首页/论文/0803.3956

arXiv 0803.39562008-03-27math.GM

丢番图方程X^2+ bX +c=Y^2与一个问题的解

A solution to a problem and the Diophantine equation X^2+bX+c=Y^2

Konstantine "Hermes" Zelator

备注：: 11 pages

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

证明了对于给定的整数b和c，丢番图方程x^2+bx+c=y^2，有n个整数解（即ZxZ中的解对），实际上是偶数个整数解（包括零解或无解的情况），并给出了解集的明确描述.这种描述取决于整数b^2-4c的形式。一些推论确实遵循。进一步证明了当b^2-4c= 1，4，16，-4，或-16时，该方程有两个整数解.在每一种情况下，我们用系数b和c列出两个解。

英文摘要：

We prove that for given integers b and c, the diophantine equation x^2+bx+c=y^2, has finitely many integer solutions(i.e. pairs in ZxZ),in fact an even number of such solutions(including the zero or no solutions case).We also offer an explicit description of the solution set. Such a description depends on the form of the integer b^2-4c. Some Corollaries do follow. Furthermore, we show that the said equation has exactly two integer solutions, precisely when b^2-4c= 1,4,16,-4,or-16. In each case we list the two solutions in terms of the coefficients b and c.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

一类非线性丢番图方程的一种解法

A Method of Solving Certain Nonlinear Diophantine Equations

本文提出一种将非线性丢番图方程转化为丢番图线性方程组求解的方法。

2009-10-12math.GM

丢番图方程的系统方法：开放问题

A systematic approach to Diophantine equations: open problems

本文收集了表述简单但求解困难的丢番图方程，并提出了系统性的研究方法。

2026-10-29math.GM

求解丢番图线性方程和方程组的迭代算法

Integer Algorithms to Solver Diophantine Linear Equations and Systems

本文的工作包含了作者对丢番图线性方程组的整数解的一些原创性研究。将二元丢番图线性方程的“广义整数解”概念推广到$n$元丢番图线性方程组，进而推广到丢番图线性系.确定了一般整数解的性质（对于丢番图线性方程和丢番图线性系）。给出了七个原始整数算法（丢番图线性方程的两个，丢番图线性系的五个）。对算法进行了严格的证明，并分别给出了一个例子。这些算法可以很容易地在计算机上实现。

2007-11-28math.GM

关于丢番图方程$x^2 = 2y^4-1$

On Diophantine Equation $x^2 = 2y^4-1$

本文提出了一种求解此丢番图方程的方法，它不同于Ljunggren，Mordell和R.K.Guy的方法。

2007-03-16math.GM

丢番图方程的系统方法：两千个已解示例

A systematic approach to Diophantine equations: two thousand solved examples

本文系统求解了专著中遗留的数百个丢番图方程，提供完整解答并按规模汇总，构建了可归约更复杂问题的小型已解方程数据库。

2026-10-27math.GM

线性丢番图方程的素解

Primes Solutions Of Linear Diophantine Equations

设k => 1，m => 1是小的固定整数，gcd（k，m）= 1.本文给出了证明线性丢番图方程y = mx + k的无穷多个素数解x = p，y = q存在性的技巧.

2014-04-03math.GM

更多相关论文收起更多论文

高次丢番图方程c^q=a^p+b^p

High Degree Diophantine Equation c^q=a^p+b^p

本文的主要思想是简单地计算模中的整数函数。以全新的方式研究了整数模中的代数。通过构造证明了两个有限数在对应模中具有不等幂的一个结果，并应用于求解一类高次丢番图方程.

2021-01-07math.GM

论丢番图几何图形的一个基本任务

On a Fundamental Task of Diophantine Geometric Figures

工作的目标是承担和研究的基本任务之一，研究丢番图n-边形（作者的论文认为一个整数n-边形是丢番图，只要确定组合性质的每一个需要解决一定的丢番图方程（方程组））。

2020-03-02math.GM

三角形的角和边与丢番图方程x^2+3y^2 =z^2

Triangle angles and sides in progression and the diophantine equation x^2+3y^2 =z^2

本文的主要结果是给出了边长为整数且一角为60度的三角形族的完全参数化描述。

2008-03-26math.GM

关于最小开丢番图方程

On the smallest open Diophantine equations

本文报告了我们对所有多项式丢番图方程按适当的“尺寸”排序，然后按该顺序求解的项目的现状。我们列出了目前开放的“最小”方程，包括无限制的和各种家庭，如最小的开放对称，2-变量或3-单项方程。我们讨论的所有方程都非常简单，但其中一些似乎很难解决。

2022-04-22math.GM

丢番图方程：一个系统的方法

Diophantine equations: a systematic approach

本文开创了丢番图方程理论的一个新的研究方向：定义一个合适的方程大小，从最小的方程开始对所有的多项式丢番图方程进行排序，然后按此顺序求解。通过将一种新的计算机辅助程序与人类推理相结合，我们解决了大小小于$31$的所有多项式丢番图方程的希尔伯特第十问题，其中大小在（齐达内，2018）中定义。此外，我们解决了这个问题的所有方程的大小等于$31$，只有一个例外。此外，我们解决了希尔伯特的第十个问题的所有二元丢番图方程的大小小于$32$，所有对称方程的大小小于$39$，所有三个单项方程的大小小于$45$，并在每一个类别，确定明确的最小方程的问题仍然开放。结果，我们得出了一系列方程，这些方程写起来很简单，但显然很难求解。正如我们从费马大定理的例子中所知道的，这样的方程有可能刺激数论中新方法的发展。

