Existence and Uniqueness of $L^2$-Solutions at Zero-Diffusivity in the Kraichnan Model of a Passive Scalar
我们研究Kraichnan模型的湍流标量，被动平流的高斯随机速度场δ相关的时间，为每个空间维度$d\geq 2$和涡扩散（理查森）指数$0<ζ<2$。本文证明了在零分子扩散系数或$κ= 0$下，当标量场被限制在一个Dirichlet b.c.的有界区域$Ω$中时，在$L^2\left(Ω^{\otimes N}\right)$中对于定常$N$ -点统计相关函数的奇异椭圆线性偏微分方程存在唯一的弱解.在这些条件下，我们证明了$L^2$空间中的$N$ -体椭圆算子具有纯离散的，正谱和$L^{-γ}$阶的最小特征值，其中$γ=2-ζ$和$L$是$Ω$的直径。我们还证明了弱$L^2$ -极限的正，$p$阶超扩散系数$κ_p>0$，$p\geq 1$，存在时，$κ_p \rightarrow 0$和唯一的零扩散系数的解决方案。这些结果来自于对$N$ -粒子涡扩散系数矩阵的最小特征值的较低估计，该估计对于一般的$N$是证明的，并且对于$N=2,3,4$是详细证明的。本文还讨论了以下几个问题：（1）解的Hölder正则性;（2）从$N$点相关函数的集合中重构标量场上的不变概率测度;（3）$N$点相关函数在$L^2$初始数据下的偏微分方程的含时弱解。
1996-05-15 chao-dyn nlin.CD
Influence of helicity on scaling regimes in the extended Kraichnan model
本文在扩展的Kraichnan模型框架下研究了不可压螺旋湍流对被动标量的平流输送。湍流脉动速度场具有零均值的高斯统计特性和有限时间相关的噪声。在场论重整化群方法的框架下，进行了直到双圈近似的实际计算。结果表明，湍流环境的空间宇称破缺（螺旋度）并不影响相应无螺旋度模型特有的反常标度性。然而，渐近制度的稳定性，异常缩放发生，强烈依赖于螺旋度的量。此外，螺旋度引起的湍流扩散系数，这已经计算在一圈近似。
2006-04-13 nlin.CD
Direct Numerical Simulations of the Kraichnan Model: Scaling Exponents and Fusion Rules
我们提出了直接数值模拟的Kraichnan模型被动标量平流的快速变化的随机标度速度场的中间值的速度标度指数。这些结果进行了比较，该模型的预测Kraichnan的标度指数。此外，我们测试最近提出的融合规则，管理的缩放特性的多点相关性，并提出结果的线性度的条件统计的拉普拉斯算子上的标量场。
1997-07-01 chao-dyn nlin.CD
Self-Similar Decay in the Kraichnan Model of a Passive Scalar
我们研究了两点关联函数的自由衰减标量在Kraichnan的模型平流的高斯随机速度场，平稳和白噪声的时间，但分数布朗在空间与粗糙度指数$0<ζ<2$，适当的惯性对流范围内的标量。我们找到所有的自相似的解决方案，通过转换的缩放方程库默尔方程。结果表明，只有那些具有标量能量衰减指数$a\leq (d/γ)+1$的标度解才是统计可实现的，其中$d$是空间维数，$γ=2-ζ$ .指出了一个无穷不变量序列$J_\ell, \ell=0,1,2,...$，其中$J_0$是Corrsin积分不变量，但更高的不变量似乎是新的.我们表明，至少有一个前两个不变量，$J_0$或$J_1$，必须是非零的可实现的初始数据。我们分类的初始数据在长时间域的吸引力的自相似的解决方案，基于这些新的不变量。我们的研究结果支持一个图片的"双尺度“衰变的自相似性的范围内的指数$(d+γ)/γ< a < (d+2)/γ,$类似于最近被发现在伯格斯湍流衰变。
2000-03-09 chao-dyn cond-mat.stat-mech math-ph
Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in models of passive turbulent advection
本文将场论重整化群应用到Kraichnan的被动标量模型中，该模型由高斯速度场和对关联函数$\proptoδ(t-t')/k^{d+ε}$平流而成。惯性范围异常标度的结构功能和各种对的放大器的存在，在相应的算子乘积展开的“不稳定的”复合运营商（当地的耗散率的权力），其{ \it负}临界尺寸确定异常指数的结果。后者的计算顺序为$ε$展开式的$ε^3$（三环近似）。
2002-05-23 nlin.CD
Turbulence for (and by) amateurs
