Whitney-Graustein定理的接触几何证明

平面欧拉弹性力学与Whitney-Graustein定理

Euler elasticae in the plane and the Whitney--Graustein theorem

在本文中，我们应用经典的能量原理，欧拉弹性，即，在提供了欧拉泛函U（沿曲线的曲率平方的积分）的平面上的C^2闭曲线。我们研究了U的临界点，找到了对应于这些临界点的曲线形状，并指出了哪些临界点是U所给能量的稳定平衡点，哪些临界点是不稳定的。结果表明，稳定平衡点集与U的极小点集重合，从而所得曲线的相应形状可视为欧拉弹性曲线的标准形。用这种方法，我们找到了平面封闭弹性体的欧拉问题（1744年提出）的解。作为副产品，我们得到了惠特尼-格劳斯坦定理的"机械"证明，该定理是关于平面上正则曲线直到正则同伦（在C^2曲线的特殊情况下）的分类。除了数学定理，我们的工作包括一个计算机图形软件，它显示，作为一个动画，任何平面曲线如何发展到其正常形式下的离散版本的梯度下降沿（离散化）欧拉功能。