几何挠率与Atiyah型拓扑域论

具有三角化边界的流形的几何挠率和几何不变量

Geometric torsions and invariants of manifolds with triangulated boundary

几何挠率是向量空间的非循环复形的挠率，这些复形由赋给流形三角剖分元素的几何量的微分组成。我们使用几何挠率来构造具有三角形边界的流形的不变量。这些不变量可以自然地统一在一个向量中，并且边界三角剖分的变化对应于该向量的线性变换。此外，当两个流形由它们的公共边界粘合时，这些向量经历标量乘法，即，他们按照M.拓扑量子场论的阿蒂亚公理。

2-纽结的带移动：Farber-Levine配对和2-纽结的Atiyah-Patodi-Singer-Casson-Gordon-Ruberman $\widetildeη$ -不变量

Ribbon-moves of 2-knots: the Farber-Levine pairing and the Atiyah-Patodi-Singer-Casson-Gordon-Ruberman $\widetildeη$-invariants of 2-knots

设K和K'为2节。假设K和K'是带移动等价的。则K的Farber-Levine对等价于K'的Farber-Levine对，并且$K$的第一Alexander模的（Z-）挠部分与K'的第一Alexander模的（Z-）挠部分同构为Z[Z]模.设K是一个2-纽结，它与平凡纽结等价。则K对Z_d的Atiyah-Patodi-Singer-Casson-Gordon-Ruberman Q/Z值\widetilde η-不变量为零。（d是自然数。d>2.）。

近似L2-invariants和Atiyah猜想

Approximating L2-invariants, and the Atiyah conjecture

设G是无挠的离散群，\bar{Q}表示C中的代数数域.我们证明了\bar{Q} [G]满足Atiyah猜想，如果G位于某类群D中，特别是包含所有剩余无无挠的初等顺从群或剩余自由群.这个结果意味着C[G]中不存在非平凡的零因子。该结论依赖于\bar{Q} [G]上L2-贝蒂数的新的逼近结果，这些结果是本文工作的核心.本文的另一组结果涉及有限CW复形的任意正规覆盖空间上的L2-上链上的组合Laplacian的特征值的某些数论性质。我们建立的情况下，是超越数的特征值，每当覆盖变换群是顺从的或在Linnell类\mathcal{C}。我们还建立了不存在的特征值是刘维尔超越数时，覆盖变换群是剩余有限或更一般地在某个大的引导类\mathcal{G}。请注意Schick的勘误表：“L2-行列式类和L2-贝蒂数的近似“，这是在文件的末尾添加的，纠正了一些关于“顺从扩展”的未经证明的陈述。因此，自始至终，顺从扩张应该是具有正规子群的扩张。

Integrality of L2-Betti numbers

The Atiyah conjecture predicts that the L2-Betti numbers of a finite CW-complex with torsion-free fundamental group are integers. We show that the Atiyah conjecture holds (with an additional technical condition) for direct and inverse limits of directed systems of groups for which it is true. As a corollary it holds for residually torsion-free solvable groups, e.g. for pure braid groups or for positive 1-relator groups with torsion free abelianization. Putting everything together we establish a new class of groups for which the Atiyah conjecture holds, which contains all free groups and in par…

三维流形群的群环

Group rings of three-manifold groups

该研究针对三维流形基本群的复群环展开，整合已知结论证明了有理上同调维数为2时群环的凝聚性，以及无挠情形下强Atiyah猜想与Kaplansky零因子猜想的成立性。