A counterexample to the Hirsch conjecture
赫希猜想（1957）指出，一个具有$n$小平面的$d$维多面体的图的（组合）直径不可能大于$n-d$ .也就是说，多面体的任何两个顶点可以通过至多$n-d$边的路径连接。本文给出了该猜想的第一个反例。我们的多面体有维度43和86方面。它是从一个5维多面体与48方面违反了一定的推广$d$步骤猜想Klee和Walkup。
2011-11-08 cs.DM math.CO math.OC
The Diameters of Network-flow Polytopes satisfy the Hirsch Conjecture
本文用网络单纯形法解决了多面体组合学中的一个问题。我们证明了Hirsch猜想对所有网络流多面体的图的直径成立，特别是对具有$n$节点和$m$弧的网络，网络流多面体的直径永远不超过$m+n-1$ .证明这一点的一个关键步骤是证明经典运输多面体的相同结果。
2016-09-21 math.CO
The Hierarchy of Circuit Diameters and Transportation Polytopes
多面体图直径的研究是线性规划理论中的一个经典问题。虽然运输多面体是运筹学和统计学的核心，但赫希猜想对一般的$m{\times}n$ --运输多面体是否正确仍然是开放的。在早期的工作中，前三位作者介绍了一个层次的变化的概念，图直径多面体。关键的原因是这种层次结构为通常的图直径提供了一些有趣的下界。本文有三个贡献：第一，我们比较了$m{\times}n$ -运输多面体的直径的层次。我们证明了$m+n-1$的Hirsch猜想界在大多数直径概念中是有效的。其次，我们证明了对于$3{\times}n$ --运输多面体，Hirsch猜想在经典图直径下成立。第三，我们证明了$2{\times}n$ -运输多面体，较强的单调赫希猜想举行，并提高了早期的界限图直径。
2015-04-21 math.CO math.OC
A Formal Disproof of the Hirsch Conjecture
本文对Santos等人关于多面体（有界凸多面体）直径的Hirsch猜想的一个反例进行了形式化验证。与纸笔证明相比，我们的方法是完全计算：我们实现在Coq和证明正确的算法，明确计算，在证明助手，顶点边缘图的多面体以及它们的直径。这种基于证书的算法的独创性是实现简单性和效率之间的权衡。简单性是获得算法正确性证明的关键。这种证明分为面向证明的数据类型上的抽象算法的正确性和面向计算的数据类型上的低级实现的对应性。已经做出了特别的努力来将算法减少到小的基本操作序列（例如，矩阵乘法，集合和图形上的基本例程），以便使低级实现的正确性的推导更加透明。效率使我们能够扩展到具有挑战性的组合多面体。例如，我们正式检查的两个反例的Matschke，桑托斯和韦伯的赫希猜想，分别为20和23维多面体与36 425和73 224顶点涉及有理系数高达40位数的分子和分母。我们还说明了该方法的性能，通过计算的顶点或直径的著名类的多面体，如（极）循环多面体中涉及的McMullen的上限定理。
2023-01-10 cs.LO math.CO math.OC
Sobre un contraejemplo a la conjetura de Hirsch
这是一篇简短的论文（西班牙语），描述了关于多面体图的最大直径的赫希猜想的起源和历史，以及导致作者最近在arxiv：1006.2814中宣布的反例的想法。
2010-07-19 math.CO
Circuit diameter and Klee-Walkup constructions
考虑一个多面体的图直径的变体，其中两个顶点之间的行走中的每一步最大限度地沿着回路方向而不是沿着入射边行进。这里的电路方向是非平凡的解决方案，以最小相关的子系统的介绍多面体。这些可以被理解为所有可能的边缘方向的集合，包括可能由小平面的平移产生的边缘。考虑图直径的赫希猜想的电路模拟是很有吸引力的，正如Borgwardt等人所建议的那样。[BFH 15]。他们问，赫希猜想的已知反例是否能为这个放松的回路直径概念提供反例。我们表明，最基本的反例无界赫希猜想，Klee-Walkup多面体，没有一个电路直径，满足赫希界，无论表示。我们还研究了有界Klee-Walkup多面体的回路直径。
2015-03-18 cs.CG math.CO
On the Circuit Diameter Conjecture