为业余爱好者而非专家撰写的统计湍流系列讲座。介绍了二维和三维纳维-斯托克斯方程中湍流的基本内容和问题。描述了标量湍流的一些性质和湍流中的输运现象。我们对Kraichnan的被动平流模型进行了更精确的讨论。{Part 1：接近湍流。}纳维-斯托克斯方程。级联和Kolmogorov理论。模拟统计湍流。关联函数和缩放。{Part 2：在湍流中更深。}二维湍流。耗散和耗散反常。福克-普朗克方程多重分形模型{Part 3：标量湍流。运输和拉格朗日轨迹。Kraichnan的被动标量模型反常的比例和普遍性。{Part 4：拉格朗日轨线。理查森定律。Kraichnan模型中的拉格朗日流。慢速模式。拉格朗日流的分解。Batchelor极限。广义拉格朗日流和轨迹丛。
2000-07-06 cond-mat hep-th nlin.CD
Two-Loop Calculation of the Anomalous Exponents in the Kazantsev--Kraichnan Model of Magnetic Hydrodynamics
本文在运动学近似的框架内，考虑了大尺度背景磁场存在下磁流体动力学湍流中的反常标度问题。本文将场论重整化群方法应用于Kazantsev-Kraichnan模型，该模型是由具有零均值和关联函数$\propto δ(t-t')/k^{d+ε}$的高斯速度场平流的被动矢量模型。惯性范围的反常标度的张量对指数的成立作为一个后果的存在，在相应的算子乘积展开的某些“危险”的复合算子，其负临界尺寸确定的反常指数。主要的技术成果是计算了$ε$展开（双环近似）的$ε^2$级的反常指数。
2011-09-22 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Anomalous exponents in the rapid-change model of the passive scalar advection in the order $ε^{3}$
本文将场论重整化群应用于协方差为$<{\bf v}(t,{\bf x}){\bf v}(t',{\bf x})> - <{\bf v}(t,{\bf x}){\bf v}(t',{\bf x'})> \proptoδ(t-t')|{\bf x}-{\bf x'} |^ε$的高斯速度场平流作用下的被动标量Kraichnan模型。惯性范围异常指数，相关的标量梯度构建的张量复合算子的标度维数，计算的顺序$ε^{3}$的$ε$扩展。本文简要地讨论了湍流模型中$ε$展开式的性质和收敛性。
2001-01-17 nlin.CD
Dynamics of Passive-Scalar Turbulence
本文首次研究了被动标量和被动矢量湍流的动态标度或多标度性。对于Kraichnan版本的被动标量和被动矢量湍流，我们分析表明，在欧拉和准拉格朗日框架，得到简单的动态缩放，但具有不同的动态指数。通过发展多重分形模型，我们表明，动态多尺度发生在被动标量湍流，只有当平流速度场本身是多重分形。我们证实了我们的结果，详细的数值模拟壳模型的被动标量平流。
2005-10-03 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Anomalous Scaling in the Anisotropic Sectors of the Kriachnan Model of Passive Scalar Advection
Kraichnan的被动标量平流模型研究作为一个案例模型，了解各向异性部门的异常标度。我们在这里表明，解决方案的Kraichnan方程的$n$顺序相关叶分为部门的不可约表示的SO（d）组。我们发现在每一个扇区都有一个普适反常指数的离散谱。一般的相关性和结构函数出现在所有的贡献，与非通用的振幅，这是由各向异性边界条件的总和。各向同性扇区总是以最小指数为特征，因此对于足够小的尺度，总是恢复局部各向同性。反常指数的计算以两种互补的方式进行。第一种方法是通过分析梯度场的相关性得到的。相应的理论涉及对数发散的控制，对数发散转化为异常标度，并在最终结果中出现内外标度的比值。在第二种方法中，我们从Kraichnan方程的零模计算标量场自身的相关性的指数。在这种情况下，重整化尺度是外尺度。这两种方法导致相同的统计对象相同的标度指数，照亮了重整化尺度的外部和内部尺度的相对作用。我们推导出融合规则，该规则在所有维度上控制对称群的扇区中的关联函数的小尺度渐近性。
1999-07-12 chao-dyn nlin.CD
Coarse-grained description of a passive scalar
在被动标量湍流的背景下，小尺度动力学的参数化的问题。我们的策略的基本思想是确定动力学方程的粗粒度标量动力学从封闭方程的两点统计指标。为了进行全面的分析研究，考虑了Kraichnan平流模型。后一种模型的白时特性确实导致了等时间标量关联函数的封闭方程。然而，经典的封闭问题仍然会出现，如果一个标准的过滤程序，适用于这些方程的大涡模拟策略的精神。我们展示了如何执行精确的闭包以及如何识别相应的粗粒度标量演化。
2006-02-27 nlin.CD
Notes about Passive Scalar in Large-Scale Velocity Field
