以查询行为中心的最大空圆
Largest Empty Circle Centered on a Query Line
摘要：
最大空圆问题寻找以$\mathbb{R}^2$中的$n$点的集合$P$的凸包为中心并且没有来自$P$的点的最大圆。在本文中，我们将介绍一个查询版本的这个研究问题。在我们的查询版本中，我们需要对$P$进行预处理，以便在给定查询线$Q$时，我们可以快速计算以$Q$上的某个点为中心且在$P$的凸包内的最大空圆。我们提出了两种特殊情况下的解决方案和一般情况下，我们所有的查询运行在$O(\log n)$的时间。在第一种特殊情况下，我们将查询线限制为水平，我们在$O(n α(n) \log n)$时间和空间中进行预处理，其中$α(n)$是Ackermann函数的缓慢增长的逆。当查询线被限制为通过一个固定点时，第二种特殊情况，我们的预处理需要$O(n α(n)^{O(α(n))} \log n)$时间和空间。我们使用来自两种特殊情况的见解来分别解决$O(n^3 \log n)$和$O(n^3)$中预处理时间和空间问题的一般版本。
英文摘要：
The Largest Empty Circle problem seeks the largest circle centered within the convex hull of a set $P$ of $n$ points in $\mathbb{R}^2$ and devoid of points from $P$. In this paper, we introduce a query version of this well-studied problem. In our query version, we are required to preprocess $P$ so that when given a query line $Q$, we can quickly compute the largest empty circle centered at some point on $Q$ and within the convex hull of $P$. We present solutions for two special cases and the general case; all our queries run in $O(\log n)$ time. We restrict the query line to be horizontal in the first special case, which we preprocess in $O(n α(n) \log n)$ time and space, where $α(n)$ is the slow growing inverse of the Ackermann's function. When the query line is restricted to pass through a fixed point, the second special case, our preprocessing takes $O(n α(n)^{O(α(n))} \log n)$ time and space. We use insights from the two special cases to solve the general version of the problem with preprocessing time and space in $O(n^3 \log n)$ and $O(n^3)$ respectively.
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