任何递减的循环收敛曲线在重启GMRES中都是可能的
Any decreasing cycle-convergence curve is possible for restarted GMRES
AI总结：
本文证明，对于任意给定的递减正序列，存在一个矩阵和初始残差，使得重启GMRES的残差范数精确等于该序列，且矩阵可具有任意特征值，并推广到停滞情形。
摘要：
给定矩阵阶数 $n$，重启参数 $m$（$m < n$），递减正序列 $f(0) > f(1) > ... > f(q) \geq 0$，其中 $q < n/m$，证明存在一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和向量 $r_0$ 满足 $\\\|r_0\\\|=f(0)$，使得 $\\\|r_k\\\|=f(k)$，$k=1,...,q$，其中 $r_k$ 是应用重启参数为 $m$ 的重启GMRES求解线性系统 $Ax=b$ 时第 $k$ 个循环的残差，初始残差 $r_0=b-Ax_0$。此外，矩阵 $A$ 可以选为具有任意期望的特征值。我们还可以构造任意的停滞情形；即当 $f(0) > f(1) > ... > f(i) = f(i+1) \geq 0$ 对于任意 $i < q$ 成立。重启参数可以是固定的或可变的。
英文摘要：
Given a matrix order $n$, a restart parameter $m$ ($m < n$), a decreasing positive sequence $f(0) > f(1) > ... > f(q) \geq 0$, where $q < n/m$, it is shown that there exits an $n$-by-$n$ matrix $A$ and a vector $r_0$ with $\|r_0\|=f(0)$ such that $\|r_k\|=f(k)$, $k=1,...,q$, where $r_k$ is the residual at cycle $k$ of restarted GMRES with restart parameter $m$ applied to the linear system $Ax=b$, with initial residual $r_0=b-Ax_0$. Moreover, the matrix $A$ can be chosen to have any desired eigenvalues. We can also construct arbitrary cases of stagnation; namely, when $f(0) > f(1) > ... > f(i) = f(i+1) \geq 0 $ for any $i <q $. The restart parameter can be fixed or variable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