我们考虑了不可压缩大尺度湍流对被动标量θ（t，r）的平流。在Kraichnan模式的框架下，得到了θ的单点统计量和被动标量差θ（r_1）-θ（r_2）（分离度r_1-r_2位于对流区间）的全部概率分布函数。
1998-10-15 chao-dyn cond-mat.stat-mech nlin.CD
Slow modes in passive advection
本文研究了Kraichnan被动平流模型中的反常标度问题，揭示了其源于流体轨迹随机演化中的慢共振型集体模式，并给出了平滑速度下标量稳态的显式解及其与量子力学问题的联系。
1997-06-04 chao-dyn cond-mat hep-th
Dissipation statistics of a passive scalar in a multidimensional smooth flow
我们计算解析的概率分布函数${\cal P}(ε)$的耗散场$ε=(\nabla θ)^{2}$的被动标量$θ$平流的$d$维随机流，在大Peclet和普朗特数的限制（Batchelor-Kraichnan制度）。分布的尾部是一个拉伸指数：对于$ε\to \infty$，为$\ln {\cal P}(ε)\sim -(d^2ε)^{1/3}$。
1998-07-31 chao-dyn cond-mat.stat-mech nlin.CD
Passive scalar intermittency in compressible flow
Kraichnan模型的可压缩推广（Phys. Rev. Lett. 72，1016（1994））的被动标量平流。本文研究了直接叶栅区压缩性对标量统计不稳定性的动力学作用。简单的物理参数表明，一个增强的不透明度应该出现增加的压缩性，由于拉格朗日轨迹分离减慢。这是证实的依赖性的可压缩性的程度上，通过拉格朗日方法计算同时N点示踪剂的相关性的数值研究。
1999-06-07 chao-dyn nlin.CD
Anomalous Scaling in a Model of Passive Scalar Advection: Exact Results
Kraichnan的被动标量平流模型，其中的驱动速度场具有快速的时间去相关的情况下，理解湍流系统中的异常标度的外观模型进行了研究。我们演示了如何重正化微扰理论的技术导致（后精确magnimations）的统计量，揭示非微扰效应的方程。结果表明，紫外发散的图解膨胀转化为反常标度与内部长度作为重整化尺度。在本文中，我们解析地计算了由紫外发散引起的无穷多个反常指数。尽管如此，非微扰效应提供了基于外部重整化标度的异常标度的可能性。这个复杂的行为的机制进行了详细的检查和解释。我们表明，在语言的L 'vov，Procaccia和费尔霍尔[物理修订E { \bf 50}，4684（1994）]的问题是"关键”，即异常指数的标量主字段$Δ=Δ_c$。这正是允许在结构函数中出现反常标度的条件，我们证明了这种反常必须基于外部重整化标度。最后，我们推导出了Kraichnan提出的标度律，并证明了他的标度指数与我们的理论是一致的。
1995-04-12 chao-dyn cond-mat nlin.CD
Passive advection of percolation process: Two-loop approximation
研究了定向逾渗过程在吸收态和激活态之间的二级相变附近的典范模型。该模型首先表示为朗之万方程的形式，后来改写为场论公式。随后的响应泛函分析采用费曼图解技术和微扰重整化群方法。假设渗流过程发生在外部速度场中，这对扩散特性有额外的影响。Kraichnan快速变化系综用于产生速度波动。在双环近似下得到了不动点结构的结构。
2019-05-02 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Anomalous Scaling Exponents of a White-Advected Passive Scalar
对于Kraichnan的被动标量平流问题，考虑了大空间维数$d\gg1$的限制。标量场的标度指数为$ζ_{2n}=nζ_2-2(2-ζ_2)n(n-1)/d$，而耗散场的标度指数为$μ_{n}=-2(2-ζ_2)n(n-1)/d$，阶数为$n\ll d$ .因此，通过对所考虑的情况进行直接计算，建立了改进的相似性假设$ζ_{2n}=nζ_2+μ_{n}$。
1996-01-19 chao-dyn cond-mat hep-th
Anomalous scaling of a passive scalar advected by the Navier--Stokes velocity field: Two-loop approximation
