The 2-adic valuations of Stirling numbers of the first kind
令$n$和$k$为正整数。我们用$v_2(n)$表示$n$的2-adic赋值。第一类Stirling数，记作$s(n,k)$，计算具有$k$不相交圈的$n$元素的排列数。近年来，Lengyel、Komatsu和Young、Leonetti和Sanna以及Adelberg在$s(n,k)$的$p$-adic估值方面取得了一些进展。本文通过引入$m$第一类Stirling数的概念，并给出详细的2-adic分析，给出了$s(2^n, k)$的2-adic赋值的一个显式公式.我们还证明了$v_2(s(2^n+1,k+1))=v_2(s(2^n,k))$对1和$2^n$之间的所有整数$k$成立。作为推论，我们证明了如果$k$是奇数，则$v_2(s(2^n,2^n-k))=2n-2-v_2(k-1)$是奇数，而$2\le k\le 2^{n-1}+1$是奇数。这部分证实了Lengyel在2015年提出的一个猜想。进一步证明了若$k\le 2^n$，则有$v_2(s(2^n,k)) \le v_2(s(2^n,1))$和$v_2(H(2^n,k))\leq -n$，其中$H(n,k)$表示$1,1/2,...,1/n$的$k$阶初等对称函数.后者支持了Leonetti和Sanna在2017年提出的猜想。
2018-12-11 math.NT
The 3-adic valuations of Stirling numbers of the first kind
School of Science, Xihua University（西华大学理学院）；School of Mathematics and Computer Science, Panzhihua University（攀枝花大学数学与计算机科学学院）
本文研究了第一类斯特林数s(a3^n, k)的3-adic估值，推导了显式公式并验证了Hong和Qiu的猜想，得出了关于3-adic阶的上界和比较结果。
2026-05-17 math.NT
Congruence classes of 2-adic valuations of Stirling numbers of the second kind
我们分析了$S(n,k)$的同余类，第二类Stirling数，模2的幂。这一分析提供了对Amdeberhan、Manna和Moll提出的猜想的深入了解，这些作者为$k\le5$建立了该猜想。我们提供了一个框架，可以用来证明猜想的计算手段，我们完成$k=5, 6,..., 20$。
2012-04-28 math.CO math.NT
p-adic Stirling numbers of the second kind
设S（n，k）表示第二类Stirling数.我们证明了当e趋于无穷大时，S（p^ea + c，p^eb + d）的p-adic极限对所有整数a，b，c，d都存在.我们称极限p进整数S（p^ \infty a + c，p^ \infty b + d）。当a equiv b mod（p-1）或d \le 0时，我们用最近文献中引入的p-adic二项式系数表示.
2013-07-29 math.CO math.NT
The 2-adic valuation of the general degree 2 polynomial in 2 variables
本文研究了多项式的p-adic赋值问题，通过赋值树方法描述了2变量一般2次多项式的2-adic赋值树。
2022-03-04 math.NT
Some restricted partition functions in terms of 2-adic valuation
本文研究受限分拆函数的表示问题，利用整数的2进赋值给出了若干此类函数的表达形式。
2024-10-26 math.NT
On the 3-adic Valuation of a Cubic Binomial Sum
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文证明了关于立方二项式和的3-进制估值的猜想，提供了该领域的新的数学结果。
2026-03-10 math.NT
2-adic Stirling functions and their zeros
令$P_n(x)=\frac1{n!}\sum\binom n{2i+1}(2i+1)^x$。这扩展到一个连续的函数上的2-adic整数，PDMATHAMN第2-adic部分斯特林函数。证明了$(-1)^{n+1}P_n$是第二类Stirling数$S(x,n)$唯一的2-基连续逼近.我们提出了广泛的信息$P_n$的零点，其中有许多有趣的模式。证明了如果$e\ge2$和$2^e+1\le n\le 2^e+4$，则$P_n$恰好有$2^{e-1}$ 0，且每个模$2^{e-1}$同余中有1个0.本文研究了$P_{2^e+Δ}$和$P_Δ$的零点之间的关系，对于$1\leΔ\le 2^e$，以及$P_{2^e+Δ}(x)$收敛于$e\to\infty$ .
