关于$\mathbb{C}^n$起源的$n$函数的一个注记
Une note à propos du Jacobien de $n$ fonctions holomorphes à l'origine de $\mathbb{C}^n$
摘要：
设$f_1,...,f_n$是在$\mathbb{C}^n$原点的全纯函数的$n$芽，使得$f_i(0)=0$，$1\leq i\leq n$ .利用Lipman的剩余理论，通过Hochschild同调证明了$f_1,...,f_n$的Jacobian属于由$f_1,...,f_n$生成的理想属于由$f_1,...,f_n$生成的理想当且仅当$f_1,...,f_n$的公共zeo的芽的维数是严格正的.事实上，我们证明了更一般的结果，这些结果是这个结果的相对版本，用方便的Noether环$\mathbf{A}$代替域$\mathbb{C}$（参见。日3.1和Th. 3.3）。然后，我们证明了一个类似于经典的S。Gradient的Gradient。
英文摘要：
Let $f_1,...,f_n$ be $n$ germs of holomorphic functions at the origin of $\mathbb{C}^n$ such that $f_i(0)=0$, $1\leq i\leq n$. We give a proof based on the J. Lipman's theory of residues via Hochschild Homology that the Jacobian of $f_1,...,f_n$ belongs to the ideal generated by $f_1,...,f_n$ belongs to the ideal generated by $f_1,...,f_n$ if and only if the dimension ot the germ of common zeos of $f_1,...,f_n$ is sttrictly positive. In fact we prove much more general results which are relatives versions of this result replacing the field $\mathbb{C}$ by convenient noetherian rings $\mathbf{A}$ (c.f. Th. 3.1 and Th. 3.3). We then show a Łojasiewicz inequality for the jacobian analogous to the classical one by S. Łojasiewicz for the gradient.
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