非保守力学系统的可积性与变分形式

Hamilton-Jacobi方程作为模型降维，扩展至牛顿粒子力学，以及一个波动力学的趣闻

Hamilton-Jacobi as model reduction, extension to Newtonian particle mechanics, and a wave mechanical curiosity

本文将Hamilton-Jacobi方程视为保守粒子力学的模型降维，扩展至包含非保守力的牛顿粒子系统，并通过几何光学近似得到耗散的Schrödinger方程。

一类耗散力学系统的无穷维Hamilton描述

Infinite-dimensional Hamiltonian description of a class of dissipative mechanical systems

本文提出了用相应的无穷维哈密顿系统来表示一类耗散力学系统的方法。该方法基于以下结构：对任意非保守经典力学系统和任意初始条件，存在一个保守系统，两个系统共享且仅共享一条公共相曲线;并且，保守系统的哈密顿量的值直到一个加性常数为止等于上述相位曲线上的非保守系统的总能量，常数取决于初始条件。我们详细描述了这种关系，称保守系统为“替代”保守系统。通过将耗散力学系统看作相空间的一个区域$D$中的一种特殊流体，即该区域中的粒子集合，我们将该系统发展为一个理想流体的无限维Hamilton系统。通过比较理想流体在拉格朗日坐标系中的描述，我们可以把哈密顿量和拉格朗日量分别看作是替代保守系统的哈密顿量和拉格朗日量在初值空间上的积分，并定义一个新的泊松括号来表示哈密顿形式的运动方程。这种方法的优点是正则动量密度$π$与力学动量$m\dot{q}$的值相同，正则坐标$q$与耗散力学系统的坐标值相同.因此，我们不需要将牛顿运动方程解耦成几个一维常微分方程。

Jacobi-Haantjes流形，可积性与耗散机械系统

Jacobi-Haantjes manifolds, integrability and dissipative mechanical systems

本文提出Jacobi-Haantjes流形作为统一定义保守与耗散哈密顿系统可积性的几何框架，并通过扩展Haantjes代数定义新类可积接触哈密顿系统，同时提出耗散系统的分离变量理论。

三自由度受约束机械系统的笛卡尔方法

Cartesian approach for constrained mechanical system with three degree of freedom

在力学史上，研究力学系统的观点主要有两种：牛顿学派和笛卡尔学派。根据笛卡尔的观点，机械系统的运动可以用$N$维位形空间$\textsc{Q}.$中的一阶微分方程来描述。本文发展了三自由度机械系统的笛卡尔方法。所得结果可用于讨论三维欧氏空间中曲面上的测地流的可积性，以及分析Suslov和Veselov情形下重刚体的可积性.

Hamilton-Jacobi theory and integrability for autonomous and non-autonomous contact systems

In this paper, we study the integrability of contact Hamiltonian systems, both time-dependent and independent. In order to do so, we construct a Hamilton--Jacobi theory for these systems following two approaches, obtaining two different Hamilton--Jacobi equations. Compared to conservative Hamiltonian systems, contact Hamiltonian systems depend of one additional parameter. The fact of obtaining two equations reflects whether we are looking for solutions depending on this additional parameter or not. In order to illustrate the theory developed in this paper, we study three examples: the free par…

可积性在一大类物理系统中的作用

The role of integrability in a large class of physical systems

一大类物理系统涉及流形上1-形式的消失，作为对可接受状态的约束。这意味着在这些情况下，人们总是在处理Pfaff问题。特别是，知道1-形式的可积性程度通常是必不可少的，或者，相当于同样的事情，它的规范（即，正常）形式。本文由两部分组成：第一部分主要从数学的角度介绍和讨论Pfaff问题;第二部分将所介绍的数学一般性应用于已经隐式地引入了1-形式的标准形的各种物理模型，如非保守力、线性非完整约束、涡旋理论和平衡态热力学。可积性在能量守恒中的作用是一个反复出现的主题。

从Hamilton观点看耗散力学系统的时间中心差分格式

An Examination of the Time-Centered Difference Scheme for Dissipative Mechanical Systems from a Hamiltonian Perspective

