙度幅度，其特征在于在固定的距离Δ z的高度-高度相关性，不依赖于样品的宽度，这意味着没有异常缩放的类型报告的其他材料是存在的。有人建议，在最近的理论工作，解释这些结果的脆性断裂的发生（而不是在材料中显示较高的zeta = 0.8值的损坏故障）。
2007-04-23 cond-mat.stat-mech
Correlation functions near Modulated and Rough Surfaces
在具有长程关联的系统中，关联函数的行为对边界的存在是敏感的。我们表明，表面变形强烈修改这种行为相比，一个平坦的表面。修正后的近表面关联可以用散射探针测量。为了确定这些相关性，我们开发了一个微扰计算的高度从一个平面的变形。详细的结果给出了一个定期图案化的表面，以及为自仿射粗糙表面的粗糙度指数$ζ$。通过结合这种微扰计算的高度变形与场论重整化群方法，我们还估计的临界指数的值控制的自仿射粗糙表面附近的关联函数的衰减行为。我们发现，对于相互作用理论，一个足够大的$ζ$可以导致新的表面临界行为。我们还提供了粗糙度引起的热力学表面量的临界指数之间的标度关系。
2001-10-25 cond-mat.stat-mech
Roughness Scaling of Deconstruction Interfaces
通过解集模型的数值模拟研究了一维解构表面的标度性质。在这里提出的模型的解聚过程中考虑到有淬火无序的散装下解构的可能性。无序可以被认为是模拟真实材料中出现的几种类型的不规则性（位错，杂质）。不规则性的存在使得攻击的强度不均匀。为了包括这种效应，计算体积被认为是由两种类型的粒子组成。容易分离的颗粒和其他对蚀刻侵蚀不敏感的颗粒。随着粒子的分离进行的时间，粗糙界面的动力学性质进行了研究。所得的一维表面显示自仿射属性和标度指数的值时，界面仍然是移动的脱钉过渡附近的报告。根据这里给出的标度指数，该模型必须被认为属于一个新的普适类。
2002-03-05 cond-mat.stat-mech
Self-affine surface morphology of plastically deformed metals
我们分析了金属表面形态后，塑性形变的范围从10 nm到2 mm的尺度，使用原子力显微镜和扫描白光干涉相结合。我们表明，最初光滑的表面在变形过程中发展自仿射粗糙度超过近四个数量级的规模。一维表面轮廓的Hurst指数$H$最初被发现随着应变的增加而减小，然后稳定在$H \approx 0.75$。通过分析它们的统计性质，我们表明，一维表面轮廓可以数学建模为一个分数布朗运动的图形。我们的研究结果可以理解的分形分布的变形样品内的塑性应变。
2004-05-04 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Anisotropic self-affine properties of experimental fracture surfaces
本文研究了脆性（石英玻璃）、韧性（铝合金）和准脆性（砂浆和木材）材料死后断口的标度特性。这些表面，研究远离启动，被证明是自仿射的。然而，沿裂纹方向测量的赫斯特指数被发现是不同的沿扩展方向测量的。更一般地，这些表面的缩放特性的完整描述要求使用2D高度-高度关联函数，其涉及三个指数zeta = 0.75、beta = 0.6和z = 1.25，与所考虑的材料以及裂纹生长速度无关。这些指数分别对应于粗糙度，生长和动态指数，在界面生长模型中引入。它们被证明是普遍的。
2006-01-05 cond-mat.stat-mech
Low self-affine exponents of fracture surfaces of glass ceramics
由烧结玻璃珠制成的多孔玻璃陶瓷的死后粗糙断裂表面的几何形状实验上显示为自仿射的，其指数zeta=0.40（0.04）显著低于对于许多材料经常测量的“通用”值zeta=0.8。这种低的zeta值与在具有类似微观结构的砂岩样品中发现的zeta值相似，并且实际上也与所研究的范围内的孔隙度Φ（3% <Φ < 26%）以及珠直径d和裂纹增长速度无关。与此相反，由d归一化的粗糙度振幅随φ线性增加，而它仍然是独立的，在实验误差内，d和裂纹扩展速度。这种变化的解释建议在从穿晶到沿晶断裂传播的过渡方面没有影响，但是，对指数zeta。
2006-08-30 cond-mat.stat-mech
Roughness Scaling in Cyclical Surface Growth
对周期性生长（如沉积和解吸主过程的交替循环）的标度行为进行了理论研究和实验探索。将动力学粗化的标度方法推广到循环过程，用循环次数$n$代替时间。预测粗糙度增长为$n^β$，其中$β$是周期性增长指数。粗糙度饱和到与系统尺寸$L$成比例的值为$L^α$，其中$α$是循环粗糙度指数。研究了主过程的循环指数与相应的主过程指数之间的关系。精确的关系被发现的主要线性过程组成的周期。采用近似的重整化群方法分析了初级过程中的非线性效应。分析结果得到了广泛的数值模拟不同对的主要过程，线性和非线性。在实验上，银表面生长的循环过程包括电沉积，然后50%的电溶解。粗糙度被发现增加作为幂律的$n$，符合理论上预期的缩放行为。循环缩放的潜在应用包括可充电电池的加速测试和癌性肿瘤的改进的化学治疗。
2001-05-24 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Non-perturbative renormalization of the KPZ growth dynamics