2014-02-03 math.CO math.NT
Reified valuations and adic spectra
我们重温胡贝尔的理论，连续估值，从而产生了进谱在他的理论进空间。相反，我们考虑已经具体化的估值，即，其值组已被强制包含实数。这产生具体进谱提供了一个框架，类似的胡贝尔的理论兼容与伯科维奇的建设nonarchimedean解析空间。作为一个例子，我们扩展的perfectoid空间的理论，这种设置。
2015-08-19 math.NT
Products of $p$-Adic Valuation Trees
本研究围绕数论中的素因子整除性问题，利用$p$-进赋值构建可视化的$p$-进赋值树，探究有理系数线性函数及多项式乘积生成树的节点分裂规律，明确了这类多项式树的无限分支与终止节点赋值特征。
2023-08-22 math.NT
Valuations of $p$-adic regulators of cyclic cubic fields
我们计算了$\mathbb Q$的循环三次扩张的$p$ -adic调节器，对于$3<p<100$，其判别式达到$10^{16}$，并观察了调节器的$p$ -adic赋值的分布.我们发现，对于几乎所有的素数，观察匹配的模型，在调节器矩阵的条目是随机元的明显的限制。基于这个随机矩阵模型，提出了关于循环三次域的$p$ -adic调节子的赋值分布的一个猜想。
2017-01-02 math.NT
Periodicity in the $p$-adic valuation of a polynomial
对于素数$p$和整数$x$，$x$的$p$-adic赋值由$ν_{p}(x)$表示。对于一个多项式$Q$与整数系数，序列的估值$ν_{p}(Q(n))$被证明是周期或无界。第一种情况对应于$Q$在$p$ -进整数环中没有根的情况。在周期性的情况下，确定周期长度。
2017-05-02 math.NT
The $p$-adic Valuations of Möbius Duals of Lucas Sequences
本文研究了Möbius双曲Lucas序列的p进估值，并探讨了其与Wall-Sun-Sun素数存在的关系。
2025-12-03 math.NT
Nontrivial lower bounds for the $p$-adic valuations of some type of rational numbers
在本文中，我们将证明某些类型的有理数的$p$ -adic赋值（其中$p$是给定的素数）是异常大的。这推广了作者和A. Dubickas，它们都与特殊情况$p = 2$有关。获得我们的主要结果的关键点是这样一个事实，即$p$ -进值的有理数的问题是无界的。我们将通过三种不同的方法来证实这一事实;前两种方法是基本的，而第三种方法依赖于$p$ -adic分析。
2022-12-01 math.NT
Lower bound for the 2-adic valuations of central $L$-values of elliptic curves with complex multiplication
令$E_{-D}$是定义在$K=\mathbb{Q}(i)$上的椭圆曲线$y^2=x^3+Dx$，其中$D\in K$与2互质。本文给出了与$E_{-D}$相关的Hecke $L$ -函数的中心值的代数部分的2-adic赋值的一个下界.
2023-01-10 math.NT
On the $3$-adic valuation of the Narayana numbers
我们定义Narayana序列$\{a_n\}_{n\geq 0}$为满足$n\geq 3$的线性递归关系$a_n = a_{n-1}+a_{n-3}$的序列，初始值为$a_0 = 0$和$a_1 = a_2=1$。在本文中，我们充分刻画了${a_n}$的$3$-adic赋值，并利用它来确定所有的Narayana数是因子的.