从最优化的观点来看，一个关键的问题是将多面体的组合直径与多面体的面数$f$和维数$d$联系起来。在Klee和Walkup的开创性论文[KW 67]中，关于$f-d$的上界的Hirsch猜想被证明等价于几个看起来更简单的陈述，并且通过构造一个特殊的具有8个面的四维多面体$U_4$而被证明是不成立的。有界多面体的赫希界直到最近才被桑托斯证明是错误的。我们认为类似的属性的组合直径称为电路直径的变体。在这个变体中，行走是从多面体的回路方向构建的，这是定义多面体的系统的最小非平凡解。我们能够证明所谓的不可重访猜想和$d$ -步猜想的电路变体都蕴涵着Hirsch猜想的电路模拟。对于[KW 67]中的等价性，楔形构造是一种基本的证明技术。我们展示了为什么它在电路设置中不可用，以及失去它作为工具的影响。此外，我们显示电路模拟的非重访猜想意味着一个线性约束的电路直径的所有无界多面体-在对比是什么已知的组合直径。最后，我们给出了$4$ -步猜想的一个电路版本的两个证明。这些结果为赫希猜想的电路版本在一般情况下成立提供了一些希望。电路设置中的挑战是相同组合结构的多面体的不同实现可能具有不同的直径。我们适应的概念，简单的工作与电路的形式，C-简单的和楔形简单的多面体。我们表明，它足以考虑这样的多面体。
2018-04-17 math.CO
Observations on the Perturbed Wedge
Santos为有界多面体构造了第一个已知的赫希猜想的反例，遵循的策略是首先找到一个反例来证明非重访猜想。Santos构造了一个长度为$6$的$5$维的几乎是简单的纺锤体$(P,x,y)$，这是不可重访猜想的一个反例。对于简单的多面体，如果我们有一个反例来证明不可重访的猜想，那么我们可以通过反复的楔入，在所有与$x$或$y$无关的方面上，得到与赫希猜想相对应的反例。然而，桑托斯$5$三维主轴并不简单。每一个方面都与$x$或$y$相关，所以我们需要一种替代方法来产生赫希猜想的相应反例。桑托斯提供了一个令人不安的楔子来实现这一目标。在这些工作笔记中，我们提供了一些关于扰动楔形构造迭代下的非单纯性的技术细节。注意：这些是关于施工的工作说明。
2013-11-04 math.CO math.MG
Any Proof of Polynomial Hirsch Must be Completely Incoherent
Bowdoin College（博多因学院）；Colby College（科尔比学院）
研究多项式赫希猜想类似问题，即多面体上由线性函数诱导定向时是否总有多项式长度连贯单调路径。通过展示特定多面体和线性函数，证明并非如此，且加强了相关领域长期结果。
2026-07-14 cs.DS math.CO math.OC
On the Combinatorial Diameters of Parallel and Series Connections
多面体的组合直径的研究是线性规划中的一个经典课题，因为它与单纯形法的有效主元规则的可能性有关。我们感兴趣的多面体的直径形成从所谓的平行或串联连接定向拟阵：定向拟阵是自然的方式连接表示拟阵理论与线性规划的组合，这些连接是基本运算的建设更复杂的拟阵从基本拟阵块。我们证明了，多面体的组合直径满足赫希猜想界，无论右手边在一个标准形式的描述，其并联或串联连接的直径仍然很小的赫希猜想界。这些结果是一个实质性的一步，设计一个直径界的所有多面体定义通过完全幺模矩阵的基础上西摩的著名的分解定理。我们的证明技术和结果表现出一些有趣的功能。虽然并联连接导致一个界限，只是增加了一个常数，对于串联连接，一个线性地考虑在任何顶点的特定坐标的最大值。我们的证明也需要仔细处理非重访边走在退化多面体，以及建设边走，可能会采取“绕道”的方面，满足非重访猜想时，底层多面体可能不会。
2023-03-13 math.CO math.OC
Topological Prismatoids and Small Simplicial Spheres of Large Diameter
我们介绍拓扑prismatoids，组合抽象的（几何）prismatoids最近推出的第二作者构建反例的赫希猜想。我们表明，“强$d$ -步骤定理”，允许从“非$d$ -步骤”prismatoids构建这样的大直径多面体仍然工作在这个组合的水平。然后，利用翻转图上的元启发式方法，构造了四个具有$14$顶点的组合不同的非$d$阶$4$维拓扑棱柱体.这意味着存在具有$18$顶点的$8$维球，其组合直径超过Hirsch界.这些示例小于Mani和Walkup在1980年的先前已知示例（$24$顶点，维度$11$）。我们的非赫希球面是可壳的，但我们不知道它们是否可实现为多面体。
2019-06-10 math.CO
Geometric Combinatorics of Transportation Polytopes and the Behavior of the Simplex Method