本文介绍了一种非微扰重整化方法，该方法确定了粗糙表面的Kardar-Parisi-Zhang动力学在任意维中的稳定不动点。通常的限制实空间方法来处理各向异性（自仿射）标度克服了间接的功能重整化。计算尺寸$d=1$至8的粗糙度指数$α$，其结果与可用的模拟非常一致。没有发现临界尺寸上限的证据。我们讨论了如何本方法可以扩展到其他自仿射问题。
1998-02-26 cond-mat.stat-mech
X-ray scattering from surfaces: discrete and continuous components of roughness
非相干表面散射产生表面的统计描述，由于在许多独立采样体积上的系综平均。根据表面的状态和散射矢量相对于表面法线的方向，高度分布是离散的、连续的或两者的组合。我们提出了一种处理的多峰表面高度分布的影响，晶体截断棒散射。多峰高度分布的影响在通过脉冲激光沉积逐层薄膜生长的原位监测期间尤其明显。我们建模的总高度分布作为离散和连续组件的卷积，从而在一个广泛适用的参数化的表面粗糙度，可以应用到其他散射探针，如电子和中子。这种分布的卷积可以潜在地应用于界面或化学散射。在这里，我们发现，这种分析准确地描述了我们的实验研究<001>SrTiO 3退火和同质外延生长。
2006-07-10 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Super-roughening versus intrinsic anomalous scaling of surfaces
在本文中，我们研究了动力学粗糙表面，这些表面在其局部属性（例如粗糙度或高度-高度关联函数）中显示出异常标度。通过研究表面的功率谱及其与高度-高度相关的关系，我们区分了两个独立的原因异常标度。一种是超粗糙化（全局粗糙度指数大于或等于1），即使光谱表现不一致。另一个原因是我们称之为内在反常谱，在其标度中存在独立指数，这导致了小长度标度和大长度标度的不同标度性质（即表面不是自仿射的）。在这种情况下，表面不需要超粗糙以显示异常缩放。在这两种情况下，我们展示了如何从关联函数中提取独立指数和标度关系，并通过两个完全可解的例子说明我们的分析。一个是最简单的线性方程的分子束外延，众所周知，显示异常缩放由于超粗糙化。第二个例子是一个随机扩散方程，其特征在于不依赖于全局粗糙度指数的值小于或大于1的异常标度。
1997-03-03 cond-mat.stat-mech
Scaling of interfaces in brittle fracture and perfect plasticity
二维断裂表面的粗糙度特性所创建的随机融合网络的缓慢故障被认为是和屈服面的完美塑性类似的障碍。通过研究线性尺寸L=350的系统，发现在所研究的情况下，断裂表面表现出自仿射标度，粗糙度指数接近2/3，这对于塑性来说是渐进完全正确的，尽管有限尺寸效应对于两者来说都是明显的。具有完全相同无序结构的屈服或最小能量与断裂面的重叠被证明是系统尺寸的递减函数，并且对于所研究的所有情况来说都具有相当大的幅度。随着$L$的增加，这种接口对之间的典型"重叠簇“长度收敛到一个常数。
2000-03-08 cond-mat.stat-mech
Dynamics of the Surface Growth Resulted from Sedimentation of Spheres in a Hele-Shaw Cell Containing a Low-Viscosity Fluid
本研究通过实验与分子动力学模拟，探究低黏度流体Hele-Shaw槽中球形颗粒沉降的表面生长动力学，发现模拟与实验吻合度高，且系统具多重仿射性，不服从仿射模型标度律。
2024-01-29 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech
Self-Affine Scaling of Earth's Islands
University of Chicago（芝加哥大学）；Atle Fund Management（Atle基金管理有限公司）
通过分析大量岛屿地形数据，拟合自仿射表面理论中的四种统计规律，估计地球表面的赫斯特指数，揭示海岸过程对岛屿地貌的影响。
2026-05-28 cond-mat.stat-mech nlin.AO physics.geo-ph
Transport in rough self-affine fractures
通过有效介质分析和格子玻尔兹曼方法数值模拟，研究了三维自仿射粗糙裂隙的输运特性。数值结果表明，有效介质近似预测的渗透率和速度波动的正确的标度行为，在裂缝的孔径，粗糙度指数和特征长度的裂缝表面，在表面之间的小分离的限制。裂缝的渗透率也被调查作为表面之间的正常和横向相对位移的函数，并示出，它可以由二维裂缝的渗透率的限制。对于不同的表面间相对位移，数值研究了速度场中通道状结构的发展。最后，用解析和数值方法研究了示踪粒子在裂缝速度场中的弥散。由于速度波动及其空间相关性，几何分散的渐近主导作用，显示在断裂面之间的分离非常小的限制。
2001-10-10 cond-mat.stat-mech physics.flu-dyn physics.geo-ph
Lattice Model for Approximate Self-Affine Soil Profiles