2021-12-27 math.NT
$p$-regularity of the $p$-adic valuation of the Fibonacci sequence
证明了斐波那契数的$p$ -adic赋值对每个素数$p$都是$p$ -正则序列.对于$p \neq 2, 5$，我们确定该序列的秩为$α(p) + 1$，其中$α(m)$是斐波那契序列模$m$的受限周期长度。
2015-01-26 math.NT
Squares in (2^2-1)...(n^2-1) and p-adic valuation
在本文中，我们确定序列$\{\prod_{k=2}^n(k^2-1)\}_{n=2}^\infty $中的所有平方。由此，我们可以推论出在这个序列中有无穷多个正方形。我们还给出了这个序列中项的$p$ -adic赋值公式。
2009-09-22 math.NT
The $p$-Adic Valuation Trees for Quadratic Polynomials for Odd Primes
本文用树结构刻画奇素数下整系数二次多项式的 $p$-进赋值序列，并依据系数判定树的有限性、分支、层级及节点赋值。
2023-09-28 math.NT
A note on the p-adic log-gamma functions
本文证明了p-adic解析q-log Γ函数的某些Stirling型方程的系数中存在q-欧拉数
2007-10-26 math.NT
Solving Quadratic and Cubic Diophantine Equations using 2-adic Valuation Trees
对于固定整数$D \geq 0$和$c \geq 3$，我们演示了如何使用序列的$2$ -adic赋值树来分析$x^2+D=2^cy$和$x^3+D=2^cy$形式的丢番图方程，对于$y$奇数。此外，我们显示什么值$D \in \mathbb{Z}^+$，数字$x^3+D$将产生无限的估值树，导致无限的解决方案，上述丢番图方程。
2021-05-07 math.NT
A precise description of the p-adic valuation of the number of alternating sign matrices
继Sun和Moll之后，我们研究了交替符号矩阵的计数函数的p-adic赋值v_p（T（N））.我们找到一个精确的解析表达式，它表现出的波动行为，通过傅里叶系数。该方法是梅林Perron技术，这是熟悉的数字和函数和相关量的分析。
2009-08-03 math.NT
2-adic Valuations of Quadratic Sequences
由整系数二次整系数多项式的系数直接确定其2-adic赋值序列的性质。这些属性包括有界性或无界性、周期性和终止节点处的赋值。我们完全描述了有界情况下的周期序列。在整个过程中，我们用树和序列来构建结果。
2021-08-11 math.NT
Nontrivial lower bounds for the $p$-adic valuations of some type of rational numbers and an application for establishing the integrality of some rational sequences
本文从双对数函数的一个函数方程出发，建立了一类含有调和数的有理数的$p$ -adic赋值（其中$p$为给定素数）的非平凡下界.然后，我们使用我们的估计，以获得一些有理数序列的完整性，这是不能直接从他们的定义。
2022-12-07 math.NT
On the $p$-adic valuations of values of Legendre polynomials
本文研究 Legendre 多项式在素数处取值的 $p$-进赋值，给出显式公式，推广相关旧猜想并解决 Cigler 于 2017 年提出的问题。
2025-05-13 math.NT
The 2-adic valuation of generalized Fibonacci sequences with an application to certain Diophantine equations
在本文中，我们专注于寻找所有的因子表示为一个产品的一个固定数目的$2k$数与$k \geq 2$。我们推导出了$2k$ -nacci序列的2-adic赋值，并利用它来建立初始方程解的界。此外，我们指定了一个更一般的家庭的序列，我们可以执行类似的程序。我们还研究了这些结果与$p$ -正则序列的可能联系。
2017-02-20 math.NT
On the 2-adic valuation of (a^b-c^d)
本文证明了关于$v_2(a^{b}-c^{d})$的一个不等式。利用这个公式，我们可以不用计算就知道这个函数的2整除性，然后我们将研究这个函数在接近无穷大时的行为，并且会有很多与2-adic整数的类比。这个结果可以很容易地在计算器上使用，以便于分析该函数对于大值的可除性。此外，2-adic赋值和一般的2-adic分析与二进制有关，与之相关的每一项工作都可能在信息学中有很多应用。
2021-08-30 math.NT