将场论重整化群和算子乘积展开应用于有限关联时间非高斯速度场平流作用下的被动标量模型。速度由纳维-斯托克斯方程控制，受到具有关联函数$\propto δ(t-t') k^{4-d-2ε}$的外部随机搅拌力。结果表明，对于小的$ε$，标量场已经是间歇性的，其结构函数表现出反常的标度行为，相应的指数在$ε$中可以系统地按级数计算。实际计算是按$ε^{2}$（双环近似）顺序完成的，包括各向异性扇区。与著名的Kraichnan快速变化模型一样，反常标度是由于模型中存在具有负标度维数的复合场（算子），与反常指数相一致。因此，对于零关联时间的高斯模型和有限关联时间的非高斯模型，反常标度产生的机制是相似的。应该强调的是，与有限相关时间的高斯速度系综相比，这里讨论的模型和微扰理论显然是伽利略协变的。这些结果的真实被动平流的相关性，与高斯模型和实验的比较进行了简要讨论。
2004-08-30 nlin.CD
Non-universality of the scaling exponents of a passive scalar convected by a random flow
我们考虑被动标量对流的多尺度随机速度场与短而有限的时间相关性。以Kraichnan的极限为零近似的白高斯速度，我们发展微扰理论的小相关时间和小的非高斯性的速度。我们推导出湍流扩散算子的重整化（由于时间相关性和非高斯性）。这使我们能够计算相应的校正的异常标度指数的标量场，并表明它们连续依赖于速度相关时间和非高斯的程度。标量指数因此是非普遍的，如Shraiman和Siggia在现象学基础上所预测的（CRAS { \bf 321}，279，1995）。
1996-02-23 chao-dyn cond-mat hep-th
Renormalization Group, Operator Product Expansion, and Anomalous Scaling in a Model of Advected Passive Scalar
本文将场论重整化群方法应用于协方差为$<{\bf v}(t,{\bf x}){\bf v}(t',{\bf x})> - < v(t,{\bf x}){\bf v}(t',x')> \proptoδ(t-t')| x-x'|^{\eps}$的高斯速度场平流作用下的被动标量Obukhov-Kraichnan模型。惯性范围异常标度的结构函数和各种对指数的建立作为一个后果的存在，在相应的算子乘积展开的“邪恶”的复合算子[权力的本地耗散率]，其负临界尺寸确定异常指数。主要的技术成果是计算了$\eps$展开式的$\eps^{2}$级的反常指数。还提出了一个“慢”的速度场的情况下所获得的结果的推广。
1998-04-28 chao-dyn cond-mat nlin.CD
Universal decay of scalar turbulence
被动标量场的渐近衰减的解析解的Kraichnan模型，其中的速度有一个短的相关时间。在很长一段时间内，两个普遍性类被发现，其特征都是分布的标量-一般非高斯-与全球自相似的演变的时间。类似的行为被发现与一个更现实的流动产生的逆能量级联数值。
2000-10-05 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Renormalization group and anomalous scaling in a simple model of passive scalar advection in compressible flow
场论重整化群方法被应用于一个简单的被动标量模型，该模型由具有协方差$\proptoδ(t-t')| x-x'|^ε$的高斯非螺线管（“可压缩”）速度场平流。建立了结构函数和各种对子的对流范围反常标度，并计算了相应的反常指数到$ε$展开的$ε^2$级.由于RG不动点的退化，这些指数是非普适的。与纯螺线管速度场（Obukhov-Kraichnan模型）的情况相反，在这种情况下，关联函数表现出对红外和紫外特征尺度的非平凡依赖性，并且在对相关器的水平上已经出现了异常标度。不含导数的标量场的幂，其临界维数决定了反常指数，表现出多重分形行为。得到了对相关器的精确解，与$ε$展开式的结果一致。被动平流磁场的异常指数也呈现在一阶的$ε$展开。
1998-06-16 chao-dyn cond-mat nlin.CD
Passive advection of a vector field: Anisotropy, finite correlation time, exact solution and logarithmic corrections to ordinary scaling
在这项工作中，我们研究了[{ \it Phys. Rev. E} { \bf 91}，013002（2015）]中考虑的问题的推广，以环境（速度）场的{ \it有限}相关时间的情况。该模型描述了一个矢量（例如，磁场），由强各向异性湍流被动平流。利用场论重整化群和算子乘积展开研究了惯性范围的渐近行为。平流速度场是高斯型的，具有有限的相关时间和预先指定的成对关联函数。由于区分方向${\bf n}$的存在，该模型中的所有多回路图均为零，因此所得结果是准确的。该模型的惯性范围的行为是由两个政权（消失或无限的相关时间的限制），对应于两个非平凡的RG方程的不动点。它们的稳定性取决于能谱${\cal E} \propto k_{\bot}^{1-ξ}$中的指数与色散律$ω\propto k_{\bot}^{2-η}$之间的关系。与众所周知的各向同性Kraichnan模型不同，在Kraichnan模型中，各种关联函数表现出具有无限组异常指数的异常标度行为，这里对普通标度的修正是积分湍流标度$L$的多项式。