本文提出了一种用分形生长的概念来模拟土壤结构和表面粗糙度的方法。两个参数用于控制模型：破碎尺寸$D_f$和沉积聚集体的最大质量$M_{max}$。破碎维度通过关系式$N(r \ge R) \sim R^{D_f}$与粒度分布相关，其中$N(r \ge R)$是半径大于$R$的颗粒的累积数量。沉积的聚集体的尺寸是按照上述幂律选择的，并且聚集体的形态是使用键逾渗算法随机选择的。沉积规则与具有表面弛豫的固体-固体沉积模型中使用的相同。模型与实际资料的比较表明，用半变异函数法和去趋势波动分析法测得的Hurst指数$H$与模拟剖面在统计意义上是一致的。
2001-10-22 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Scaling behavior of randomly alternating surface growth processes
由两个不同的过程随机交替的时间生长的表面粗糙度的缩放特性，解决。假设两个主要过程的每次应用的持续时间独立地从给定的分布函数中得出。我们分析地址的两个主要过程是线性的过程，并扩展到非线性过程的结论。平均粗糙度与应用程序的数量的增长标度指数被发现是由分布函数的长时间尾部。对于两个平均应用时间都是有限的过程，标度行为遵循相应的循环过程，其中每个主过程的均匀应用时间由其平均值给出。如果分布函数以足够小的幂律衰减以使平均应用时间发散，则发现增长指数连续地依赖于该幂律指数。相反，粗糙度指数不依赖于应用的时间。分析结果支持的数值模拟的各种对初级过程和不同的分布函数。通过两个随机交替过程生长的自仿射表面在自然界中是常见的（例如，由于随机变化的天气条件）以及在人造装置如可充电电池中。
2002-11-20 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Oceanic coastline and super-universality of percolation clusters
定义了一个新的粗糙表面分形子集--“海洋海岸线”。对于具有负Hurst指数$H<0$的随机高斯曲面，"海洋海岸线“被映射到（相关）渗流问题的渗流簇。在粗糙自仿射表面（$H \ge 0$）的情况下，"海洋海岸线“$d_c$的分形维数的数值计算作为粗糙度指数$H$的函数（使用一种新的技术，最大限度地减少有限尺寸的影响）。当H=0时，结果$d_c \approx 1.896$与渗流问题的解析值（91/48）相吻合，表明$d_c$对相关渗流问题具有超普适性.
2003-01-24 cond-mat.stat-mech
Morphology of two dimensional fracture surface
我们认为，从纸样品的实验结果中观察到的二维裂纹的形态，并比较这些结果与随机熔丝模型（RFM）的数值模拟。我们证明了数据服从多尺度在小尺度，但交叉到自仿射尺度在更大的尺度。接下来，我们表明，随机熔丝模型的粗糙度指数恢复一个更简单的模型，产生一个连接的裂纹，而定向裂纹产生不同的结果，接近随机行走。我们讨论了所有这些模型的多尺度行为。
2006-09-11 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech
Coastlines violate the Schramm-Loewner Evolution
本文通过数值研究真实与人工地貌等高线，发现其粗糙度指数恒为1、有效分形维数随表面 Hurst 指数线性衰减，并证明海岸线违反 Schramm-Loewner 演化。
2024-09-30 cond-mat.stat-mech
Nonlinear Measures for Characterizing Rough Surface Morphologies
我们开发了一种新的方法来表征粗糙表面的形态的基础上的轮廓循环，即循环的恒定高度的缩放特性的分析。给定一个高度轮廓的表面，我们进行独立的测量的轮廓环的分形维数，和指数，其大小分布的特点。缩放公式推导和使用相关的这两个几何指数的自仿射表面的粗糙度指数，从而提供独立的测量这一重要的数量。此外，我们定义了尺度相关曲率，并证明，通过测量其三阶矩偏离高斯行为的高度波动可以确定。这些非线性措施被用来表征计算机生成的高斯粗糙表面的形态，在一个简单的生长模型的数值模拟中获得的表面，和表面扫描隧道显微镜观察。对于实验实现的表面的自仿射缩放被切断的相关长度，我们推广我们的理论的轮廓回路考虑到这一点。
1999-07-15 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Scanning probe microscopy (SPM) is a fundamental technique for the analysis of surfaces. In the present work, the interface statistics of surfaces scanned with a probe tip was analyzed for both \textit{in silico} and experimental systems that \textit{do not} belong to the prominent Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) universality class. We show that height, local roughness and extremal height distributions of scanned surfaces quantitatively agree with the KPZ class in a range similar or better than recent experimental evidences of the KPZ class using SPM images. The underlying mechanism behind this arti…