本论文主要研究凸多面体的几何组合学及其与线性规划单纯形法的关系。我们把我们的注意力集中在运输多面体，这是所有表的非负实数满足一定的求和条件的集合。运输问题在许多方面是最简单的一类线性规划，因此具有丰富的组合结构。首先，我们给出了某些运输多面体的直径的新结果，并讨论了它们与Hirsch猜想的关系，Hirsch猜想认为每个具有$n$小面的$d$维凸多面体的直径都有$n-d$的上界.特别地，我们证明了由$1$ -边缘定义的$3$ -路轴向运输多面体的直径的一个新的二次上界.我们还表明，赫希猜想成立的$p \times 2$经典运输多面体，但有无限多的赫希夏普经典运输多面体。其次，我们给出了关于运输多面体的子多面体的新结果。我们调查，例如，一个非正则三角剖分的子多面体的第四伯克霍夫多面体$B_4$。这意味着所有Birkhoff多面体$B_n$为$n \geq 4$的非正则三角剖分的存在。我们还研究了某些类别的网络流多面体，并证明了新的线性上界的直径。
2010-06-11 math.CO
An Euler characteristic proof that 4-prismatoids have width at most 4
我们表明，没有4维类似物的5-prismatoids桑托斯最近的反例中使用的赫希猜想。
2011-04-15 math.CO
Nonsimplicities and the perturbed wedge
2010年，桑托斯描述了赫希猜想的一个反例的构造，2012年，桑托斯和韦伯提供了一个20维反例的40个面的坐标。在本文中，我们探讨的技术细节的建设使用桑托斯和韦伯的工作作为激励的例子。桑托斯提出了在双重设置的建设。在这里，我们回到原始的设置，桑托斯的建设要求重复应用扰动楔操作，一个楔在一个方面，其次是一个或多个其他方面的扰动。我们表明，建设的起点是一个反例“P5”的nonrevisiting猜想在5维。然而，这个多面体P5不是一个简单的多面体;它包含两个非简单的顶点。当我们反复应用扰动楔时，非单性在维度上增长，而它们的过剩减少。最后，在20维中，所得到的多面体是简单的，其直径超过赫希界限1。这些笔记是桑托斯和韦伯工作的技术伙伴。
2015-03-01 math.CO math.MG
Recent progress on the combinatorial diameter of polytopes and simplicial complexes
赫希猜想，提出于1957年，说明图的$d$维多面体或多面体的$n$方面不能有直径大于$n - d$。这个猜想本身已被证明是错误的，但我们对这个根本问题的了解却相当少。最值得注意的是，没有多项式的上界是已知的直径被证明是线性的。相反，没有多面体违反猜想超过25%是已知的。本文综述了近年来在这一问题上的一些尝试和进展。有些人在多面体或（更常见的）有界多面体的世界中工作，但有些人试图通过将其推广到单纯复形来阐明这个问题。特别是，我们在这里包括我们最近和以前未发表的证明，即任意单纯复形的最大直径是在$n^{Theta(d)}$中，我们总结了polymath 3项目中的主要思想，这是一个基于网络的集体努力，试图证明多面体和更一般对象（包括，e）的直径的nd类型的上界。例如，在一个实施例中，单形流形）。
2013-07-22 math.CO math.OC
More bounds on the diameters of convex polytopes
根据多面体的维数$d$和多面体的面数$n$求多面体的最大边直径$Δ(d,n)$的一个好的界是多面体理论\cite{BG}中的一个基本的公开问题。虽然一些界限是已知的，但函数$Δ(d,n)$的行为在很大程度上是未知的。赫希猜想在1957年提出，并在\cite{GD}中报道，指出$Δ(d,n)$在$n$和$d$中是线性的：$Δ(d,n) \leq n-d$。已知该猜想在小维度中成立，即，对于$d \leq 3$ \cite{VK}，以及其他特定的$d$和$n$对（表\ref{before}）。然而，$Δ(d,n)$的渐近行为还没有得到很好的理解：最好的上限-由于卡莱和Kleitman -是准多项式\cite{GKDK}。在这篇文章中，我们将显示$Δ(4,12)=7$和$Δ(5,12)=Δ(6,13)=7$提出强有力的证据。这些新值中的第一个特别令人感兴趣，因为它表明赫希界在4维中不尖锐。
2009-11-25 math.CO math.MG
Diameters of Cocircuit Graphs of Oriented Matroids: An Update
定向拟阵（通常称为序型）是一种组合结构，它推广了点配置、向量配置、超平面排列、多面体、线性规划和有向图。定向拟阵在组合学、计算几何和优化中起着关键作用。本文综述了以往的工作，并提出了一个更新的搜索上的直径上的界限的定向拟阵的余圈图。我们回顾了直径问题，并证明了一般定向拟阵的直径界约化为一致定向拟阵的直径界。我们给出了低秩和低余秩的定向拟阵的最新精确界，以及所有不超过9个元素的定向拟阵的最新精确界（这部分需要大量的计算机证明）。我们研究的动机是单纯形法和十字形法的复杂性。对于任意定向拟阵，我们对Finschi的一个二次界进行了改进.我们的讨论突出了两个非常重要的相关的多项式赫希猜想的多面体直径。
2020-06-16 math.CO
Polytope Extensions with Linear Diameters
