扭曲乘积庞加莱-爱因斯坦流形中纤维的非坍缩性
Non-collapsing of fibers in warped-product Poincare--Einstein manifolds
AI总结：
该研究针对扭曲乘积庞加莱-爱因斯坦流形，证明了共形无穷远具正 Yamabe 常数时纤维度量的非坍缩下界，推导了相关估计，给出显式界并验证假设的必要性。
摘要：
设 $g=g_M+u^2h$ 是 $N^{n+1}=M^q\times F^p$ 上的 $C^{3,\alpha}$ 类庞加莱-爱因斯坦（渐近双曲爱因斯坦，AHE）度量，其中 $(F,h)$ 是体积为1的紧流形，且满足 $\Ric_h=\lambda h$，$\lambda\le 0$。我们证明，若共形无穷远 $[\gamma]$ 具有正 Yamabe 常数，则 $u\ge\Theta[\gamma]:=\sup_{\eta}\Big(\min_{\partial N}\psi_\eta\Big)\Big(\frac{\min_{\partial N} s_\eta}{n(n-1)}\Big)^{1/2}>0$，其中上确界在 $[\gamma]$ 中具有正标量曲率的代表元 $\eta$ 上取，$\psi_\eta$ 是 $\eta$ 的边界扭曲函数。特别地，对于 Yamabe 度量 $\eta_Y$，有 $u\ge (\Y[\gamma]/n(n-1))^{1/2}\min\psi_{\eta_Y}$。该估计基于 $\ln u$ 与 Lee 特征函数的比较原理，该原理也适用于多重扭曲乘积的每个因子，且当 $\Y[\gamma]\ge 0$ 时点态给出 $u\ge(\min\psi_\eta)\\,w_\eta$。我们给出了用 $[\gamma]$ 的乘积代表元表示的显式界，证明假设强制 $q\ge 3$ 且 $\partial M$ 连通，证明 $\Theta$ 在边界数据中的下半连续性，并讨论双曲 Fermi 坐标、AdS-Schwarzschild 等例子，表明假设 $\lambda\le0$ 不能去掉。
英文摘要：
Let $g=g_M+u^2h$ be a Poincaré--Einstein (asymptotically hyperbolic Einstein, AHE) metric of class $C^{3,α}$ on $N^{n+1}=M^q\times F^p$, where $(F,h)$ is compact with unit volume and $\Ric_h=λh$, $λ\le 0$. We show that if the conformal infinity $[γ]$ has positive Yamabe constant, then \[ u\;\ge\;Θ[γ]:=\sup_η\Big(\min_{\dN}ψ_η\Big)\Big(\frac{\min_{\dN} s_η}{n(n-1)}\Big)^{1/2}>0, \] the supremum being over representatives $η\in[γ]$ of positive scalar curvature and $ψ_η$ the boundary warping function of $η$. In particular $u\ge (\Y[γ]/n(n-1))^{1/2}\minψ_{η_Y}$ for the Yamabe metric $η_Y$. The estimate rests on a comparison principle between $\ln u$ and Lee's eigenfunction, which also applies to each factor of a multiply warped product, and pointwise yields $u\ge(\minψ_η)\,w_η$ when $\Y[γ]\ge 0$. We give an explicit bound in terms of the product representative of $[γ]$, show that the hypotheses force $q\ge 3$ and $\partial M$ connected, prove lower semicontinuity of $Θ$ in the boundary data, and discuss examples (hyperbolic Fermi coordinates, AdS--Schwarzschild) showing that the hypothesis $λ\le0$ cannot be removed.
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