Small Composite Numbers in Orbits of Linear Maps
本文推广广义Cunningham链定义至非素数起始项，证明当$z$足够大时其广义链长度$\ell(z)< z$，且该结果仅依赖$z$大小而非素因数分解，突破了先前结果对素因子的限制。
2025-08-23 math.NT
Arithmetic Properties of Integers in Chains and Reflections of $g$-ary Expansions
近年来，人们对数字素数的性质的兴趣急剧上升。在这里，我们研究另一个这样的问题。也就是说，我们确定一个整数基$g \ge 2$，然后对每一个$g$进制数的无限序列$${\mathcal D} = \{d_i\}_{i=0}^\infty \in \{0, \ldots, g-1\}^\infty $$，我们考虑整数$n \le N$的计数函数$\varpi_{{\mathcal D},g}(N)$，其中$\sum_{i=0}^{n-1} d_i g^i$是素数.我们构建的序列${\mathcal D}$的$\varpi_{{\mathcal D},g}(N)$增长足够快，并表明，对于一些恒定的$\vartheta_g< g$有最多$O(\vartheta_g^N)$初始元素$(d_0, \ldots, d_{N-1})$的${\mathcal D}$的$\varpi_{{\mathcal D},g}(N)=N+O(1)$。本文还讨论了整数的联合算术性质及其$g$展开式的镜像反射.
2016-09-19 math.NT
Prime Suspects in a Quantum Ladder
在这封信中，我们建立了一个暗示性的数论解释的量子阶梯系统的N个耦合链的自旋1/2。使用硬核玻色子表示和由磁场和跳跃项组成的腿哈密顿量，我们可以将素数$p_a$与自旋$s_a$联系起来，这样链就成为无平方整数的量子寄存器。梯级哈密顿量涉及相邻链之间的置换项和互质排斥相互作用。该系统有各种相位;特别是有一个其基态是前N个素数的相干叠加。我们还讨论了在具有耗散Lindblad动力学的开放量子系统中该模型的实现。
2020-12-13 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Limit points and long gaps between primes
Brigham Young University（杨百翰大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文通过结合Maynard和Tao的工作，证明归一化素数间隔序列的极限点集包含至少25%的非负实数，并探讨了素数间长间隔的性质。
2015-10-27 math.NT
Repeated-root constacyclic codes over the finite chain ring $\mathbf{ \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^3 \rangle }$
设$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^3 \rangle $是具有单位元的有限交换链环，其中$p$是素数，$m$是正整数，$\mathbb{F}_{p^m}$是具有$p^m$元的有限域.本文确定了$\mathcal{R},$上所有任意长度的重根常循环码的码长及其对偶码。作为应用，我们列出了$\mathcal{R}.$上的一些等对偶常循环码，并确定了$\mathcal{R}.$上某些重根常循环码的汉明距离、RT距离和RT重量分布
2017-09-22 math.NT
Positive density for consecutive runs of sums of two squares
本文研究了两个平方数之和的连续序列在等差数列中的分布，证明对于任意奇数无平方因子模数和简化同余类，存在正密度的此类连续序列，这是 Maynard 素数序列结果的类比。
2025-03-26 math.NT
Coefficient growth in square chains
假设$((\cdots((x^{2}-c_{1})^{2}-c_{2})^{2}\cdots)^{2}-c_{k-1})^{2}-c_{k}$分解为关于$\mathbb{Z}$和$c_{k}\neq0$的线性因子。我们证明，对于每个$j$和每个素数$p$，如果$p\leq2^{j-1}$，则$p$可除$c_{j}$。因此，$$\ln c_{j}>\frac{1}{4}\cdot2^{j}\,\,\mathrm{for}\,j\geq5$$如果我们也有$p\equiv3\,(\mathrm{mod\,4)}$，则$p^{2^{j-\left\lceil \lg p\right\rceil }}$分裂$c_{j}$。因此，如果$k\geq3$，则存在某个绝对常数$λ>0$，因此，$$\ln c_{j}>λk2^{j}\mathrm{\,\,for\,all\,}j$$这些估计反对为大的$k$显式构造给定形式的多项式的可能性，因为系数很快变得太大而无法操作。
2019-02-27 math.NT
On the prime Selmer ranks of cyclic prime twist families of elliptic curves over global function fields
