中等大k值平面上k-圈覆盖问题的PTAS

An Efficient Semi-Streaming PTAS for Tournament Feedback ArcSet with Few Passes

We present the first semi-streaming PTAS for the minimum feedback arc set problem on directed tournaments in a small number of passes. Namely, we obtain a $(1 + \varepsilon)$-approximation in polynomial time $O \left( \text{poly}(n) 2^{\text{poly}(1/\varepsilon)} \right)$, with $p$ passes in $n^{1+1/p} \cdot \text{poly}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$ space. The only previous algorithm with this pass/space trade-off gave a $3$-approximation (SODA, 2020), and other polynomial-time algorithms which achieved a $(1+\varepsilon)$-approximation did so with quadratic memory or with a linear n…

A PTAS for Bounded-Capacity Vehicle Routing in Planar Graphs

The Capacitated Vehicle Routing problem is to find a minimum-cost set of tours that collectively cover clients in a graph, such that each tour starts and ends at a specified depot and is subject to a capacity bound on the number of clients it can serve. In this paper, we present a polynomial-time approximation scheme (PTAS) for instances in which the input graph is planar and the capacity is bounded. Previously, only a quasipolynomial-time approximation scheme was known for these instances. To obtain this result, we show how to embed planar graphs into bounded-treewidth graphs while preserving…

具有超平面邻域的欧氏TSP的PTAS

A PTAS for Euclidean TSP with Hyperplane Neighborhoods

在带邻域的旅行商问题（TSPN）中，我们给出了某个空间中的几何区域的集合。我们的目标是输出一个最短长度的旅游，访问每个地区至少一个点。即使在欧几里得平面上，TSPN也被认为是APX困难的，这使得研究该问题更容易处理的特殊情况。在本文中，我们专注于基本特殊情况下的区域是超平面的$d$维欧氏空间。这种情况与所谓的脂肪区域的情况形成了对比。虽然对于$d=2$的精确算法与运行时间$O(n^5)$是已知的，解决精确的逼近问题的$d=3$已被反复提出作为一个开放的问题。迄今为止，只有一个近似算法，保证指数在$d$是已知的，NP-硬度仍然开放。对于任意固定的$d$，我们开发了一个多项式时间近似计划（PTAS），工程的旅游和路径版本的问题。我们的算法是基于近似的凸包的最佳巡回赛的凸多面体的有界复杂性。这样的多面体表示为一个复杂的LP制定，我们结合枚举的巡回赛的关键属性的解决方案。由于近似保证接近$1$，我们的计划相应地调整所考虑的多面体的复杂性。在我们的近似方案的分析，我们表明，我们的搜索空间包括一个足够好的近似的最佳。要做到这一点，我们开发了一种新的和一般的稀疏化技术，将任意凸多面体转化为一个具有恒定数量的顶点，反过来，在上述意义上的有界复杂性之一。因此，我们保持了多面体的重要性质。

（稀疏）竞赛图中的三角填充：近似和核化

Triangle packing in (sparse) tournaments: approximation and kernelization

给定竞赛图T和一个正整数k，C_3-Pakcing-T问题是问T中是否存在至少k个顶点不交的有向3-圈。这是经典的最小反馈点集问题的竞赛图中的对偶问题。令人惊讶的是，C_3-Pakcing-T在文献中没有得到很多关注。我们表明，它不承认一个PTAS，除非P = NP，即使我们限制所考虑的实例稀疏比赛，即比赛与反馈弧集（FAS）是一个匹配。针对稀疏竞赛图，我们提出了一个（1 + 6/（c-1））近似算法，用于稀疏竞赛图的线性表示，其中所有后向弧的"长度"至少为c。关于核化，我们证明了C_3-Pakcing-T允许一个O（m）顶点的核，其中m是给定反馈弧集的大小。特别地，我们得到了C_3-Pakcing-T在稀疏情况下的O（k）顶点核.在负的大小上，我们证明了C_3-Pakcing-T不允许（总比特）大小为O（k ^{2-ε}）的核，除非NP是coNP/Poly的子集. C_3-Pakcing-T的O（k）个顶点核的存在性仍然是一个悬而未决的问题。

Gap-ETH-Tight Approximation Schemes for Red-Green-Blue Separation and Bicolored Noncrossing Euclidean Travelling Salesman Tours

In this paper, we study problems of connecting classes of points via noncrossing structures. Given a set of colored terminal points, we want to find a graph for each color that connects all terminals of its color with the restriction that no two graphs cross each other. We consider these problems both on the Euclidean plane and in planar graphs. On the algorithmic side, we give a Gap-ETH-tight EPTAS for the two-colored traveling salesman problem as well as for the red-blue-green separation problem (in which we want to separate terminals of three colors with two noncrossing polygons of minimum …

倍增管中的最大散射TSP

Maximum Scatter TSP in Doubling Metrics

我们研究的问题，找到一个巡回的$n$点，其中每一个边缘是长的。更确切地说，我们希望找到一个对每个点都只访问一次的巡回，最大化巡回中最短边的长度。该问题被称为最大散射TSP，由Arkin等人（SODA 1997）引入，其动机是在制造和医学成像中的应用。Arkin等人给出了问题的度量版本的$0.5$近似，并表明这是在多项式时间内可实现的最佳可能比率（假设$P \neq NP$）。Arkin等人提出了一个问题，即在欧几里得平面中是否可以获得更好的近似比。我们回答这个问题是肯定的，在一个更一般的设置，通过给出一个$(1-ε)$ -近似算法$d$ -维加倍度量，与运行时间$\tilde{O}\big(n^3 + 2^{O(K \log K)}\big)$，其中$K \leq \left( \frac{13}ε \right)^d$。作为推论，我们得到（i）一个有效的多项式时间近似计划（EPTAS）的所有常数尺寸$d$，（ii）的多项式时间近似计划（PTAS）的尺寸$d = \log\log{n}/c$，足够大的常数$c$，和（iii）的PTAS常数$d$和$ε= Ω(1/\log\log{n})$。此外，我们证明了在我们的近似方案中对$d$的依赖性本质上是最优的，除非可满足性可以在次指数时间内解决。