On the $p$-adic properties of Stirling numbers of the first kind
令$n, k$和$a$为正整数。第一类斯特林数，用$s(n,k)$表示，计算$n$元素与$k$不相交循环的排列数。让PDMATHAMR是一个素数。近年来，Lengyel，Komatsu and Young，Leonetti and Sanna，Adelberg，Hong and Qiu等对$s(n,k)$的$p$-adic赋值的研究取得了一些进展。本文利用Washington关于广义调和数和$n$阶Bernoulli数$B_n$的同余关系以及作者最近得到的第一类$m$阶Stirling数的性质，得到了$v_p(s(ap, k))$的精确表达式或下界，其中$a$和$k$是整数，使得$1\le a\le p-1$和$1\le k\le ap$ .这就推论出对于任何正则素数$p\ge 7$和对于任意整数$a$和$k$，其中$5\le a\le p-1$和$a-2\le k\le ap-1$，有$v_p(H(ap-1,k))<-\frac{\log{(ap-1)}}{2\log p}$，其中$H(ap-1, k)$是$1, \frac{1}{2}, ..., \frac{1}{ap-1}$的第$k$个初等对称函数。这部分支持了Leonetti和Sanna在2017年提出的猜想。我们还给出了关于$v_p(s(ap^n,ap^n-k))$的一些结果，在一定条件下，对任意素数$p\ge 5$，任…
2020-03-02 math.NT
Stability of $p$-adic valuations of Hecke L-values
本文证明了 CM 域上代数 Hecke 特征在 $\ell$-进反循环扭曲族（$\ell\neq p$）中临界 L-值的 $p$-稳定性结果。
2024-12-21 math.NT
The $p$-adic valuation of local resolvents, generalized Gauss sums and anticyclotomic Hecke $L$-values of imaginary quadratic fields at inert primes
本文证明了虚二次域在惯性素数处沿反分圆塔的Hecke $L$-值 $p$-adic 赋值的渐近公式，通过确定广义高斯和与局部预解式的 $p$-adic 赋值，回答了 Rubin 的问题。
2025-07-10 math.NT
On the p-adic valuation of Stirling numbers of the first kind
对于所有整数$n \geq k \geq 1$，定义$H(n,k) := \sum 1 / (i_1 \cdots i_k)$，其中和扩展到所有正整数$i_1 < \cdots < i_k \leq n$。这些量通过恒等式$H(n,k) = s(n + 1, k + 1) / n!$与第一类斯特林数密切相关。受Erdens-Niven和Chen-Tang工作的启发，我们研究了$H(n,k)$的$p$ -adic赋值。特别是，对于任何素数$p$，整数$k \geq 2$，$x \geq (k-1)p$，我们证明了$ν_p(H(n,k)) < -(k - 1)(\log_p(n/(k - 1)) - 1)$的所有正整数$n \in [(k-1)p, x]$的基础$p$表示开始的基础$p$表示的$k - 1$，但最多$3x^{0.835}$例外。我们还推广了Lengyel的一个结果，给出了$ν_2(H(n,2))$的无限二元序列的描述。
2016-06-04 math.CO math.NT
$p$-adic valuation of harmonic sums and their connections with Wolstenholme primes
本研究围绕Eswarathasan-Levine关于调和数$p$进赋值的猜想展开，用模算术方法分别证明了非Wolstenholme素数与Wolstenholme素数情形下，$H(p^mn)$的$p$进赋值在$H(n)$的$p$进赋值为3时的反常渐近行为。
2023-03-27 math.NT
A note on the $q$-adic valuation of $σ_k(n)$
本文通过LTE引理和 cyclotomic多项式，推导出σ_k(n)的q进位的精确公式，并给出优于 Zhao 之前结果的渐进行为上界。
2026-08-04 math.NT
Explicit Formulas for the p-adic Valuations of Fibonomial Coefficients II
本文对所有素数$p$和正整数$a$和$n$给出Fibonomial系数${p^a n \choose n}_F$的$p$-adic赋值的显式公式.这是我们上一篇文章的延续，它扩展了文献中的一些结果，这些结果只涉及$p = 2,3,5,7$和$a = 1$。然后利用这些公式刻画了正整数$n$使得${pn \choose n}_F$可被$p$整除，其中$p$是与$\pm 2 \pmod{5}$全等的素数.