本文提出了一种从Hamilton的角度观察耗散力学系统的时间中心差分格式的方法，并将辛算法的思想引入耗散系统。本文讨论的耗散力学系统是有限维的，这种方法是基于这样一个命题：对于任何非保守的经典力学系统和任何初始条件，都存在一个保守的系统，两个系统共享一条且只有一条公共的相曲线;保守系统的哈密顿量是在上述相位曲线上的非保守系统的总能量和一个依赖于在初始条件下。因此，这种方法需要用无穷多个保守系统来代替对应于不同初始条件的耗散力学系统。因此，首先利用时间中心差分格式直接求解原系统，然后用数值解代替解析解，在相曲线上构造一个等于耗散力的保守力，从而在数值上得到一个替代的保守系统。最后，我们使用时间中心格式对替代系统进行数值积分。我们将发现一个有趣的事实，即由代入系统得到的后一种解与前一种解是等价的。实际上，在时间网格点内有两个转移矩阵：第一个是非辛的，第二个是辛的。事实上，耗散系统的时间中心格式可以被认为是一种保持替代保守系统辛结构的算法。另外，通过数值例子我们发现时间中心格式保持了耗散系统的总能量。

含时哈密顿力学中的Noether对称性和可积性

Noether symmetries and integrability in time-dependent Hamiltonian mechanics

我们认为在哈密顿系统中的Noether对称性是保持Poincaré-Cartan形式的变换，即，作为非退化1-形式的特征线丛的对称性。在Poincaré-Cartan形式为切触的情况下，给出了Noether逆定理中对称性的显式表示.作为例子，我们考虑自然力学系统，特别是开普勒问题。最后，我们证明了一个变种的定理完全（非交换）可积性的Noether对称性的含时哈密顿系统。

中性粒子Schroedinger-Pauli方程的可积性和超对称性

Integrability and supersymmetry of Schroedinger-Pauli equations for neutral particles

对具有自旋$\frac12$和非平凡偶极动量的中性粒子的可积量子力学系统进行了分类。证明了这类系统产生了新的具有明确物理内容的精确可解的量子力学问题。其中三个问题的解都以显式形式给出。讨论了相关的对称代数和超代数。所提出的分类仅限于二维系统，承认矩阵积分的运动线性动量。

通过接触哈密顿动力学对称性、约简和变分积分器统一表述混合保守耗散力学的几何方法

Geometric Formulation of Combined Conservative Dissipative Mechanics via Contact Hamiltonian Dynamics Symmetries, Reduction, and Variational Integrators

本文提出了一种基于接触哈密顿动力学的几何框架，用于统一描述混合保守耗散力学系统，并设计了结构保持的变分积分器以实现数值稳定性。

k-辛场论中的对称约化、可积性与重构

Symmetry reduction, integrability and reconstruction in k-symplectic field theory

研究了拉格朗日量在对称群下不变的k-辛场论的约化过程。我们给出明确的坐标表达式所产生的减少偏微分方程，所谓的拉格朗日-庞加莱场方程。我们讨论了由约化方程的给定解重构解的两个问题。第一个是可积性条件的解释，在一些连接的曲率。第二个包括引入k连接的概念以提供重建方法。我们表明，一个不变的拉格朗日，在适当的正则性条件下，定义了一个“机械”的k-连接。

运动群与力学I：点力学

Groups of motions and mechanics I: point mechanics

它示出，物理力学的点状机构可以有效地模拟在行动的转换组，作为对称的微分方程系统的解决方案，描述的可积性的动态状态。然后从这些动力学状态的可积性方程得到运动方程。还观察到，定义动态状态的组件的函数表示一组机械本构律。力学的变分公式是这些原理的一种特殊化。

具有某些非保守力的拉格朗日系统的反问题

The inverse problem for Lagrangian systems with certain non-conservative forces

我们讨论了两个概括的变分法的反问题，其中一个给定的力学系统可以带入广义瑞利耗散型的非保守力的拉格朗日方程的形式，另一个导致拉格朗日方程与所谓的陀螺力。我们的方法主要集中在获得一个合适的非奇异乘子矩阵的存在，这将导致一个等效的表示一个给定的二阶方程系统作为这些拉格朗日系统与非保守力的坐标自由条件。

非完整Hamilton-Jacobi方程及其可积性

Nonholonomic Hamilton-Jacobi equation and Integrability

我们讨论了扩展的哈密顿-雅可比理论的非完整力学，特别感兴趣的是它的应用，以准确地整合运动方程。我们给出了一个内在的证明的非完整模拟的汉密尔顿-雅可比定理。我们的内在证明澄清了与传统的Hamilton Jacobi理论的无约束系统的差异。证明也有助于我们确定的条件的几何意义的解决方案的Hamilton-Jacobi方程所产生的非完整约束。我们的结果的主要优点是它为我们提供了一种积分运动方程的方法，就像无约束的Hamilton-Jacobi理论一样。特别是，我们建立在伊格莱西亚斯庞特，莱昂和马丁迭戈的工作，使传统的分离变量的方法适用于一些非完整力学系统。我们还展示了一种方法，将我们的结果应用到变量分离不适用的系统中。

