A posteriori error estimates for the exponential midpoint method for linear and semilinear parabolic equations
本文针对线性和半线性抛物型方程，通过引入连续分段二次时间重构，建立了指数中点法的最优阶后验误差估计，并用数值算例验证了理论结果。
2024-06-12 cs.NA math.NA
On parareal algorithms for semilinear parabolic Stochastic PDEs
Univ Lyon, CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, UMR5208, Institut Camille Jordan（里昂大学）；Department of Mathematics, Purdue University（普渡大学）
本文研究了半线性抛物型随机偏微分方程的并行算法，分析了粗格子求解器的选择、噪声正则性以及并行迭代次数对算法性能的影响，并通过理论分析和数值实验进行了探讨。
2019-02-14 cs.NA math.NA
Exponential integrator Fourier Galerkin methods for semilinear parabolic equations
针对矩形域半线性抛物方程的空间精度问题，提出EIFG方法，结合傅里叶伽辽金空间离散与显式指数龙格-库塔时间积分，推导两阶段方法的H²范数误差估计，算例验证其性能与理论一致。
2024-11-28 cs.NA math.NA
On Wavelet-Galerkin methods for Semilinear Parabolic Equations with Additive Noise
University of Otago（奥塔哥大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；Ulm University（乌尔姆大学）
针对带加性噪声的半线性随机热方程，提出将Euler时间离散后的方程分解为线性随机方程和非线性随机演化方程，分别采用非自适应和自适应小波Galerkin方法进行空间离散，并给出整体误差的均方估计。
2013-03-28 cs.NA math.NA
Edge multiscale finite element methods for semilinear parabolic problems with heterogeneous coefficients
本文提出了一种边多尺度有限元方法，用于高效求解具有异质系数的半线性抛物型问题，通过构建稳态多尺度空间并结合显式指数欧拉方案，实现对异质性的鲁棒性与高精度的平衡。
2025-12-15 cs.NA math.NA
Convergence analysis of explicit stabilized integrators for parabolic semilinear stochastic PDEs
显式稳定积分器是隐式或半隐式方法的有效替代方案，以避免标准显式积分器应用于刚性扩散问题所面临的严格时间步长限制。本文给出了一类抛物型半线性确定性和随机偏微分方程的一族显式稳定化方法与有限元法耦合的全离散强收敛性分析。数值实验包括半线性随机热方程时空白噪声证实了理论研究结果。
2022-12-13 cs.NA math.NA math.PR
Efficient Exponential Integrator Finite Element Method for Semilinear Parabolic Equations
本文提出一种求解矩形区域上一类半线性抛物型方程的高效指数积分有限元法。所提出的方法首先使用具有连续多线性矩形基函数的有限元近似来执行模型方程的空间离散化，然后采用显式指数龙格-库塔方法对所得到的半离散系统进行时间积分以产生全离散数值解。在一定的正则性假设下，成功地导出了所提出的一个和两个RK阶段的计划的误差估计在$H^1$ -范数。更值得注意的是，所提出的方法的质量和系数矩阵可以同时对角化与正交矩阵，这提供了一个快速的解决方案的基础上张量积谱分解和快速傅里叶变换的过程。在二维和三维的各种数值实验也进行了验证的理论结果，并证明了所提出的方法的优良性能。
2022-09-24 cs.NA math.NA
Overcoming the order barrier two in splitting methods when applied to semilinear parabolic problems with non-periodic boundary conditions
Université de Genève（日内瓦大学）
本文提出一种三阶分裂方法，用于求解半线性抛物型问题，避免非周期边界条件下的阶数降低现象，并通过数值实验验证其高阶收敛性。
2026-04-07 cs.NA math.NA
A note on exponential Rosenbrock-Euler method for the finite element discretization of a semilinear parabolic partial differential equation
本文考虑一般二阶半线性抛物型偏微分方程的数值逼近。这种类型的方程出现在许多情况下，如多孔介质中的输运。用有限元法进行空间离散，用指数Rosenbrock-欧拉法进行时间离散，在非线性部分仅满足标准利普希茨条件的情况下，对光滑和非光滑初值，给出了在空间和时间上的严格收敛性证明.这与文献中非常严格的假设相反，在文献中，作者在收敛性证明中只考虑了时间上的近似。对于光滑和非光滑初始解，得到了空间和时间上的最优收敛阶。