2019-08-05 math.NT
The 2-adic valuations of the algebraic central $L$-values for quadratic twists of weight 2 newforms
本文在温和假设下，给出了权2新形式的二次扭曲的代数中心$L$-值的2-adic赋值的尖锐下界，并对无穷多个导子计算了该赋值。
2025-10-09 math.NT
On the $\ell$-adic valuation of certain Jacobi sums
固定不同的素数$\ell$和$f$，一个有限域$\mathbf{F}_{q}$，使得$q \equiv 1 \pmod{\ell f}$，和一个字符$χ: \mathbf{F}_{q}^{\times} \to \mathbf{C}^{\times}$的确切顺序$\ell f$。给出了Jacobi和$J(χ^{\ell}, χ^{f})$的一个新的$\ell$ -adic同余.这些雅可比和是曲线$y^{\ell} = x^{f} + 1$的Frobenius特征值。
2020-05-03 math.NT
L-series and their 2-adic and 3-adic valuations at s=1 attached to CM elliptic curves
在数域上研究了两类经典的带复数乘法的椭圆曲线的$L-$级数，给出了它们在$L-$上界的特殊值的计算公式，以及达到上界的判据.设$ E_1: y^{2}=x^{3}-D_1 x $是高斯域$K=\Q(\sqrt{-1}), $上的椭圆曲线，其中$ D_1 =π_{1} ... π_{n} $或$ D_1 =π_{1} ^{2}... π_{r} ^{2} π_{r+1} ... π_{n}$，其中$π_{1}, ..., π_{n}$是$K$中的不同素数.给出了由Weierstrass $\wp-$函数表示的曲线上的Hecke $L-$级数的特殊值的计算公式，得到了Hecke $L-$级数的这些值的2-adic赋值的下界以及达到这些下界的判据.进一步，设$ E_{2}: y^{2}=x^{3}-2^{4}3^{3}D_2^{2} $是二次域$ \Q(\sqrt{-3}) $上的椭圆曲线，且具有$ D_2 =π_{1} ... π_{n}, $，其中$π_{1}, ..., π_{n}$是$\Q(\sqrt{-3})$的不同素数，除了对$3-adic$赋值外，也得到了类似的结果.这些结果与Birch和Swinnerton-Dyer猜想的预言一致，并且发展了最近文献中关于更特殊情形和$2-adic$赋值的一些结果.
2001-03-15 math.NT
On the $p$-adic valuation of a hyperfactorial
本文将证明一个计算超阶乘的$p$ -adic赋值的公式。我们称超阶乘为从1到给定数字的给定数量的连续整数相乘的结果，每个整数都提高到自己的幂。例如，$n$的超阶乘等于：$1^1 2^2 3^3\dots n^n$。关于超阶乘函数已经做了大量的研究，特别是两个数学家：Glaisher和Kinkelin，他们发现这个函数的渐近行为是接近无穷大的$n$（找到一个常数，Glaisher-Kinkelin常数，它有很多表达式使用欧拉Γ函数和黎曼ζ函数）。特别是在本文中，我将写这个函数的p-adic赋值，或者更确切地说是$p$的最大指数（$p$是一个素数），使得$p$的幂除以$n$的超阶乘。我将给出的公式使用了著名的De-Polignac公式，用于简单阶乘的$p$ -adic赋值。然后讨论结果的渐近分析。
2021-09-12 math.NT
Bounds on the $p$-adic valuation of the factorial, hyperfactorial and superfactorial
本文利用 Legendre-de Polignac 公式研究了阶乘、超阶乘和超级阶乘等量的 p 进赋值的上下界，并讨论了其在密码学中的潜在应用以及 Stirling 数和 Catalan 数的相关界。
2024-08-01 math.NT
On non-holonomicity, transcendence and $p$-adic valuations
本文研究了 $p$-进赋值相关幂级数的性质，证明其在特征 0 下非完整且非代数，找到了使级数值超越的无穷多个有理数与代数无理数，并应用于 $p$-自动序列。
2024-12-21 math.NT
On $k$-regularity of sequences of valuations and last nonzero digits