具有仿射约束的非完整系统的“运动”能量守恒和旋转面上球面的可积性

Conservation of `moving' energy in nonholonomic systems with affine constraints and integrability of spheres on rotating surfaces

对于具有仿射约束的力学非完整系统，能量一般不守恒。在这篇文章中，我们指出，然而，在某些情况下，有一个修改的能量是保守的。这样的函数与系统相对于不同参考系的能量一致，其中约束是线性的。在给出这种情况发生的充分条件后，我们指出了对称性在这种机制中的作用。最后，我们应用这些想法来证明，一个沉重的均匀的固体球，滚动内的凸旋转曲面在其垂直的图形轴均匀旋转，是（至少对于某些参数值和在开放区域的相空间）的准周期环面的维度高达3。

可积运动的几何解释

A geometric interpretation of integrable motions

本文以黎曼几何把牛顿运动解释为力学流形测地线，将可积性联系于非 Noether 型 Killing 张量场，并在 N=2 Toda 与修正 Henon-Heiles 模型中显式构造该张量、恢复第二守恒量。

The geometry of Rayleigh dissipation

Geometric mechanics is a branch of mathematical physics that studies classical mechanics of particles and fields from the point of view of geometry. In a geometric language, symmetries can be expressed in a natural manner as vector fields that generate the corresponding symmetry group. Moreover, with the geometric machinery, the phase space of a mechanical system with symmetries can be reduced to a space with less dimensions. As it is well-known, non-conservative forces cannot be written as the gradient of a potential, so they cannot be absorbed in the Lagrangian or Hamiltonian. The descriptio…

On the Hamiltonian formulation, integrability and algebraic structures of the Rajeev-Ranken model

The integrable 1+1-dimensional SU(2) principal chiral model (PCM) serves as a toy-model for 3+1-dimensional Yang-Mills theory as it is asymptotically free and displays a mass gap. Interestingly, the PCM is 'pseudodual' to a scalar field theory introduced by Zakharov and Mikhailov and Nappi that is strongly coupled in the ultraviolet and could serve as a toy-model for non-perturbative properties of theories with a Landau pole. Unlike the 'Euclidean' current algebra of the PCM, its pseudodual is based on a nilpotent current algebra. Recently, Rajeev and Ranken obtained a mechanical reduction by …

Integrable and superintegrable 3d Newtonian potentials using quadratic first integrals: A review

The determination of the first integrals (FIs) of a dynamical system and the subsequent assessment of their integrability or superintegrability in a systematic way is still an open subject. One method which has been developed along these lines for second order autonomous dynamical systems is the so-called direct method. According to this method, one assumes a general functional form for the FI I and requires the condition dI/dt=0 along the dynamical equations. This results to a system of partial differential equations (PDEs) to which one adds the necessary integrability conditions of the invol…

Integrability and dynamics of the Rajeev-Ranken model

This thesis concerns the dynamics and integrability of the Rajeev-Ranken (RR) model, a mechanical system with 3 degrees of freedom describing screw-type nonlinear wave solutions of a scalar field theory dual to the 1+1D SU(2) Principal Chiral Model. This field theory is strongly coupled in the UV and could serve as a toy model to study nonperturbative features of theories with a perturbative Landau pole. We begin with a Lagrangian and a pair of Hamiltonian formulations based on compatible degenerate nilpotent and Euclidean Poisson brackets. Darboux coordinates, Lax pairs and classical r-matric…

热力学第零定律与具有平衡随机阻尼的保体积守恒动力学

The Zeroth Law of Thermodynamics and Volume-Preserving Conservative Dynamics with Equilibrium Stochastic Damping