2020-11-17 cs.NA math.NA
Stability and convergence of multi-product expansion splitting methods with negative weights for semilinear parabolic equations
Capital Normal University（首都师范大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
本文研究了具有负权重的多产品展开分裂方法在求解半线性抛物方程时的稳定性与收敛性，通过严谨分析证明了其高阶方法的稳定性，并通过实验验证了其效率和鲁棒性。
2026-02-25 cs.NA math.NA
Multilevel Picard iterations for solving smooth semilinear parabolic heat equations
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种新的数值算法，用于近似求解一般高维半线性抛物型偏微分方程在单个时空点的解，通过费曼-卡茨公式与毕苏特-埃尔沃里-李公式的巧妙结合，以及多级精度的皮卡固定点迭代近似分解，实现了高效求解，并在物理和金融领域的问题中取得了令人满意的结果。
2019-02-22 cs.NA math.NA
Determining nodes for semilinear parabolic equations
Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo（东京大学大学院数学系研究科）
通过能量法证明，在半线性抛物型方程初边值问题的强解中，若在适当有限集上已知其渐近行为，则整个区域上的渐近行为被唯一确定。
2010-06-04 cs.NA math.AP math.NA
A new parallel solver suited for arbitrary semilinear parabolic partial differential equations based on generalized random trees
提出基于广义随机树的初值半线性抛物型问题概率表示及两种策略，结合Pade逼近发散级数，扩展可解问题类，开发广义概率区域分解并行方法，具完全可扩展性和容错性，数值实验验证其显著性能。
2024-02-09 cs.NA math.NA
Optimal error estimates of the diffuse domain method for semilinear parabolic equations
针对不规则区域上带 Neumann 边界条件的半线性抛物方程，本文分析扩散区域方法的收敛性，并在加权 L2 与 H1 范数下证明最优误差估计，数值实验验证了理论结果。
2025-10-20 cs.NA math.NA
On the convergence of split exponential integrators for semilinear parabolic problems
本文针对半线性抛物问题中类指数$\varphi$函数分裂可能导致阶数降低的问题，在交换半群框架下分析不同分裂近似的误差界，研究二阶指数Runge--Kutta积分法两种分裂版本的收敛性，数值结果验证了理论结论。
2025-03-20 cs.NA math.NA
Preconditioning for the high-order sampling of the invariant distribution of parabolic semilinear SPDEs
Universite de Pau et des Pays de l’Adour, E2S UPPA, CNRS, LMAP（波城大学、E2S 巴约讷-比亚里茨大学、法国国家科学研究中心、数学与及其应用实验室）；Univ Rennes, INRIA (MINGuS), IRMAR - UMR 6625, ENS Rennes（雷恩大学、法国国家信息与自动化研究所（MINGuS）、雷恩数学研究所（UMR 6625）、雷恩高等师范学院）；Univ Rennes, CNRS, IRMAR - UMR 6625, ENS Rennes（雷恩大学、法国国家科学研究中心、雷恩数学研究所（UMR 6625）、雷恩高等师范学院）；Section of Mathematics, University of Geneva（日内瓦大学数学系）
本文提出了一种预条件技术，用于高阶采样抛物型半线性随机偏微分方程的不变分布，通过设计高阶积分器提高了计算效率。
2025-12-19 cs.NA math.NA math.PR
An approximation scheme for semilinear parabolic PDEs with convex and coercive Hamiltonians
对一类梯度为凸强制的半线性抛物型方程提出了一个逼近格式。这样的方程经常出现在不完全市场的定价和投资组合管理中，更广泛地说，直接与后向随机微分方程的解的表示有关。所提出的方案是基于分裂的方程分为两部分，第一个相应的线性抛物型方程和第二个哈密尔顿-雅可比方程。这两个方程的解分别使用Feynman-Kac和Hopf-Lax公式进行近似。结合Krylov的振动系数技术和Barles-Jakobsen的最优切换近似，我们建立了该格式的收敛性并确定了其收敛速度。
2019-11-04 cs.NA math.NA math.OC