设$b \geq 2$是具有素因子$p_1, \ldots, p_s$的整数基。本文研究了“$b$ -adic赋值”序列和值$f(n) = (f_1(n), \ldots, f_s(n))$的$b$ -adic展开式中的最后一个非零数字，其中每个$f_i$是一个$p_i$ -adic解析函数.本文给出了这类序列的$k$ -正则性的一个完整分类，推广了Shu和Yao关于$b$素数的一个结果.作为应用，我们加强了Murru和Sanna关于第一类Lucas序列的$b$ -adic赋值的一个定理.此外，我们推导出一种方法，以确定这些序列的哪些条款可以表示为某些三元二次型。
2022-02-20 math.NT
Divisibility by 2 of partial Stirling numbers
这里使用的部分Stirling数T_n（k）被定义为（n选i）i^k中i的奇数值之和。它们的2-指数nu（T_n（k））在代数拓扑学中是重要的.我们给出了许多适用于n的所有值的具体结果，即对某个模2 ^t的同余类中的所有k，nu（T_n（k））= nu（k-k 0）+c 0，其中k 0是2-adic整数，c 0是正整数.我们的分析涉及到nu（sum（n choose 2 i +1）i^j）的几个新的一般性结果，其证明涉及到一个新的多项式族。在Clarke之后，我们将T_n解释为关于2-adic整数的函数，并且上述2-adic整数k 0作为这些函数的零。
2011-09-22 math.CO math.NT
A binary tree representation for the 2-adic valuation of a sequence arising from a rational integral
我们提出了一个二叉树，描述了2-adic估值的一个序列的系数所产生的评价的合理的积分。
2008-08-21 math.CO math.NT
The fermionic p-adic integrals on Zp associated with extended q-Euler numbers and polynomials
本文利用Zp上的多元费米子p-adic积分系统地研究了几类q-欧拉数和Norlund型多项式.此外，对这些高阶q-欧拉数和多项式的研究还隐含着一些有趣的q-模拟Stirling数恒等式.
2009-01-14 math.NT
On the $p$-adic valuation of third order linear recurrence sequences
本文通过推广Marques和Lengyel的猜想，研究了三阶线性递推序列的$p$-进赋值，证明了若猜想对特定序列成立，则丢番图方程$x_n=m!$的解集有限且可被有效计算。
2024-10-16 math.NT
Estimating the $p$-adic valuation of the resultant
设$f$和$g$是两个具有整数系数和非零结果$r$的一元多项式。假设$v_p(f(n))\ge s_1$和$v_p(g(n))\ge s_2$对所有整数成立$n$对某些$s_1, s_2$固定非负整数成立.令$S$表示$v_p(gcd(f(n),g(n)))$在所有整数$n$上的最大值。本文建立了$v_p(r)$的多重下界.更具体地说，我们表明，$v_p(r)\ge S-\max{s_1,s_2}+ps_1s_2\frac{p-1}{p-p^{-k}}$，其中$k=\lfloor \log_p((p-1)\max\{s_1,s_2\}+1)\rfloor -1$。
2021-11-11 math.NT
The $p$-Adic Valuations of Weil Sums of Binomials
本文研究了$W_{F,d}(a)=\sum_{x \in F} ψ(x^d -a x)$形式的Weil和的$p$-adic赋值，其中$F$是特征$p$的有限域，$ψ$是$F$的典型可加特征标，$d$与$|F^\times|$互质，$a$是$F$的元素.这样的和经常出现在算术计算中，也在信息论中有应用。对于每个$F$和$d$，想要知道$V_{F,d}$，作为$a$的$W_{F,d}(a)$的最小$p$赋值贯穿$F$的元素。我们排除了指数$d$是全等的$p$模$|F^\times|$（退化$d$），产生平凡的韦伊总和的幂。我们证明了对于任何$F$和任何非退化$d$，都有$V_{F,d} \leq (2/3)[F\colon{\mathbb F}_p]$，并且证明了在无穷多个域$F$中实际上可以达到这个界.我们还证明了一些更强的界限，适用于当$[F\colon{\mathbb F}_p]$是一个权力的$2$或$d$是不全等的$1$模$p-1$，并表明，这些界限达到无限多个$F$。
