On lambda strongly homogeneity existence for cofinality logics
Saharon Shelah
设C子集Reg是（正则基数的）非空类。则逻辑L（Q^{cf}_C）具有额外的好的性质：它具有齐次模型存在性。
Let C subset Reg be a non-empty class (of regular cardinal). Then the logic L(Q^{cf}_C) has additional nice properties: it has homogeneous model existence property.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cofinality of normal ideals on P_κ(λ), I
给定序数δ <= lambda和基数θ <= kappa，P_kappa（lambda）上的理想J称为[delta]^{<θ}-正规的，如果给定B_e in J，其中e in P_theta（delta），P_kappa（lambda）中所有a的集合，使得对于P_{|a cap theta|}中的某些e，a在B_e中我们给出了这种理想存在的充要条件，我们描述了至少一个，我们计算它的共尾性。
Antichains in partially ordered sets of singular cofinality
在他们1981年的论文中，米尔纳和绍尔证明了对于任何偏序集P，如果cf（P）=lambda>cf（lambda）=kappa，则P必须包含大小为kappa的反链。我们证明了对于lambda>cf（lambda）=kappa，如果存在基数mu<lambda使得cov（lambda，mu，kappa，2）=lambda，则任何共尾性lambda的偏序集都包含大小为kappa的lambda^kappa反链.我们的定理的假设是非常弱的，是许多著名的公理，如GCH，SSH和PFA的结果。否定这一假设的一致性是未知的。
Saturated filters at successors of singulars, weak reflection and yet another weak club principle
设λ是一个奇异基数μ的后继，μ的共尾性是一个不可数的基数kappa。给出了集中在共尾点kappa上的lambda俱乐部滤子不饱和的充分条件。这个条件是用一个我们称之为弱反射的概念来表述的。讨论了弱反射的各种性质
On CON(Dominating_lambda > cov_λ(meagre))
我们证明的一致性：对于合适的强不可达基数λ，控制数，即λ ^λ的共尾性严格大于cov（meagre_lambda），即覆盖它所需的2 ^λ的无处稠密子集的最小数目。这回答了Matet的一个问题。
On CON(${\mathfrak d}_λ>$ cov$_λ$(meagre))
我们证明了：对于合适的强不可达基数λ，^{lambda}lambda的共尾性严格大于cov_lambda（meagre），即覆盖它所需的^{lambda}2的无处稠密子集的最小数量。这回答了Matet的问题。
A.E.C. with not too many models
考虑一个a.e.c.（抽象初等类），即具有满足初等类的最基本性质的偏序精化包含（子模型）的模型类K。我们的测试问题试图表明函数dot I（lambda，K），计算K中基数lambda直到同构的模型的数量，是“好的”，而不是混乱的，即使没有假设它有时是1，即在某些lambda's中是分类的。本文证明了对于某些闭无界基数类C，我们有（a），（b）或（c），其中（a）对于C中的每一个具有共尾性aleph_0的lambda，点I（lambda，K）大于或等于lambda，（b）对于C中的每一个共尾性为aleph_0且M属于K_lambda的lambda，对于每一个大于或等于λ的基数kappa，存在基数kappa扩展M的N_kappa（在我们的a.e.c.的意义上），(c)mathfrak k有界;也就是说，对于每个足够大λ（等效地λ大于或等于beth_{delta_*}，其中delta_* =（2^{LST（mathfrak k）}）^+），点I（λ，K）= 0。回想一下，非初等类与初等类的一个重要区别是在K中有模型的可能性，即使基数很大，也是最大的，或者只是失败了子句（b）。
A note on kappa-freeness
本文证明了：若λ>aleph_1是正则的，且λ不是具有共尾性aleph_0的奇异基数的后继，且G是一个大小为λ的λ-自由阿尔贝群，则存在一个大小为λ的自由群G' subseteq G.
On the strong equality between supercompactness and strong compactness
我们证明了超紧性和强紧性甚至可以等价为正则基数对的性质。具体地说，我们表明，如果V模型ZFC + GCH是一个给定的模型，（在有趣的情况下，它包含超紧性的实例），则存在一些基数和共尾性保持的泛型扩张V[G]模型ZFC + GCH，其中，（a）（保留）对于kappa <= lambda正则，如果V模型“kappa是lambda超紧的”，则V[G]模型“kappa是lambda超紧的”，因此，（b）（等价）对于kappa <= lambda正则，V[G]模型"kappa是lambda强紧的“当且仅当V[G]模型" kappa是lambda超紧的”，除非可能kappa是lambda超紧的基数的可测极限.