Error analysis for time-fractional semilinear parabolic equations using upper and lower solutions
考虑了一类具有分数阶Caputo时间导数$α\in(0,1)$的半线性初边值问题，其解在初始时刻具有奇异性.对于这个问题的L1-型离散，我们采用上、下解的方法，在具有任意分级度的准分级时间网格上得到了精确的逐点时间误差界。特别是，这些结果意味着，温和的（相比最佳）分级产生的最佳收敛速度$2-α$在正时间，而准均匀的时间网格产生一阶收敛在正时间。此外，在适当的非线性条件下，上下解方法直接意味着，与精确解类似，计算的解位于一定的范围内。在时间上的半离散化和全离散化，使用有限差分和有限元在空间中解决。数值实验结果说明了理论研究结果。
2022-08-11 cs.NA math.NA
High-order interpolatory Serendipity Virtual Element Method for semilinear parabolic problems
针对二维多边形网格上的半线性抛物问题，提出高阶插值型serendipity虚拟单元法，以低计算成本处理非线性项，证明半离散$L_2$最优误差估计，并通过Strang分裂验证最高6阶精度。
2022-05-06 cs.NA math.NA
On Asymptotic Global Error Estimation and Control of Finite Difference Solutions for Semilinear Parabolic Equations
University of Southern Denmark（南丹麦大学）；Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文扩展了Lang和Verwer关于初值问题的全局误差估计与控制方法，结合Richardson外推估计空间截断误差，通过渐近估计推导时空全局误差的输运方程近似，并在离散L2范数下实现容差比例和均匀或自适应网格细化的渐近控制。
2014-12-18 cs.NA math.NA
Numerical solution of a semilinear parabolic degenerate Hamilton-Jacobi-Bellman equation with singularity
University of Mannheim（曼海姆大学）
本文研究了带有奇点的半线性抛物退化HJB方程的数值解法，通过变量变换将奇异初始条件转化为非奇异条件，构造了显式和隐式数值方案并证明了收敛性。
2016-09-22 cs.NA math.NA q-fin.MF
Optimal strong convergence rates of numerical methods for semilinear parabolic SPDE driven by Gaussian noise and Poisson random measure
研究了在高斯噪声和泊松随机测度同时驱动下的半线性抛物型随机偏微分方程（SPDE）的数值逼近问题，使其更符合实际情况. SPDE在空间上用标准有限元法离散，在时间上用线性隐式欧拉法或指数积分器离散，对于刚性问题更有效和稳定。我们证明了全离散格式向温和的解决方案的强收敛。结果表明，收敛阶依赖于噪声和初始数据的正则性，并且在对非线性漂移函数的正则性假设较少的情况下，我们超越了经典的时间阶$1/2$和空间阶$1$.特别地，对于迹类乘性高斯噪声，我们得到了收敛阶$\mathcal{O}(h^2+Δt^{1/2})$;对于迹类加性高斯噪声，我们得到了收敛阶$\mathcal{O}(h^2+Δt)$ .数值实验支持的理论结果。
2020-11-18 cs.NA math.NA
Interpolatory HDG Method for Parabolic Semilinear PDEs
University of Minnesota（明尼苏达大学）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）
本文提出了一种插值型混合不连续Galerkin方法，用于解决一类标量抛物半线性PDEs。该方法通过插值过程高效准确地近似非线性项，避免了标准非线性PDEs HDG方法中每个时间步每个迭代都需要进行的数值积分，从而降低了计算成本。此外，插值型HDG插值过程为非线性项和雅可比矩阵提供了简单的显式表达式，从而为多种非线性PDEs提供了一种简单的统一实现。对于全局Lipschitz非线性，我们证明插值型HDG方法不会降低收敛阶。通过2D和3D数值实验展示了该方法的性能。
2018-11-23 cs.NA math.NA
Low regularity integrators for semilinear parabolic equations with maximum bound principles
研究了一类Allen-Cahn型半线性抛物型方程的条件保结构低正则性时间积分方法。这类方程的重要性质包括最大值界原理（MBP）和能量耗散律;对于前者，这意味着解的绝对值始终由适当的初始和边界条件所施加的某个常数点态有界。首先采用中心差分法对模型方程进行空间离散，然后利用Duhamel公式迭代构造一阶和二阶低正则性积分器（LRI），对半离散系统进行时间离散。所提出的LRI格式被证明是保持MBP和能量稳定的离散意义。此外，他们的时间误差估计也成功地推导出低的正则性要求下，半离散问题的精确解只假设是连续的时间。数值结果表明，与经典的指数时间差分格式相比，所提出的LRI格式具有更高的精度和更好的收敛速度，特别是当界面参数趋于零时.
