Introduction to the Galois Theory of Linear Differential Equations
Michael F. Singer
这是2006年7月31日至2006年8月4日在赫瑞瓦特大学举行的2006年伦敦数学学会邀请讲座系列的10个讲座的扩展版本。
This is an expanded version of the 10 lectures given as the 2006 London Mathematical Society Invited Lecture Series at the Heriot-Watt University 31 July - 4 August 2006.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Nonlinear differential Galois theory
微分伽罗瓦论在线性微分方程的可积性理论中起着重要的作用。本文将这一理论推广到非线性情形，研究一阶非线性微分方程的可积性。我们将定义为微分方程的微分伽罗瓦群，将研究结构的群体，并将证明等价之间的存在性Liouvillian首次积分和可解性相应的微分伽罗瓦群。
Galois Theory of Parameterized Differential Equations and Linear Differential Algebraic Groups
我们提出了参数化线性微分方程的伽罗瓦论，其中伽罗瓦群是线性微分代数群，即矩阵群，其元素是参数的函数，并且满足关于这些参数的一组微分方程。我们提出的基本结构和结果，给出例子，讨论如何isomonodromic家庭适合这个理论，并显示如何从理论的线性微分代数群的结果可用于分类系统的二阶线性微分方程。
Differential Galois Theory of Linear Difference Equations
本文提出了一种差分方程的伽罗瓦论，用来度量线性差分方程解之间的微分依赖关系。由此，我们能够重新证明Hoelder定理，即Γ函数不满足多项式微分方程，并且能够给出一般的结果，例如，某些类q-超几何函数的解之间不存在微分关系。
Computing the Galois group of some parameterized linear differential equation of order two
本文将Kovacic算法推广到计算一类二阶参数化线性微分方程的微分伽罗瓦群。在不存在Liouville解的情况下，给出了系统可积的一个充要条件.我们给出了各种计算的例子。
Differential Galois Theory and Isomonodromic Deformations
我们提出了一个几何设置的微分伽罗瓦论的$G$不变的连接参数。作为微分代数群和李代数丛的一些经典结果的应用，我们看到具有简单结构群$G$的含参数联络的伽罗瓦群是由它的等单点变形决定的.这使我们能够计算具有一般Fuchsian特殊线性系和Gauss超几何方程参数的伽罗瓦群。
Differential Galois Theory and Integration
本文提出了在求解可约线性微分方程组之前先将其简化的方法。经典积分自然地表现为这类系统的解。我们将说明在以前的文件中开发的方法，在几个例子，以减少微分系统。这将给出积分之间潜在的代数关系的信息。
A density theorem for parameterized differential Galois theory
研究了系数亚纯依赖于参数的参数化线性微分方程。作为主要结果，类似于Ramis的非参数密度定理，我们证明了对于Cassidy和Singer引入的参数微分伽罗瓦群，参数monodromy，参数指数环面和参数Stokes算子是Kolchin拓扑中的拓扑生成元.我们证明了全局参数化微分伽罗瓦群的一个类似结果，推广了Mitschi和Singer的一个结果.这些作者也给出了一个必要条件的一组是一个整体参数化微分伽罗瓦群，作为一个推论的密度定理，我们证明了他们的条件也是充分的。作为应用，我们给出了完全可积方程的一个特征，并部分回答了Sibuya关于给定Stokes矩阵的超越性的一个问题。此外，使用参数化的Hukuhara-Turrittin定理，我们表明，伽罗瓦群下降到一个更小的领域，其常数域是不微分封闭的。
The inverse problem of differential Galois theory over the field R(z)
本文描述了具有非代数闭域常数场的微分场的Picard-Vessiot理论。作为构造和分类Picard-Vessiot扩张的技术，我们发展了伽罗瓦下降理论。利用这一理论证明了$\mathbb{R}$上的每个线性代数群$G$都是$\mathbb{R}(z)$上的微分伽罗瓦群。证明的主要内容是$\mathbb{C}(z)$上正则奇异微分方程的Riemann-Hilbert对应。
Differential Galois Theory and Lie Symmetries
本文研究了线性微分方程系统的无穷小对称的微分伽罗瓦群和李代数之间的相互作用。我们表明，一些对称性可以被看作是解决方案的一个层次的线性微分系统。我们证明了有理对称的存在性约束了系统中的微分伽罗瓦群，这种约束依赖于对称性沿零解的麦克劳林级数。
Calculating Galois groups of third order linear differential equations with parameters
受发展决定贝塞尔微分方程的扩张的解的超超越性的算法的启发，最近已经发展了计算参数化微分伽罗瓦群的幂幺根的算法。贝塞尔方程的扩展，如Lommel方程，可以看作是三阶齐次参数化线性微分方程。本文给出了已知的第一个计算三阶参数化线性微分方程的微分伽罗瓦群的算法。
