Equivariant solutions to the optimal partition problem for the prescribed Q-curvature equation
本文研究Einstein流形上预定Q-曲率方程的最优分割问题，利用余一维群作用精确描述解域，证明对称解存在性，并给出Paneitz-Branson算子及Yamabe问题变号解的多重性结果。
2023-05-11 math.AP math.DG
Multiplicity one for min-max theory in compact manifolds with boundary and its applications
证明了一般度量下边界维数在3 - 7之间的紧致流形中极小极大自由边界极小超曲面的重数为1的定理。为了解决这一问题，我们发展了具有指定中曲率的自由边界超曲面的存在性和正则性理论，其中包括极小元的正则性理论，紧性理论和一般的具有Morse指标界的极小极大理论.作为应用，我们构造了欧几里得空间中单位球上新的自由边界极小超曲面和具有任意大熵的中曲率流的自收缩曲面。
2020-11-09 math.AP math.DG
Existence of hypersurfaces with prescribed mean curvature I - Generic min-max
我们证明了，对于一个通用的一组光滑处方函数$h$封闭的环境流形，总是存在一个非平凡的，光滑的，封闭的超曲面规定的中曲率$h$。它的解要么是一个整数重的嵌入极小超曲面，要么是一个非极小的重一的几乎嵌入超曲面。更准确地说，我们表明，我们以前的最小-最大理论，为常数中曲率超曲面，可以扩展到构建最小-最大规定的中曲率超曲面的某些类的处方函数，包括光滑的Morse函数和非零的解析函数。特别地，我们不需要假设$h$有符号。
2018-08-09 math.DG
Multiplicity of solutions for Gross-Pitaevskii equations on Riemannian manifolds
University of Camerino（卡梅里诺大学）；Federal University of ABC（ABC联邦大学）
本文研究了在黎曼流形上Gross-Pitaevskii方程解的多重性问题，通过临界点理论和Γ收敛方法，结合新的等周型问题结果，得出了解的多重性下界。
2025-11-26 math.AP math.DG
Conformal metrics of prescribed scalar curvature on $4-$manifolds: The degree zero case
本文研究了具有正数量曲率的黎曼紧致$4-$维流形$(M^4,g_0)$上共形度量的存在性和多重性问题。证明了一个新的存在性判据，它给出了正函数稠密子集的存在性结果，推广了Bahri-Coron和Chang-Gursky-Yang的Euler-Hopf型判据.我们的论证给出了解的Morse指数的估计，并且推广了已知的解的存在性结果。此外，它提供了，一般$K$ { \it Morse不等式在无穷远}，这给了一个下界的度量的数量与规定的数量曲率的拓扑贡献的“临界点在无穷远”的相关的Euler-Lagrange功能的水平集之间的拓扑差异。
2009-06-09 math.AP math.DG
Hypersurfaces with mean curvature prescribed by an ambient function: compactness results
我们认为，在第一种情况下，类的边界集的局部有限周长的（弱定义的）中曲率是$g ν$，对于一个给定的连续正周围的功能$g$，和其中$ν$表示的内部正常。众所周知，在这个类中，在变倍意义上取极限一般是不可能的，这是由于“隐藏边界”的出现，即（弱定义的）中曲率消失的部分（具有偶数重数的正测度），因此$g$没有规定极限中的中曲率。作为一个特殊的情况下，更一般的结果，我们证明了局部均匀$L^q$ -边界（弱定义）的第第二基本型，$q>1$，除了习惯的局部均匀边界上的周长，导致一个紧凑的一类边界与中曲率规定的$g$。证明依赖于将边界视为“定向积分变量”，以利用它们的可定向性特征（当将它们视为（无定向）变量时会丢失）。具体而言，它依赖于制定和分析的一个弱概念的曲率系数为导向的整体varifolds（灵感来自哈钦森的工作）。这个框架给出了（没有额外的努力）一个紧凑的结果，有方向的积分变倍曲率局部有界的$L^q$与$q>1$和中曲率规定的任何$g\in C^0$（事实上，该功能可以改变变倍，它规定的中曲率，只要有局部一致收敛性的规定功能）。我们的概念和陈述是在黎曼流形中给出的，其中定向变分不需要作为边界出现（例如，它们可以来自双侧浸入）。
2022-12-14 math.AP math.DG
Prescribing Chern scalar curvatures on noncompact manifolds