2022-11-08 cs.NA math.NA
Strong convergence of the backward Euler approximation for the finite element discretization of semilinear parabolic SPDEs with non-global Lipschitz drift driven by additive noise
研究了加性噪声驱动的半线性抛物型随机偏微分方程（SPDE）的向后Euler方法。SPDE在空间上用有限元法离散，在时间上用后向欧拉法离散。我们考虑了一类更大的非线性漂移函数，它们是Nemytskii型的，是带负首项的任意奇数次多项式，而不是像目前文献中那样只考虑随机Allen-Chan方程的特殊情况，而且我们的线性算子是二阶的，不一定是自伴的，因此使得估计比自伴算子的情况更具挑战性.我们证明了我们的全离散格式向温和的解决方案的强收敛性和结果表明如何收敛速度依赖于初始数据和噪声的振幅。特别地，对于迹类噪声，我们实现了收敛阶$\mathcal{O} (h^{2}+Δt^{1-ε})$，其中$ε>0$是正数，足够小。我们还提供了数值实验来说明我们的理论结果。
2019-12-29 cs.NA math.NA
A time-dependent inverse source problem for a semilinear pseudo-parabolic equation with Neumann boundary condition
本文针对带Neumann边界条件的半线性伪抛物方程时变逆源问题，基于Rothe方法建立弱解存在唯一性，设计数值时间离散格式并证明收敛性，通过多项式正则化处理含噪数据，数值实验验证理论结果。
2025-11-19 cs.NA math.AP math.NA
A high-order exponential integrator for nonlinear parabolic equations with nonsmooth initial data
本文提出了一种变步长指数多步积分器，它用算子值指数函数的围道积分逼近，用于求解具有非光滑初值的半线性抛物型方程。通过这种方法，指数k-步方法将有$k$阶收敛逼近温和的解决方案，可能在初始时间不光滑。数值算例表明，该方法对于初值不连续的半线性抛物型方程具有最大模高阶收敛性，与理论分析一致.
2020-11-16 cs.NA math.NA
Maximum bound principles for a class of semilinear parabolic equations and exponential time differencing schemes
半线性抛物型方程在物理、生物、材料和社会科学等领域有着广泛的应用。本文考虑了一类抽象形式为$u_t=\mathcal{L}u+f[u]$的半线性抛物型方程的一个实用性质，其中$\mathcal{L}$是线性耗散算子，$f$是空间中的非线性算子，即不随时间变化的最大有界原理，即含时解$u$始终保持由其初始和边界条件所施加的一致逐点绝对值有界.首先，我们研究了一个分析框架的一些充分条件$\mathcal{L}$和$f$，导致这样一个最大限度的限制原则的时间连续的动力系统的无限或有限维。然后，我们利用一个合适的指数时间差分方法与适当选择的生成元的压缩半群开发一阶和二阶精度的时间离散计划，满足最大限度的原则，在时间离散设置无条件。所提出的方案的误差估计推导出随着其能量稳定性。向量和矩阵值系统的扩展也进行了讨论。我们证明，这里开发的抽象框架和分析技术提供了一个有效的和统一的方法来研究的抽象发展方程，涵盖了各种各样的知名模型和它们的数值离散方案的最大界原理。最后通过数值实验对理论结果进行了验证。
2020-05-23 cs.NA math.NA
Strang splitting method for semilinear parabolic problems with inhomogeneous boundary conditions: a correction based on the flow of the nonlinearity
Strang分裂法，形式上的二阶，可以遭受降阶时，适用于半线性抛物问题的非齐次边界条件。最近的工作[L .Einkemmer和A.奥斯特曼克服扩散-反应分裂中的降阶。部分1. Dirichlet边界条件Siam J. Sci.计算：37，2015.第2部分：斜边界条件，SIAM J. Sci.计算：38，2016]介绍了该方法的修改，以避免基于非线性的阶数减少。在本文中，我们介绍了一种新的校正构造直接从流动的非线性，它不需要评估的源项或其衍生物。目标是双重的。首先，这种新的修改在算法的每一步仅需要一次扩散流的评估和一次源项流的评估，并且它减少了构造校正的计算工作量。其次，数值实验表明，它是非常适合的情况下，非线性是刚性的。我们提供了一个光滑的非线性的方法的收敛性分析，并进行数值实验来说明新方法的性能。
2020-07-01 cs.NA math.NA
Rothe's method in direct and time-dependent inverse source problems for a semilinear pseudo-parabolic equation