2017-03-20 math.NT
The 2-adic valuation of a sequence arising from a rational integral
我们分析了一个整数序列，起源于一个明确的评估四次积分的2-adic值的属性。我们还给出了这个序列的估值的组合解释。与Collatz（3x+1）问题所产生的轨道的连接进行了讨论。
2007-07-14 math.CO math.NT
The 2-adic valuation of the coefficients of a polynomial
本文计算了与定积分$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^4+2*a*x^2+1)^(m+1)}$有关的多项式的2-adic赋值
2003-08-07 math.CA math.NT
Transcendence and algebraic independence of a family of $p$-adic valuation generating functions
本文研究了p进估值生成函数族的超越性与代数独立性，证明了其在单位圆内非零代数点处的超越性，并得出了乘法独立代数参数下的代数独立性结果。
2025-12-16 math.NT
The p-adic valuations of sequences counting alternating sign matrices
研究了p=2和p=3时，整数序列T（n）计数交替符号矩阵的p-adic赋值问题.他们的图的对称性产生一个新的证明的结果，特征的指标，其中T（n）是奇数。
2009-01-28 math.CO math.NT
A note on $p$-adic valuations of the Schenker sums
素数$p$称为申克素数，如果存在这样的$n\in\mathbb{N}_+$，即$p\nmid n$和$p\mid a_n$，其中$a_n = \sum_{j=0}^{n}\frac{n!}{j!}n^j$是所谓的申克和。T. Amdeberhan，D. Callan和V. Moll给出了两个关于$p$的命题：当$p$是Schenker素数时，$p$的adic赋值。特别地，他们询问对于每个$k\in\mathbb{N}_+$是否存在唯一的正整数$n_k<p^k$，使得对于每个非负整数$m$，$v_p(a_{m\cdot 5^k + n_k})\geq k$。证明了对每个$k\in\mathbb{N}_+$，不等式$v_5(a_n)\geq k$有模$5^k$的唯一解.这证实了上述作者提出的第一个猜想。此外，我们表明，如果$37\nmid n$然后$v_{37}(a_n)\leq 1$，这意味着第二个猜想所提到的作者是不正确的。
2014-01-08 math.NT
On the $2$-adic valuation of $σ_k(n)$
China West Normal University（西华师范大学）
本文研究了σ_k(n)的2-进位估值，得出了关于其上限的精确界，并给出了基于n素因数分解的显式公式。
2026-03-12 math.NT
On $p$-adic valuations of colored $p$-ary partitions
令$m\in\N_{\geq 2}$和对于给定的$k\in\N_{+}$，考虑由幂级数展开$$ \prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1-x^{m^{n}}\right)^{k}}=\sum_{n=0}^{\infty}A_{m,k}(n)x^{n}. $$定义的序列$(A_{m,k}(n))_{n\in\N}$。数$A_{m,k}(n)$将$n$的表示数计数为$m$的幂的和，其中每个被加数在$k$颜色中有一个。本文证明了对于每个$p\in\mathbb{P}_{\geq 3}$和$s\in\N_{+}$，数$A_{p,(p-1)(p^s-1)}(n)$的$p$ -进赋值对于$n\geq p^s$等于1.我们也得到了一些结果有关的行为序列$(ν_{p}(A_{p,(p-1)(up^s-1)}(n)))_{n\in\N}$固定$u\in\{2,\ldots,p-1\}$和$p\geq 3$。我们的研究结果概括了Gawron，Miska和第一作者对$p=2$的早期研究结果。
2018-09-12 math.NT