Calculating differential Galois groups of parametrized differential equations, with applications to hypertranscendence
我们工作的主要动机是通过参数化微分理论和伽罗瓦论，建立一个判定线性微分方程解的超超越性的有效算法。为了实现这一点，我们扩展了线性微分代数群的表示论，并开发了新的算法，计算幂幺根的参数化微分伽罗瓦群的微分方程的系数是有理函数。P. Berman和M.F. Singer给出了一种计算无参微分方程的微分伽罗瓦群的算法，该方程的微分算子是两个完全可约的微分算子的合成.我们使用他们的算法作为我们算法的一部分。结果，我们找到了参数化微分方程的解及其所有导数关于参数的代数独立性的有效判据。
Unipotent differential algebraic groups as parameterized differential Galois groups
我们处理的参数化Picard-Vessiot（PPV）理论的正问题和逆问题的方面。已知对于某些域，线性微分代数群G是这些域上的PPV伽罗瓦群当且仅当G包含Kolchin-dense有限生成群.我们证明了，对于一类LDAG G，包括幂幺群幂幺群，G是这样的群当且仅当它有微分型0。我们给出了一个程序，以确定是否参数化的线性微分方程有PPV伽罗瓦群在这个类中，并显示如何可以计算PPV伽罗瓦群的参数化的线性微分方程，如果它的伽罗瓦群具有微分类型0。
Galoisian Methods for Testing Irreducibility of Order Two Nonlinear Differential Equations
利用非线性常微分方程的变分方程沿代数解的微分伽罗瓦群，给出了非线性常微分方程不可约性的一种证明方法.证明了如果一个变分方程的伽罗瓦群的维数足够大，那么这个方程一定是不可约的。我们提出了一种方法来计算这个尺寸通过减少形式。作为应用，我们重新证明了第二和第三类Painlevé方程对于参数的特殊值的不可约性.在附录中，我们重铸了文献中发现的各种变分方程的概念，并证明了它们的等价性。
Computing the differential Galois group of a parameterized second-order linear differential equation
我们开发的算法来计算微分伽罗瓦群$G$与参数化的二阶齐次线性微分方程的形式\[ \tfrac{\partial^2}{\partial x^2} Y + r_1 \tfrac{\partial}{\partial x} Y + r_0 Y = 0, \]的系数$r_1, r_0 \in F(x)$是有理函数在$x$与系数在偏微分领域$F$的特征零。我们的工作依赖于德雷福斯开发的程序来计算$G$的假设下，$r_1 = 0$。我们将展示如何完成这一过程，以涵盖的情况下，$r_1 \neq 0$，通过重新解释一个经典的变量变换过程中伽罗瓦理论的条款。
Lie's Reduction Method and Differential Galois Theory in the Complex Analytic Context
本文致力于微分伽罗瓦论在复杂的分析背景下的Lie-Vessiot系统。这些是线性系的自然推广，也是容许叠加律的更一般的微分方程，如最近在[5]中所述。一个Lie-Vessiot系统被自动地转化为一个李群中的方程，我们称之为自守系统。一个自守系统反过来又导出一个李-维西奥系统的等级。在这项工作中，我们研究的全球分析方面的一个经典的方法减少微分方程，由于S。撒谎本文提出了自守系统的微分伽罗瓦论，并探讨了伽罗瓦论的可积性与李约化方法之间的关系。最后，我们探讨了一般自守系统的李对称代数。
Reductive linear differential algebraic groups and the Galois groups of parameterized linear differential equations
发展了约化线性微分代数群的表示论。特别是，我们展示了一个明确的清晰的上界阶导数的微分表示约化LDAG，扩展现有的结果，这是SL（2）的情况下，只有一个导子。作为上述界限的应用，我们开发了一个算法，测试是否参数化的微分伽罗瓦组的线性微分方程组线性微分方程组是约化的，如果是，计算它。
Differential Galois Theory of Algebraic Lie-Vessiot Systems
本文发展了代数齐性空间中代数Lie-Vessiot系统的微分伽罗瓦论。Lie-Vessiot系统是一种非自治向量场，它是一个代数李群作用的基本向量场的系数依赖于时间的线性组合。这些系统是微分方程的基石，允许叠加的解决方案。代数齐性空间中的Lie-Vessiot系统包括线性微分方程的情况。因此，Lie-Vessiot系统的微分伽罗瓦论是经典Picard-Vessiot理论的推广。特别是，代数Lie-Vessiot系统是可解的Kolchin的强正规扩张。因此，强正规扩张在几何上被解释为伽罗瓦群上主齐性空间上的函数域。最后我们考虑了自守微分方程的可积性和可解性问题。我们的主要工具是一种经典的归约方法，在某些地方被称为Lie归约。我们开发了这种方法的代数版本，我们称之为Lie-Kolchin还原。应用的障碍与伽罗瓦上同调有关。
On the Constructive Inverse Problem in Differential Galois Theory
给出了线性微分方程有一个给定的半单群作为其伽罗瓦群的充分条件。对于任意给定的线性代数群G，G是有限子群和正规子群的半直积，正规子群是An，Cn，Dn，E6或E7型群的乘积，我们构造C（x）上的一个微分方程，它具有伽罗瓦群G.