2015-09-27 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Logarithmic violation of scaling in strongly anisotropic turbulent transfer of a passive vector field
矢量的惯性范围渐近行为（例如，本文利用场论重整化群和算子乘积展开方法研究了强各向异性湍流被动平流作用下的磁场。平流速度场是高斯的，在时间上不相关，具有$\propto δ(t-t') / k_{\bot}^{d-1+ξ}$形式的成对相关函数，其中$k_{\bot}=|{\bf k}_{\bot}|$和${\bf k}_{\bot}$是波矢量的分量，垂直于区别方向（“流动方向”）--由Avellaneda和Majda引入的系综的$d$维概括[{ \it Commun.数学物理} { \bf 131}：381（1990）]。横向（无发散）矢量场的随机对流扩散方程包括磁流体动力学湍流的运动发电机模型和线性化的纳维-斯托克斯方程。与众所周知的各向同性Kraichnan模型相反，在该模型中，各种相关函数表现出具有无限组异常指数的异常标度行为，这里对积分湍流标度$L$的依赖性具有对数行为：而不是对由朴素（规范）维度确定的普通标度的类似幂的校正，异常表现为$L$的多项式。关键是相关复合算子族的标度维数矩阵是幂零的，不能对角化。这一事实的详细证明给出了任意阶的相关函数。
2015-01-21 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Inertial-range behaviour of a passive scalar field in a random shear flow
利用场论重整化群和算符乘积展开方法研究了无规切变流作用下被动平流标量场的红外渐近行为。平流速度是高斯的，在时间上是白色的，具有$\propto δ(t-t') / k_{\bot}^{d-1+ξ}$形式的相关函数，其中$k_{\bot}=|{\bf k}_{\bot}|$和${\bf k}_{\bot}$是波矢量的分量，垂直于区别的方向（“流动的方向”）--由Avellaneda和Majda引入的系综的$d$维概括[{ \it Commun.数学物理} { \bf 131}：381（1990）]。在红外波段，标量场的结构函数在临界尺寸精确已知的情况下表现出标度行为。它是强各向异性的，在这个意义上，与平行和垂直于流动的方向有关的尺寸是本质上不同的。与各向同性Kraichnan的快速变化模型相反，结构函数没有显示出异常（多）标度，并且当积分湍流尺度趋于无穷大时具有有限的极限。相反，内部尺度（或扩散系数）的依赖性持续在红外范围内。推广到有限相关时间的速度场。根据能谱${\cal E} \propto k_{\bot}^{1-ε}$和色散律$ω\propto k_{\bot}^{2-η}$中的指数之间的关系，模型的红外行为由消失或无限相关时间的极限给出，在$ε$ - $η$平面中的射线$η=0$、$ε>0$处具有交叉。物理（柯尔莫哥洛夫）点$ε=8/3$、$η=4/3$位于快速变化状态的稳…
2011-11-14 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Statistics of a Passive Scalar Advected by a Large-Scale 2D Velocity Field: Analytic Solution
稳态统计的被动标量平流的随机二维流动的不可压缩流体描述的范围内的相关长度的流动和扩散尺度之间的尺度。这对应于所谓的巴彻勒状态，其中速度被其大尺度梯度所取代。标量在局部共动参考系中的概率分布由直线拉伸率的概率分布表示。线拉伸的描述可以简化为许多随机矩阵与单位行列式的乘积的经典问题。我们已经发现变量的变化，允许一个映射到一个标量的矩阵问题，从而证明了拉伸率统计的中心极限定理。该证明对速度场的任何有限相关时间都是有效的。无论速度场的统计，被动标量的统计（平均在时间上的本地空间）示出的Peclet数$Pe$（泵浦扩散尺度比）的增加，以接近高斯。第一个$n<\ln Pe$同步关联函数通过标量平方的通量和仅一个取决于速度场的因子来表示：平均拉伸率，其可以在极限情况下解析地计算。在有限的$Pe$的概率分布的非高斯尾部被发现是指数。
1995-03-23 chao-dyn cond-mat nlin.CD
