泡沫和矩阵分解sl3链接同源性是等价的

Deformations of colored sl(N) link homologies via foams

We generalize results of Lee, Gornik and Wu on the structure of deformed colored sl(N) link homologies to the case of non-generic deformations. To this end, we use foam technology to give a completely combinatorial construction of Wu's deformed colored sl(N) link homologies. By studying the underlying deformed higher representation theoretic structures and generalizing the Karoubi envelope approach of Bar-Natan and Morrison we explicitly compute the deformed invariants in terms of undeformed type A link homologies of lower rank and color.

Symmetric Khovanov--Rozansky link homologies

We provide a finite dimensional categorification of the symmetric evaluation of $\mathfrak{sl}_N$-webs using foam technology. As an output we obtain a symmetric link homology theory categorifying the link invariant associated to symmetric powers of the standard representation of $\mathfrak{sl}_N$. In addition, the construction is actually made in an equivariant setting. We prove also that there is a spectral sequence from the Khovanov-Rozansky triply graded link homology to the symmetric one and provide along the way a foam interpretation of Soergel bimodules.

A cobordism category attached to Khovanov-Rozansky link homologies based on operads

We consider colored operads and their actions on categories. As a special example we construct a cobordism category with a colored operad action arising from oriented planar arc diagrams. This is used to construct an invariant of oriented tangle diagrams with values in the homotopy category attached to the cobordism category. Motivated by Bar-Natan's categorification of the Jones polynomial, it categorifies the quantum $sl_n$ quantum invariants and is adapted to the categorification of the $sl_n$ quantum invariants by Khovanov and Rozansky using matrix factorizations. We conjecture to exist th…

$\mathfrak{sl}_n$泡沫2-范畴：Khovanov-Rozansky同调的范畴斜Howe对偶组合公式

The $\mathfrak{sl}_n$ foam 2-category: a combinatorial formulation of Khovanov-Rozansky homology via categorical skew Howe duality

我们给出了一个纯粹的组合结构的彩色$\mathfrak{sl}_n$链接同源。不变量取值于2-范畴，其中2-态射由泡沫给出，$\mathfrak{sl}_n$网之间的奇异协边;应用（TQFT样）可表示函子恢复（有色）Khovanov-Rozansky同调。该理论的新功能包括引入“增强”泡沫方面，固定与原始矩阵分解公式和使用斜豪对偶相关的符号问题，以表明（增强）封闭泡沫可以在一个完全组合的方式进行评估。后者回答了数学中提出的一个问题。GT/0708.2228。

一族横链同调

A Family of Transverse Link Homologies

我们定义了一个同源的$\mathcal{H}_N$封闭的辫子应用Khovanov和Rozansky的矩阵分解与潜在的$ax^{N+1}$建设。直到分级变化，$\mathcal{H}_0$是arXiv：math/0505056中定义的HOMFLYPT同源性。我们证明了，$N \geq 1$，$\mathcal{H}_N$是一个$\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}^{\oplus 3}$ -分级$\mathbb{Q}[a]$ -模块，是不变的横向马尔可夫移动，但不是在负稳定/去稳定。因此，对于$N\geq 1$，这种同源性对于标准接触$S^3$中的横向连接是不变量，但对于光滑连接不是。我们还讨论了$\mathcal{H}_N$的非范畴化以及$\mathcal{H}_N$与arXiv：math/0401268中定义的$\mathfrak{sl}(N)$ Khovanov-Rozansky同调之间的关系。

拓扑学和表示论中的范畴化及其应用

Categorification and applications in topology and representation theory

本文分为两大部分。这两个部分之间的联系是“范畴化”的概念，我们在导言中简要地解释/回忆一下。在本论文的第一部分，我们将Bar-Natan的基于协边的Jones多项式的分类推广到虚拟链路。我们的拓扑复体允许经典的Khovanov复体（h=t=0），李（h=0，t=1）和其他经典的链接同源的变体的直接扩展。我们表明，我们的建设允许，在环的特征2，扩展没有经典的类比，例如巴纳坦的Z/2 Z-链接同源性可以扩展在两个非等价的方式。我们的构造是可计算的，在这个意义上，人们可以编写计算机程序来执行计算，例如，我们已经编写了一个基于MATHEMATICA的程序。此外，我们给出了一个分类的所有无向TQFT，可用于定义虚拟链接同源从我们的拓扑结构。此外，我们证明了我们的扩张是组合的，并具有半局部性质。本文利用半局部性质证明了一个应用，即讨论了Lee关于虚同调的退化。在本文的第二部分（基于与Mackaay和Pan的共同工作）中，我们利用Kuperberg的sl 3网和Khovanov的sl 3泡沫定义了一个新的代数KS，我们称之为sl 3网代数。它是Khovanov弧代数H_n的sl ~ 3模拟。证明了KS是分次对称Frobenius代数。此外，我们还对一个q-斜Howe对偶进行了分类，从而证明了KS与某个分圆KLR-代数是Morita等价的.这使我们能够确定分裂Grothendieck群K_0（KS…