2016-09-17 cond-mat.stat-mech
Dynamic roughening of the magnetic flux landscape in YBa$_2$Cu$_3$O$_{7-x}$
研究了二维粗糙表面$_2$ $_3$ O $_{7-x}$薄膜中的磁通量形貌.超导体中的涡旋密度在空间和时间上都形成自仿射结构。这通过粗糙度指数$α= 0.76(3)$和生长指数$β= 0.57(6)$来表征。这是由于超导体中形成的自组织临界态中磁通雪崩的结构和分布。我们还讨论了我们的结果的背景下，其他粗糙化系统中存在的淬火无序。
2004-11-10 cond-mat.stat-mech cond-mat.supr-con
Towards a modeling of the time dependence of contact area between solid bodies
我提出了一个简单的模型，固体之间的接触面积的时间依赖性，假设一个完全不相关的表面形貌，或自仿射表面粗糙度。松弛效应的存在（我使用最近提出的模型）产生的时间增加的接触面积$A(t)$的渐近值，可以比标称接触面积小得多。对于一个不相关的表面形貌，$A(t)$的时间演变的数值被发现是很好地拟合的形式的表达式[ $A(\infty)-A(t)]\sim (t+t_0)^{-q}$，其中的指数$q$取决于正常负载$F_N$为$q\sim F_N^β$，与$β$接近0.5。特别地，当接触面积远低于标称面积I时，获得$A(t)/A(0) \sim 1+C\ln(t/t_0+1)$，即，根据实验观察，接触面积的对数时间增加。在这种情况下，低载荷的对数增长也可以通过分析获得。对于自仿射曲面的更现实的情况下，结果是定性相似的。
2010-05-10 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Gaussian Statistics of Fracture Surfaces
我们分析的统计分布函数的高度波动的脆性断裂面使用广泛的实验数据采样广泛不同的材料和几何形状。我们比较直接测量的分布的结构功能的基础上的一个新的分析。当长度尺度$δ$大于特征尺度$δ^*$时，我们发现高度增量$Δh = h(x+ δ) -h(x)$的分布是高斯分布。自亲和性通过标准偏差$σ$的缩放进入，标准偏差$σ$与具有唯一粗糙度指数的$δ^ζ$成比例。在尺度$δ^*$以下，我们观察到高度波动的有效多仿射行为和与测量或材料的离散性相关的高斯分布的偏差。
2006-07-14 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.stat-mech
Tracer dispersion in two-dimensional rough fractures
用解析和数值方法研究了二维自仿射粗糙裂隙中示踪剂的扩散和水动力弥散。通过格子玻尔兹曼方法进行了数值模拟，使用一个新的边界条件的示踪粒子，提高了方法的准确性。减少扩散运输，由于断裂表面的分形几何形状，分析了不同的断裂孔径。在小孔径波动的限制，我们推导出的曲折度，这占不规则的几何形状的裂缝的扩散系数的校正。分散研究时，两个断裂面是简单的位移垂直于平均断裂面，以及当有一个横向移位以及。数值结果进行了分析，使用$Λ$参数，有关对流运输内的裂缝，和简单的参数润滑近似的基础上。在非常低的Péclet数，在断裂面横向移动的情况下，我们使用几种不同的方法表明，对流输运减少分散。
2000-10-24 cond-mat.stat-mech nlin.CG physics.comp-ph
Numerical study of the temperature and porosity effects on the fracture propagation in a 2D network of elastic bonds
本文报道了由弹簧连接的二维三角形原子晶格的断裂结果。晶格提交控制应变测试和孔隙率和温度对故障的影响进行了研究。发现孔隙率一方面降低材料的刚度，但另一方面它增加了在失效之前所持续的变形。温度被证明是控制由于存在的增长和合并的空腔的延展性。从裂纹的传播产生的粗糙表面表现出自仿射性质的粗糙度指数$ζ= 0.59 \pm 0.07$在一个范围内的长度尺度随温度而增加。大的空腔也有粗糙的壁，被发现是分形维数，$D$，这与距离裂纹尖端的演变。对于大的距离，发现$D$接近1.5，并且对于刚好在它们与主裂纹合并之前的空穴接近1.0。
2005-01-04 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech physics.class-ph