2022-04-13math.GM

求解丢番图方程$ax^2-by^2+c=0$的一种方法

A Method to Solve the Diophantine Equation $ax^2-by^2+c=0$

它是Pell方程$x^2-Dy^2=0$的推广。在这里，我们表明：如果我们的丢番图方程有一个特定的整数解，而$ab$不是一个完满平方，那么这个方程有无穷多个解;在这种情况下，我们用一种原始的方法找到了一般正整数解$(x_n,y_n)$的一个封闭表达式。进一步，我们将它推广到任何二次丢番图方程和两个未知数$f(x,y)=0$ .

2006-09-24math.GM

丢番图方程$x^3+y^3+z^3=n$整数解搜索的一种改进方法

Existential refinement on the search of integer solutions for the diophantine equation $x^3+y^3+z^3=n$

我们提出了一个新的算法，调用Sam来确定方程$x^3+y^3+z^3=n$的解的存在性，其中固定值$n > 0$未知。

2022-05-12math.GM

联立丢番图方程

Simultaneous Diophantine Equations

本文给出了四次方程（4-3-3），（4-4-4），（4-5-5），（4-6-6）的参数解，根据Lander，Parkin，和Selfridge（2）猜想，四次方程（4-3-3），（4-4-4），（4-5-5），（4-6-6），其中方程两边的变量的乘积相等。

2022-06-13math.GM

Diophantine方程$X^3+Y^3+Z^3=K$的虚幻城市

Imaginary Cities of the Diophantine equation $X^3+Y^3+Z^3=K$

本文利用“虚幻城市”理论构建Diophantine方程的图表示，并通过De Bruijn循环确定其边上的模组合。

2023-11-18math.GM

丢番图方程与同余数方程解

Diophantine Equations and Congruent Number Equation Solutions

利用全等数方程$$ C_N:\;\;y^2=x^3-N^2x, $$的非平凡有理解对，构造了有理右（勾股）三角形对，它们的一条公共边和另一边等于相同有理数的平方和与差.我们找到了下列丢番图系统的参数化：\begin{align*} (p^2\pm q^2)^2-a^2 & =\square_{1,2}\,, \\[0.2cm] c^2-(p^2\pm q^2)^2 & =\square_{1,2}\,, \\[0.2cm] a^2+(p^2\pm q^2)^2 & =\square_{1,2}\,, \\[0.2cm] (p^2\pm q^2)^2-a^2 & =(r^2\pm s^2)^2. \end{align*}

2015-04-16math.GM

丢番图方程 $x^4+y^4=z^4+w^4$

The diophantine equation $x^4+y^4=z^4+w^4$

本文针对丢番图方程 $x^4+y^4=z^4+w^4$，提出一种新方法，首次得到次数为74、88和132的偶数次齐次二元多项式参数解，突破了以往仅获得奇数次多项式参数解的限制。

2024-03-18math.GM

$Z$和$N$中二元丢番图二次方程解的存在性和个数

Existence and Number of Solutions of Diophantine Quadratic Equations with Two Unknowns in $Z$ and $N$

本文研究了一般形式为$ax^2-by^2=c$的二元二次丢番图方程在整数集（$Z$）和自然数集（$N$）中解的存在性和个数.

2007-04-27math.GM

解丢番图方程

Solving Diophantine Equations

在这本书中提出了众多的丢番图方程及其部分或完全解决方案。例如，我们应该如何求解方程η（π（x））= π（η（x）），其中η是Smarandache函数，π是计算自然数集合中直到x的素数个数的黎曼函数？如果没有一种分析方法，一个想法是回顾对解决方案的经验性探索。我们建立一个寻找解的域，然后检查所有可能的情况，当然，我们只保留其中那些验证我们方程的解。换句话说，我们说方程在搜索域中没有解，或者方程在这个域中有n个解。这种解决方式称为部分解决。部分求解丢番图方程可能是完整求解问题的良好开端。作者已经确定了62个丢番图方程，施加这种方法，他们部分解决了他们。对于一个有效的决议，这是必然的，他们已经建造了许多有用的工具，部分解决了丢番图方程到一个合理的时间。作为工具的计算机程序是用Mathcad编写的，因为这是一个很好的数学软件，可以实现许多数学函数。将这些程序转换成另一种计算机语言是很容易的，而且这些算法可以在具有各种处理器的其他计算系统上加以考虑。

2016-04-06math.GM

关于丢番图方程2^ a3 ^b + 2^ c3 ^d = 2^ e3 ^f + 2^ g3 ^h

On the Diophantine Equation 2^a3^b + 2^c3^d = 2^e3^f + 2^g3^h

本文是文[1]的继续，文[1]中我研究了Harvey Friedman关于函数f（x，y）= x^2 + y^3是否满足任何恒等式的问题，但不需要了解文[1]就能理解本文。我们将把指数丢番图方程2^a3^b + 2^c3^d = 2^e3^f + 2^g3^h分解成更容易分析的子情形。然后，我们将求解通过对这些子情形之一施加限制而获得的方程，之后，我们将求解该方程的推广。

2009-10-08math.GM