格拉斯曼流形上的拟牛顿方法与张量的多线性近似
Quasi-Newton methods on Grassmannians and multilinear approximations of tensors
AI总结：
本文针对定义在格拉斯曼流形或其乘积上的目标函数，提出了BFGS和L-BFGS拟牛顿方法，并证明其在局部坐标下与欧氏空间中的BFGS具有相同的最优性，应用于张量多线性秩逼近问题得到快速鲁棒算法。
摘要：
在本文中，我们针对定义在格拉斯曼流形或格拉斯曼流形乘积上的目标函数，提出了拟牛顿方法和有限记忆拟牛顿方法。具体地，我们在格拉斯曼流形或其乘积的局部和全局坐标上定义了BFGS和L-BFGS更新。我们证明，当使用局部坐标时，格拉斯曼流形上的BFGS更新与欧氏空间中的通常BFGS更新具有相同的最优性。当应用于一般张量和对称张量的最佳多线性秩逼近问题时，我们的方法产生了快速、鲁棒且精确的算法，这些算法利用了各自问题的特殊格拉斯曼结构，并且适用于大维度和任意高阶的张量。包含大量数值实验以证实我们的主张。
英文摘要：
In this paper we proposed quasi-Newton and limited memory quasi-Newton methods for objective functions defined on Grassmannians or a product of Grassmannians. Specifically we defined BFGS and L-BFGS updates in local and global coordinates on Grassmannians or a product of these. We proved that, when local coordinates are used, our BFGS updates on Grassmannians share the same optimality property as the usual BFGS updates on Euclidean spaces. When applied to the best multilinear rank approximation problem for general and symmetric tensors, our approach yields fast, robust, and accurate algorithms that exploit the special Grassmannian structure of the respective problems, and which work on tensors of large dimensions and arbitrarily high order. Extensive numerical experiments are included to substantiate our claims.
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