针对非紧非 Kähler 流形上的预定 Chern 标量曲率问题，论文借助新的解析条件建立 Kazdan-Warner 型方程的存在性结果，并据此给出 Ni 经典多重性定理的新证明。
2023-04-27 math.AP math.DG
Asymptotic Plateau problem for prescribed mean curvature hypersurfaces
本文证明了在满足严格凸性条件且截面曲率具有负常数上界的 Cartan-Hadamard 流形中，具有预定平均曲率超曲面的渐近 Plateau 问题解的存在性，并在低维情形下得到了多重性结果。
2019-11-20 math.DG
Fixed-spinor radial solutions of a perturbed Euclidean spinorial Yamabe equation
针对受扰欧几里得旋量Yamabe方程，通过径向旋量空间的有限维约化，结合K在原点的行为与加权积分量，得到固定旋量径向解的存在及多重性准则。
2026-10-16 math.AP math.DG
Stable prescribed-mean-curvature integral varifolds of codimension 1: regularity and compactness
在前一篇论文中，我们发展了一个正则性和紧性理论，在欧氏环境空间余维1弱稳定CMC积分变倍满足两个（必要）结构条件。在这里，我们将这个理论推广到平均曲率（变倍的正则部分的）由给定的$C^{1, α}$周围函数$g$规定，并且周围空间是一般的$(n+1)$维黎曼流形;我们给出了一般的条件，这意味着支持的varifold，远离维度$\leq n-7,$的可能奇异集合的是具有连续单位法向$ν$和平均曲率$gν$的$C^{2}$浸入的图像。这些条件也确定了一个紧凑的类varifolds受到额外的统一质量约束。如果$g$在任何地方都不为零，或者更一般地说，如果集合$\{g=0\}$足够小（例如，如果${\mathcal H}^{n}\,(\{g=0\})=0$），那么结果及其证明与CMC的情况非常类似。然而，当$g$是任意的时，必须考虑一些额外的考虑：首先，正确的第二变分假设是有限Morse指数的假设（而不是弱稳定性）;第二，要得到一个几何上有用的具有紧性结论的理论，变分流形上的两个结构条件之一必须被削弱;第三，鉴于简单的例子，这种结构假设的弱化需要更多的假设才能得出相同的结论。我们确定了两套额外的假设下，这一结论适用于一般的$g$：其中一个给出了正则性和紧性，另一个给出了正则性，并适用于某些相变问题。我们还提供了推论的多重$1$ varifolds减少边界的Caccioppoli集。在这些情…
2020-10-11 math.AP math.DG
Bifurcation for Minimal Surface Equation in Hyperbolic $3$-Manifolds
由Uhlenbeck在20世纪70年代后期的工作开始，我们研究了一类双曲三流形中闭曲面极小浸入的存在性、多重性和渐近性态，曲面上具有预定的共形结构，浸入具有第二基本型.我们证明了几个结果在这些方向。特别是，我们确定的解决方案是唯一的，当多个解决方案出现。此外，我们详细分析了解的渐近行为时（以及如何）可能发生爆破。有趣的是，当曲面的亏格为2或更大时，爆破分析表现出不同的行为。此外，我们扩展这个程序考虑类似的问题，总的外在曲率规定，我们证明了存在性结果。
2020-12-03 math.AP math.DG math.FA
Prescribing $Q$-curvature on even-dimensional manifolds with conical singularities
该研究针对带锥形奇点的$2m$维闭流形的指定$Q$-曲率问题，通过爆破分析与极小极大变分论证，得到超临界情形下的存在性与多重性结果，是$m>1$时非球面超临界锥形流形的首个相关存在性结论。
2024-12-10 math.AP math.DG
Foliation by area-constrained Willmore spheres near a non-degenerate critical point of the scalar curvature
设$(M,g)$是三维黎曼流形.本文的目的是表明，如果$P_{0}\in M$是一个非退化的临界点的数量曲率，然后一个邻域的$P_{0}$是由面积限制的Willmore球。这种叶理在Willmore能量小于$32π$的面积受限Willmore球面的叶理中是唯一的，而且在适当的重新缩放光滑收敛到欧几里德三维空间中的圆形球面的意义上，它是正则的。我们还建立了一般的多重面理和第一个多重性的结果，面积限制Willmore领域规定（小）面积在一个封闭的黎曼流形。这个主题与霍金质量有着严格的联系。
2018-06-01 math-ph math.AP math.DG
Dirac Eigenvalues of higher Multiplicity