研究有限域上非等同椭圆曲线循环素数扭族的素数Selmer群大小分布，证明其符合Bhargava等人的猜想并给出误差界。
2025-03-19 math.NT math.PR
An Explicit Surjectivity Threshold for Digit Sums of Primes
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）；Amazon（亚马逊）
基于圆法框架，给出素数数字和满射性的显式数值阈值，并应用于证明OEIS A070027的无穷性。
2026-06-03 math.NT
A Family of Cubic Diophantine Equations and 4-Chains
在一个简单的整数链中，如果$u_{i-1}$、$u_i$和$u_{i+1}$是链中的三个连续项，并且这对$(u_{i-1}, u_i)$具有某个属性，那么下一对$(u_i, u_{i+1})$也具有相同的属性。我们将简单链的概念推广到$n$ -链，其中$n$是正整数，如果一对$(u_{i-1}, u_{i})$具有某种性质，那么第二对$(u_{\pm n+i-1}, u_{\pm n+i})$也具有相同的性质.在这种情况下，我们将$(u_{i-1}, u_{i}, u_{i+1})$和$(u_{\pm n+i-1}, u_{\pm n+i}, u_{\pm n+i+1})$称为匹配三元组。利用$4$ -链研究了一类三次丢番图方程，包括$x^3 + y^3 + x +y +1 = xyz$和其它三个方程.我们表明，一对整数$(x, y)$满足这四个方程之一，当且仅当$x$和$y$是连续的条款的$4$链。我们的主要结果是，如果三元组$(u, t, vw)$是一个$4$ -链的三个连续项的有序列表，其中$|t|$是素数，$t$不整除$(u-v)$，三元组$(v, t, uw)$是第二个$4$ -链的三元组并且它匹配第一个三元组，那么三元组$(-w, t, -uv)$是第三个$4$ -链的三元组并且它匹配另外两个三元组.
2017-10-01 math.NT
Two Algorithms to Find Primes in Patterns
令$k\ge 1$是整数，并且令$P= (f_1(x), \ldots, f_k(x) )$是整数上的$k$容许线性多项式，或\textit{the pattern}。我们提出了两个算法，找到所有整数$x$，其中$\max{ \{f_i(x) \} } \le n$和所有的$f_i(x)$是素数。我们的第一个算法最多使用$O(k\sqrt{n})$空间进行$O_P(n/(\log\log n)^k)$算术运算。我们的第二个算法需要稍微多一点的时间，$O_P(n/(\log \log n)^{k-1})$算术运算，但是对于一个常数$c>2$，只使用$n^{1/c}$空间。我们无条件地证明正确性，但运行时间依赖于两个未经证明但合理的假设。我们不知道任何以前的复杂性结果，这个问题超出了使用一个总理筛子。我们还实现了我们的第二个算法的几个并行版本，以证明它在实践中是可行的。特别是，我们发现了一些新的坎宁安链的长度为15，我们发现了所有的四素数高达$10^{17}$。
2019-10-31 cs.DS math.NT
Polynomial Cunningham Chains
令$ε\in \{-1,1\}$。一个素数序列$p_1, p_2, p_3, ...$，使得所有$i$都有$p_i=2p_{i-1}+ε$，称为第一种或第二种{ \it坎宁安链}，这取决于是$ε=1$还是-1。如果$k$是使$2p_k+ε$是合成的最小正整数，则我们说链的长度为$k$。虽然这样的链必然是有限的，它是明确的，对于每一个正整数$k$，有无限多个坎宁安链的长度$k$。多项式序列$f_1(x), f_2(x), ...$，使得$f_i(x)\in \Z[x]$，$f_1(x)$具有正的前导系数，$f_i(x)$在$\Q[x]$中不可约，并且对于所有$i$，$f_i(x)=xf_{i-1}(x)+ε$被定义为第一或第二类型的{ \it多项式坎宁安链}，这分别取决于是$ε=1$还是-1。如果$k$是使$f_{k+1}(x)$在$\Q$上可约的最小正整数，则我们说链的长度为$k$。在这篇文章中，对于每一种链，我们明确地给出了无穷多个多项式$f_1(x)$，使得$f_{k+1}(x)$是序列$\{f_i(x)\}_{i=1}^{\infty}$中唯一可约的项。作为第一个推论，我们推导出存在无穷多个多项式坎宁安链的长度$k$的两种，作为第二个推论，我们有，不像在整数的情况下，存在无穷多个多项式坎宁安链的无限长度的两种。
2011-04-08 math.NT
Primitive sets and von Mangoldt chains: Erdős Problem #1196 and beyond
OpenAI；Queens’ College, University of Cambridge（剑桥大学女王学院）；School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文提出基于马尔可夫链与von Mangoldt权重的新方法，用于界定了原始集合的埃尔德什和，并解决了埃尔德什-萨尔科西-塞泽尔迪问题#1196和#1217，以及埃尔德什原始集合猜想。
2026-05-01 math.CO math.NT math.PR