A Galoisian proof of Ritt theorem on the differential transcendence of Poincaré functions
利用函数方程的伽罗瓦论，对J.F. Ritt，关于函数方程R（y（t））=y（qt）的解的微分超越，其中R是复系数有理函数，证明R（0）=0，R '（0）=q，其中q是|q| >1的复数.在代数函数R的情况下，我们也给出了一个部分结果。
Computing the differential Galois group of a one-parameter family of second order linear differential equations
我们开发的算法来计算对应于一个单参数的家庭的二阶齐次常线性微分方程与有理函数系数的微分伽罗瓦群。更精确地说，我们考虑形式为\frac{\partial^2Y}{\partial x^2} + r_1 \frac{\partial Y}{\partial x} + r_2 Y =0的方程，其中$r_1,r_2\in C(x,t)$和$C$是特征为零的代数闭域。我们的工作在参数化Picard-Vessiot理论的设置，其中附加了一个线性微分代数群这样的方程，也就是说，一组可逆矩阵的条目满足系统的多项式微分方程，相对于参数空间中的推导。我们将计算$\frac{\partial}{\partial t}$ -微分-多项式方程，该方程将相应的参数化Picard-Vessiot群定义为$\mathrm{GL}_2$的微分代数子群。
Linear differential equations with finite differential Galois group
对于具有有限（微分）伽罗瓦群$C(z)$阶微分算子$L$，M. van Hoeij和J. - A.~ Weil，它计算不变量$ev:C[X_1,\dots ,X_n]^G\rightarrow C(z)$的相关求值。这里提出的程序做相反的事情：它使用E.~的定理。从给定的求值$h$中合成并计算运算符$L$。此外，它解决了一部分的逆问题的生产$L$为一个给定的表示的有限群$G$。这里考虑的另一部分是找到具有亏格为零的$Z/G$的不可约$G$ -不变曲线$Z\subset \mathbb{P}(C^n)$，并由此构造评估。本文所发展的理论通过各种例子加以说明，并且与H.A.~ Schwarz，G.~ Fano，F.~ Klein和A.~赫维茨
Approche galoisienne de la transcendance différentielle
在这项调查中，我们提出的参数化伽罗瓦论的差分方程，介绍了Hardouin-Singer。这个理论的目的是提供一个系统的方法，微分超越，也称为超超越。作为应用的一个例子，我们解释的Hölder定理的微分超越的Γ函数的伽罗瓦证明。
Computation of the unipotent radical of the differential Galois group for a parameterized second-order linear differential equation
本文提出了一种计算微分伽罗瓦群$H$的幂幺根$R_u(H)$的新方法，该群对应于形式为\[\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}Y-qY=0,\]的参数化二阶齐次线性微分方程，其中$q \in F(x)$是$x$中的有理函数，其系数在特征为零的$Π$域$F$中，$Π$是参数导子的交换集.德雷福斯开发的程序减少了计算$R_u(H)$解决一个创造性的伸缩问题，其有效的解决方案需要假设最大约简商$H / R_u(H)$是一个PDMATHAMR-常数线性微分代数群。当这个条件不满足时，我们计算一组新的参数导子$Π'$，使得相关的微分伽罗瓦群$H'$具有$H'/ R_u(H')$是$Π'$ -常数的性质，并且使得$R_u(H)$由与$R_u(H')$相同的微分方程定义。因此，$R_u(H)$的计算减少到$R_u(H')$的有效计算。我们预计，这种方法的阐述将是成功的，在扩展的适用性最近开发的一些算法Minchenko，Ovchinnikov和辛格计算幂单根高阶方程。
Darboux Transformations for Orthogonal Differential Systems and Differential Galois Theory
本文提出一种将达布变换在算法上推广至线性微分系统张量积构造的方法，获得了三阶正交系统的显式变换及扩展至SL(2,C)-系统任意对称幂的框架，并在Maple中验证。
Projective Isomonodromy and Galois Groups
本文以Darboux-Hevelen方程为例，引入了线性微分方程的一种特殊形式的单值演化变形-射影等距单值变形的概念.利用参数化Picard-Vessiot群的导群，给出了参数化线性微分方程射影等距的代数条件.