Ghent University（根特大学）；Al-Farabi Kazakh National University（阿尔法拉比哈萨克国立大学）；Institute of Mathematics and Mathematical Modeling（数学与数学建模研究所）
本文利用罗特方法研究半线性伪抛物方程的反源问题，证明了解的存在性和唯一性，并提出数值方案验证其准确性与稳定性。
2026-02-18 cs.NA math.AP math.NA
Uniform weak error estimates for an asymptotic preserving scheme applied to a class of slow-fast parabolic semilinear SPDEs
本文研究了具有两个时间尺度的抛物型半线性随机偏微分方程组的时间离散的渐近保持格式。由于平均原理，当时间尺度分离$ε$消失时，慢分量收敛到极限发展方程的解，该极限演化方程在时间步长$Δt$消失时由极限方案捕获。这项工作的目的是证明弱误差估计是统一的$ε$，在$Δt$：该计划满足一致的精度属性。这是最近一篇文章在无限维框架中的一个非平凡的推广。快的部分离散使用修改后的欧拉格式的SPDE在最近的工作中介绍。证明弱误差估计需要精细分析无穷维Kolmogorov方程解的正则性。
2022-03-20 cs.NA math.NA math.PR
Asymptotic Stability of POD based Model Predictive Control for a semilinear parabolic PDE
University of Hamburg（汉堡大学）；University of Konstanz（康斯坦茨大学）
本文利用非线性模型预测控制方法，结合POD降阶策略，对半线性抛物型PDE进行稳定反馈控制设计，并通过数值实验验证了算法的渐近稳定性。
2014-09-27 cs.NA math.AP math.NA
Polynomial approximation of high-dimensional Hamilton-Jacobi-Bellman equations and applications to feedback control of semilinear parabolic PDEs
Imperial College London（帝国理工学院）；University of Graz（格拉茨大学）
本文提出了一种数值逼近高维Hamilton-Jacobi-Bellman方程的程序，用于最优反馈控制问题，该方法结合了伪谱格点逼近PDE动力学和迭代方法求解非线性HJB方程，主要贡献是通过分离多项式逼近方法求解线性广义HJB方程，从而获得稳定反馈控制。
2019-02-06 cs.NA math.NA math.OC
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear parabolic partial differential equations
长期以来，人们都知道用蒙特卡罗方法可以近似求解高维线性抛物型偏微分方程，其计算量在维数和精度的倒数上都呈多项式增长。换句话说，线性偏微分方程不受维数灾难的影响。然而，对于一般的半线性偏微分方程的Lipschitz系数，它仍然是一个悬而未决的问题，这些是否遭受灾难的维数。在本文中，我们部分解决这个开放的问题。更确切地说，我们证明在半线性热方程的情况下，梯度独立和全球Lipschitz连续非线性，最近推出的多层次皮卡德近似的一个变体的计算工作量增长多项式的尺寸和所需的精度的倒数。
2020-06-24 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Picard approximations and deep neural networks with ReLU, leaky ReLU, and softplus activation overcome the curse of dimensionality when approximating semilinear parabolic partial differential equations in $L^p$-sense
Division of Mathematical Sciences, School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore（数学科学系，物理与数学科学学院，南洋理工大学，新加坡）；Faculty of Mathematics, Bielefeld University, Germany（数学学院，比勒菲尔德大学，德国）
研究证明，多级皮卡尔近似与具有ReLU、leaky ReLU和softplus激活函数的深度神经网络能以L^p意义近似半线性Kolmogorov PDE解，且计算复杂度和参数数量随维度和精度要求呈多项式增长。
2026-03-23 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel Picard algorithm for general semilinear parabolic PDEs with gradient-dependent nonlinearities
针对系数非常数且非线性依赖梯度的一般半线性抛物型 PDE，提出多层 Picard 逼近算法，并借助 SFPE 证明解与梯度的表示、收敛性及复杂度，辅以 300 维数值验证。
2025-02-18 cs.NA math.AP math.NA