本文构造扩展公式证明Hirsch猜想的松弛版本，并证明若单纯形算法存在步数由多面体直径与面数之和的多项式界定的选主元规则，则线性规划可在强多项式时间内求解。
2024-09-24 math.CO
An update on a few permanent conjectures
我们回顾并更新了一些关于矩阵永久性的知识，这些知识很容易陈述、理解，并且可以被普通数学观众所理解。它们是：Soules上积式猜想${}^\dagger$，Lieb上积式占优猜想，Bapat和Sunder关于Hadamard积和对角元的猜想${}^\dagger$，关于Hadamard积的Chollet猜想，Marcus关于积式的积式猜想，以及其他几个猜想.其中一些协议最近才得到解决;一些协议仍然悬而未决。并提出了一些有待进一步研究的新问题。（${}^\dagger$的收购案最近以负面方式解决。）
2016-08-09 math.CO
Advancing Geometry with AI: Multi-agent Generation of Polytopes
本文提出一种高度并行的人工智能多智能体系统，用于自动生成高复杂度多面体，并在 Hirsch 猜想、k-neighbourly 问题和最长单调路径问题中生成匹配或超越已知最佳界的新示例，证明 AI 能有效推进几何学中极难问题的研究。
2025-01-30 cs.CG math.CO math.MG
Edge-Graph Diameter Bounds for Convex Polytopes with Few Facets
证明了6维12面多面体的边图的直径至多为6，从而在d=6的情况下验证了Klee和Walkup的d步猜想.这意味着对于所有具有n-d \leq 6的对（d，n），具有n个刻面的d-多胞形的边图的直径以6为界，这证明了对于所有n-d \leq 6的Hirsch猜想。我们表明，这一结果表明，这一界的一个更一般的结构-所谓的拟阵多面体-减少到一个小数目的可满足性问题。
2009-07-15 math.CO math.MG
Bounds on the diameters of $r$-stacked and $k$-neighborly polytopes
本文改进了Larman关于多面体直径的界，证明了如果$Δ$是一个正规单纯复形，其所有缺失面的大小至多为$r$，则$Δ$的面脊图的直径不大于$2^{r-2}n$，其中$n$是$Δ$的顶点数.然后，我们使用这个结果提供新的上界的$k$ -邻球，$r$ -堆叠的球体，多面体与小$g_r$的小面脊图的直径。具体地说，我们的边界意味着具有$r=O(\log n)$的$r$ -堆叠球满足多项式Hirsch猜想.
2013-03-27 math.CO
An update on Haiman's conjectures
重新讨论了Haiman关于对称群上Hecke代数的Kazdhan-Lusztig基元特征标之间关系的猜想.该猜想断言，为了特征标求值的目的，任何Kazhdan-Lusztig基元都可以约简为最简单的可能基元之和（与所谓的共显性置换相关的基元）。当基元与一个光滑置换相联系时，我们能够给出这个猜想的几何证明。另一方面，如果置换是奇异的，我们提供了一个反例。
2022-06-02 math.AG math.CO math.RT
A note on the diameter of transportation polytopes with prescribed source degrees
Brightwell，van den Heuvel和Stougie证明了一个$m \times n$输运多面体的直径至多是$8(m+n-2)$，离赫希猜想相差八倍。Hurkens将该结合改进为$3(m+n-1)$。我们研究某些类别的运输多面体的直径。注意事项：本文完成后，我们发现本文所研究的运输多面体类在Michel L.巴林斯基关于两类特殊的运输多面体。数学编程学习，1：43-58，1974.米歇尔湖Balinski和Fred J. Rispoli。运输多面体的签名类。数学规划，60（2，Ser.A）：127-144，1993.这些文件都包含我们的结果和推广到更一般的类运输问题的改进。鉴于这些文件，本说明将不提交出版。
2012-05-12 math.CO
Posets arising as 1-skeleta of simple polytopes, the nonrevisiting path conjecture, and poset topology
本文研究由简单多面体1-骨架经通用线性泛函定向所得格结构，证明共同覆盖元素的并等于最小面的汇，提出无向路径不重访面的猜想及其对单纯形法高效性的意义，并证明开区间序复形同伦等价于球或球面，应用于弱Bruhat序、Tamari格和Cambrian格。
2023-08-08 math.AT math.CO math.OC