A Galois-theoretic proof of the differential transcendence of the incomplete Gamma function
本文给出了二阶参数化线性微分方程\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2} -\frac{\partial Y}{\partial x} = 0的解的$\frac{\partial}{\partial t}$超越的简单的充要条件，其中$p\in F(x)$是$x$中的有理函数，其系数在$\frac{\partial}{\partial t}$ -域$F$中.这一结果对于发展计算$F(x)$上任意参数化二阶线性微分方程的参数化Picard-Vessiot群的有效算法是至关重要的.我们的准则特别地暗示了不完全Γ函数$γ(t,x)$的$\frac{\partial}{\partial t}$超越性，推广了Johnson，Reinhart和Rubel [9]的结果.
A note on the inverse problem for finite differential Galois groups
本文提出一种算法，在给定商曲线函数域时，构造常线性微分方程使其 Schwarz 映射参数化不可约有限线性代数群下的不变曲线，推广了已有逆问题解，并证明了不存在微分 Galois 群同构于 $H_{72}^{SL_3}$ 的超几何方程。
Galoisian approach to complex oscillation theory of some Hill equations
本文应用微分伽罗瓦论中的Kovacic算法证明了Bank和Laine利用Nevanlinna理论所考虑的某些Hill方程的所有复非振动解（零点收敛的有限指数）都是Liouvillian解.也就是说，通过适当的差分域扩张构造可获得解。特别是，我们已经建立了一个完整的对应关系的解决方案的非振荡型和Liouvillian解决方案的一个特定的希尔方程。在Bank-Laine理论中，Hill方程的势函数为四个指数函数，通过这两种方法得到了显式封闭解.该微分方程是双汇流Heun方程的周期形式。我们进一步表明，这些Liouvillian解决方案表现出新的单，双正交性和弗雷德霍姆积分方程在适当的积分区域在$\mathbf{C}$，模仿单/双正交相应的Liouvillian解决方案的Lamé和Whittaker-Hill方程，发现了惠特克和因斯近一个世纪前。
Galois groups of the Lie-irreducible generalized $q$-hypergeometric equations of order three with $q$-real parameters : an approach using a density theorem
本文利用Sauloy的一个密度定理计算了具有q-实参数的三阶Lie-不可约正则奇异广义q-超几何方程的差分伽罗瓦群.与微分情形相比，我们证明了这些群自动包含特殊线性群SL（3，C）。
Linear Algebraic Groups as Parameterized Picard-Vessiot Galois Groups
本文证明了对于一定的微分域k，线性代数群是k（x）的参数化Picard-Vessiot扩张的伽罗瓦群，x' = 1，当且仅当它的单位连通区没有一维商作为线性代数群.
Differential transcendence of Bell numbers and relatives: a Galois theoretic approach
本研究利用差分伽罗瓦理论证明了生成函数微分超越性的一般性结论，将其应用于多类生成函数（含贝尔数等Sheffer类示例），为Pak-Yeliussizov猜想提供了具体证据。
Liouvillian first integrals of differential equations: A Galoisian approach
利用微分Galois理论证明一阶微分方程组存在Liouvillian首次积分等价于其在Liouvillian Picard-Vessiot扩张或环中存在，给出Singer定理的新证明，并展示Liouvillian假设不可去掉。
Reversible linear differential equations
设$\nabla$是紧黎曼曲面$Γ$上向量丛上的亚纯联络.如果回拉束和回拉连接可以用$\nabla$标识，则自同构$σ:Γ\toΓ$称为$\nabla$的对称。我们研究对称性的手段，我们称之为法诺群;并在假设$\nabla$有一个么模约化伽罗瓦群，我们联系的微分伽罗瓦群，法诺群和对称性的手段，一个确切的序列。
Some tastings in Morales-Ramis Theory
本文介绍Morales-Ramis理论中有关两种不同可积性概念的一些结果：用Liouville Arnold定理证明哈密顿系统的可积性和用微分伽罗瓦论证明线性微分方程的可积性。作为贡献，我们得到了双参数哈密顿系统的变分方程的交换微分伽罗瓦群，
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