设M是一个具有固定拓扑自旋结构的至少为3维的闭自旋流形。对于任何黎曼度量，我们可以构造相应的狄拉克算子。这个狄拉克算子的谱当然取决于度规。在2005年，达尔提出M可以被给定一个度量，使得谱的有限部分由任意规定的任意（有限）重数的本征值组成。唯一的限制是零特征值的例外（由于Atiyah-Singer指数定理），在某些维度上，特征空间的四元数结构和谱的对称性。达尔还证明了他的猜想的情况下，所有的特征值有简单的多重性。这个问题，如果一个人可以规定任意的多重性，或者如果存在的本征值的更高的多重性可能会以某种方式拓扑阻碍，一直开放至今。在这篇论文中，我们证明了在任意m维同余0，6，7 mod 8的闭自旋流形上，存在至少一个特征值具有较高重数的度量。为了证明，我们引入了一种技术，它“捕捉”所需的度量与所有黎曼度量的空间中的一个循环。我们将在球面上构造这样一个环，并通过推广Bär和Dahl的一些经典的外科手术理论结果，将它转移到一般流形上。作为准备，我们将表明，狄拉克频谱可以描述的一个连续的家庭的空间上的黎曼度量的功能和旋量场丛的各种度量组装成一个连续丛的希尔伯特空间。这些结果本身可能是有用的。
2015-01-16 math.DG
Embeddedness of Min-Max CMC Hypersurfaces in Manifolds with Positive Ricci Curvature
证明了在维数为$3$或更高维的紧致黎曼流形上，具有正里奇曲率的Allen-Cahn min-max格式（由第一作者和N. Wickramasekera在2020年），与处方功能采取非零常数$λ$，产生一个嵌入的超曲面常数中曲率$λ$（$λ$ -CMC）。更确切地说，我们证明了从所述最小-最大产生的界面不包含偶重最小超曲面，也不包含拟嵌入点（这两种情况在第一作者和N. Wickramasekera）。直接的几何推论是存在（在上述的环境流形中）嵌入的，封闭的$λ$ -CMC超曲面（具有莫尔斯指数$1$），对于任何指定的非零常数$λ$，当环境维数为$8$或更高时，具有期望的奇异集。
2022-12-19 math.AP math.DG
Embedded area-constrained Willmore tori of small area in Riemannian three-manifolds II: Morse Theory
这是第二个一系列的两篇论文中，我们构建嵌入Willmore环面小面积约束黎曼三流形。在这两篇论文的建设依赖于一个Lyapunov-Schmidt减少，困难是莫比乌斯退化的环面。在第一篇论文的建设是通过最小化，这里由莫尔斯理论;为了这个目的，我们建立新的几何扩展的衍生物的Willmore功能指数小克利福德环面退化，根据行动的莫比乌斯组，小测地球的一个小手柄。利用这些尖锐的渐近性，利用周围曲率张量和Morse不等式，给出了Willmore泛函在给定（足够小）面积的约束下存在/多重平稳嵌入环面的充分条件.
2016-09-14 math.AP math.AT math.DG
Convexity at infinity in Cartan-Hadamard manifolds and applications to the asymptotic Dirichlet and Plateau problems
本文研究了满足严格凸性的Cartan-Hadamard流形上的渐近Dirichlet和Plateau问题。SC）条件。本文的主要部分是研究一个流形上的SC条件，该流形的截面曲率由一定的函数从上到下根据到一个不动点的距离有界。特别是，我们能够验证的SC条件流形的曲率下界可以去到无穷大和上界同时为0，在一定的速度，或在某些流形的截面曲率去到无穷快于任何规定的速率。这些改进了Anderson、Borbély、Ripoll和Telichevsky的先前结果。然后，在满足SC条件的Cartan-Hadamard流形中，以\partial_{\infty} M的任意k-1维拓扑嵌入子流形，2 \leq k \leq n-1为边界数据，求解了局部可整流电流的Z2重数的渐近平台问题.我们还解决了渐近高原问题的局部整流电流Z-多重性的任何旋转对称流形满足SC条件给定的光滑嵌入的子流形作为边界数据。这些结果推广了Anderson，Bangert和Lang的结果，并且得到了一类偏微分方程渐近狄利克雷问题的新结果.特别是，我们能够证明这个问题的可解性流形上的超指数衰减（无穷大）的曲率。
2019-11-19 math.DG
Braids of Three Strands and Geodesics Shooting in $SL_2(\mathbb{R})$
Montana State University（蒙大拿州立大学）
本文针对三股辫，利用$SL_2(\boldsymbol{\text{R}})$相关几何，提出构造最优几何辫的方法，得到长度最短测地线的刻画与目标方程，扩展了测地线射影的相关公式。
2026-08-25 math.AT math.DG math.DS