我们提出了热力学第零定律的数学公式，并开发了一个随机动力学理论，具有一致的不可逆热力学，系统具有持续的保守的稳态电流在相空间中，而在平衡与热浴。该理论推广了欠阻尼力学平衡：$dx=gdt+\{-D\nablaϕdt+\sqrt{2D}dB(t)\}$，其中$\nabla\cdot g=0$和$\{\cdots\}$分别代表相体积保持动力学和随机阻尼。第零定律意味着平稳分布$u^{ss}(x)=e^{-ϕ(x)}$。我们发现正交性$\nablaϕ\cdot g=0$作为系统的一个标志。基于时间反演$\big(t,ϕ,g\big)\rightarrow\big(-t,ϕ,-g\big)$的随机热力学公式：熵产生$e_p^{\#}(t)=-dF(t)/dt$ ;广义“热”$h_d^{\#}(t)=-dU(t)/dt$，$U(t)=\int_{\mathbb{R}^n} ϕ(x)u(x,t)dx$是“内能“，“自由能”$F(t)=U(t)+\int_{\mathbb{R}^n} u(x,t)\ln u(x,t)dx$从不增加。熵遵循$\frac{dS}{dt}=e_p^{\#}-h_d^{\#}$。我们的公式被证明是符合P. Ao的早期理论。讨论了它与其它理论，势流分解，奇偶变量随机Hamilton系统，Klein-Kramers方程，Freidlin-Wentzell理论，GENERIC…

旋转容器中重粒子的Brouwer问题：波传播，离子阱和转子动力学

Brouwer's problem on a heavy particle in a rotating vessel: wave propagation, ion traps, and rotor dynamics

布劳威尔在1918年认为稳定的重粒子在旋转的船只。这是第一次演示的旋转鞍陷阱，这是一个机械模拟四极粒子陷阱的潘宁和保罗。我们重新审视这一开创性的工作，以揭示其有趣的连接与经典转子动力学和流体动力学，稳定性理论的哈密顿和非保守系统，以及与晶体光学和原子物理学的现代作品。特别地，我们发现无阻尼Brouwer问题的稳定域的边界具有对应于四重零特征值的燕尾奇异性。在耗散和非保守位置力的存在下，在渐近稳定域的边界上存在一对Whitney伞。伞柄形成一个集合，其中系统的所有本征值都是纯虚的，尽管存在耗散和非保守的位置力。

非相对论和相对论哈密顿力学的几何量子化

Geometric quantization of non-relativistic and relativistic Hamiltonian mechanics

我们证明了位形空间Q上的非相对论性和相对论性力学系统可以看作是在同一余切丛T^*Q的不同子丛上具有零哈密顿量的保守Dirac约束系统。这种余切丛在垂直极化下的几何量子化导致非相对论和相对论哈密顿力学的相容的协变量子化。

任意空间维度下旋力的分解与特征化

Decomposition and characterization of curl forces for all space dimensions

本文提出一种无需偏微分方程的算法框架，用于任意维度下经典力的局部分解。通过将力场表示为微分1形式，利用同调算子实现几何分解为精确和反精确分量，反精确部分推广为高维空间的旋力，结合弗罗贝尼乌斯定理表征非保守动力学，为分析复杂系统提供新工具。

质量依赖于位置的力学系统的动力学方程、不变量和谱生成代数

Dynamical Equations, Invariants and Spectrum Generating Algebras of Mechanical Systems with Position-Dependent Mass

我们分析了具有位置依赖质量的经典系统所服从的动力学方程。结果表明，存在一个非保守力的速度平方与变质量。我们构造了这个系统的拉格朗日和哈密顿量，并找到了欧拉-拉格朗日和哈密顿方程所需的修改，以重现适当的牛顿动力学定律。由于哈密顿量不是时不变的，我们得到一个适合于以哈密顿方程的形式写出动力学方程的运动常数。含时的第一次运动积分，然后从这样一个常数的因式分解。一个典型的变换被发现映射到一个恒定的质量的变质量方程。作为特殊情况，我们恢复了一些最近的结果，其中的依赖关系的位置已经被忽视，并找到新的可解的潜力的Pöschl-Teller形式，这似乎是新的。根据哈密顿量的符号，后者与su（1，1）或su（2）李代数相关联。

Hartree相互作用扩散模型的量子动力学半群

Quantum dynamical semigroups for diffusion models with Hartree interaction

我们考虑一类Lindblad形式的演化方程，它模拟了具有平均场相互作用的耗散量子力学系统的动力学。特别是，这类包括所谓的量子福克-普朗克-泊松模型。证明了时间上的整体质量保持解的存在唯一性，从而建立了非线性保守量子动力学半群的存在性。数学上的困难源于结合无界Lindblad生成器与Hartree非线性。