Lindelof spaces of singular density
一个基数lambda被称为Ω-不可达的，如果对于所有的mu < lambda，我们有mu^omega<lambda。我们发现，对于每一个欧米茄-不可达基数lambda有一个CCC（因此基数和共尾性保持）强迫，增加了一个遗传Lindelof正则空间的密度lambda。这扩展了我们之前的一个类似结果，该结果只适用于正则lambda。
On the cardinality and weight spectra of compact spaces, II
设B（kappa，lambda）是P（kappa）由[kappa]^{<= lambda}生成的子代数。证明了：若B是B（kappa，lambda）的任意同态像，则|B| <2 ^lambda或|B| = |B| ^lambda，且若X是B的Stone空间，则|X| <= 2^{2 ^lambda}或|X| = |B| = |B| ^lambda.这意味着存在0维紧T_2空间，其基数和权谱省略了大量“小”共尾性的奇异基数。
On inverse gamma-systems and the number of L_{infty,lambda}-equivalent, non-isomorphic models for lambda singular
设lambda是一个共尾性kappa不可数的奇异基数。对于基数为λ的模型M，令No（M）表示基数为λ的模型N的同构类型的数量，这些类型是L_{infty lambda} -等价于M。在[Sh：189]中，考虑了阿贝尔群的逆卡帕系A及其某种商极限Gr（A）/Fact（A）.证明了对任意基数μ，存在逆kappa-系A，使得A由基数至多为μ ^kappa的阿贝尔群组成，且卡（Gr（A）/Fact（A））= μ.在[Sh：228]中证明了逆卡帕系统与No的可能值之间的严格联系。在本文中，我们显示：对于每个非零的mu <= λ ^kappa，存在具有基数<λ的阿贝尔群的逆kappa系统A，使得card（Gr（A）/Fact（A））= mu（假设对于所有θ λ，2 ^kappa <λ和θ ^{< kappa}<λ），具有关于No的可能值的明显的新结果。具体地< lambda when mu >，当对于每一个θ <λ，θ ^kappa <λ时，情况No（M）= λ是可能的。
Special subsets of {}^{cf(mu)} mu, Boolean algebras and Maharam measure algebras
本文的主旨是证明"存在< eta_alpha：alpha< lambda >是理想序列< I_i：i的（lambda，J）-序列<delta >“。这可以被认为是对Luzin集和Sierpinski集的推广，但是对于乘积prod_{i< delta} Dom（I_i），存在性证明与pcf有关。第二个主题是什么时候布尔代数B有自由口径lambda（即如果X子集B和|X| = lambda，那么对于某个Y子集X和|Y| = lambda，Y是独立的）。我们认为它是一个Maharam测度代数，或B的（小）产品的自由布尔代数，和kappa-cc布尔代数。一个中心情况是lambda =（beth_omega）^+，或者更一般地，lambda = mu^+，对于"小“共尾性的mu强极限奇异。第二个是mu = mu^{< kappa}< lambda < 2^mu ;主要情况是lambda正则的，但我们也有关于奇异情况的东西要说。最后，我们讨论了布尔代数关于irr（-）和s（-）等的超积。
Nice infinitary logics
普通无穷语言L_{lambda, kappa}仅在lambda <= {aleph_1}，kappa = {aleph_0}的情况下才满足内插定理，这当然包括一阶逻辑。也有一些这样的逻辑对满足插值，例如（L_{lambda^+，{aleph_0}}，L_{(2^lambda)^+, lambda^+}）。这是否来自一个满足它的中间逻辑？是不是很漂亮？独一无二？对于kappa = beth_kappa，我们定义了一个新的逻辑L^1_kappa，使得L_{kappa omega} < L^1_kappa LL_{kappa kappa}，并且L^1_kappa非常好，特别是满足内插定理。此外，L^1_kappa还具有Lindstrom定理形式的模型论特征，即良序的不可定义性。对于共尾性aleph_0的强极限kappa，我们定义了一个逻辑L^2_{kappa^+}，使得L^2_{kappa^+，{aleph_0}}<L^2_{kappa^+}< L_{kappa^+, kappa}且L^2_{kappa^+}满足内插定理.
PCF and infinite free subsets
我们给出另一个证明，对于每个lambda >= beth_omega，对于每个足够大的正则kappa < beth_omega，我们有lambda^{[kappa]}= lambda，处理用aleph_omega替换beth_omega的充分条件。在第二节中，我们证明了大pcf（a）蕴涵自由集的存在性。一个例子是，如果pp（aleph_omega）> aleph_{omega_1}，则对于具有可数个函数的基数aleph_omega的每个代数M，对于M中的某个a_n（对于n< omega），我们有a_n notin cl_M（{a_l：l not= n，l<omega}）。然后我们给出了与第2节的结果互补的结果（但还不够接近）：如果IND（mu，sigma）（在所有具有论域lambda和<= σ函数的代数中，存在无限独立子集），则对于Reg反斜杠mu^+中没有不同的正则lambda_i（对于i< kappa），prod_{i< kappa} lambda_i/[kappa]^{<= sigma}具有真共尾性。我们研究IND（< J^{bd}_{kappa_n}：n<omega >）和更一般的版本，并从第2节中的假设得到即使是非平稳理想的结果。最后，我们讨论了[lambda]^{>= theta}的其他一些度量，并通过构造一个布尔代数给出了一个应用。
Cardinalities of topologies with small base
设T是拓扑空间的开子集族（不一定是Hausdorff或T_0）。证明了：若T有基数<= mu，lambda <= mu <2 ^lambda，共尾性的lambda强极限aleph_0，则T有基数<= mu或>= 2 ^lambda.这是我们的主要结论。首先，我们证明它在一些集合论的假设下，这是明确的，当lambda = mu ;然后，我们消除了假设的一个定理pcf从[SH 460]最初的动机。接下来，我们证明最简单的例子是基本的例子;它们出现在每个例子中（对于lambda = aleph_0，这满足了[Sh 454]的承诺）。在[Sh 454]中证明了λ = aleph_0情形的主要结果。
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