Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials
全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。
2018-12-07 math.AG math.CA math.DS
Pseudo-Euclidean Billiards within Confocal Curves on the Hyperboloid of One Sheet
考虑Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线所围紧区域的台球问题。我们发现，有两种类型的共焦家庭在这样的设置。利用代数几何积分技巧，我们证明了每种类型的广义椭圆内的台球是可积的刘维尔意义。此外，我们证明了一个推广的Poncelet定理，并推导出周期轨迹的凯莱型条件，并探讨几何后果。
2020-10-27 math.DS
Poncelet Plectra: Harmonious Curves in Cosine Space
Holzkirchen Gymnasium Munich（慕尼黑霍尔茨基兴文理中学）；Data Science Consulting（数据科学咨询公司）；Federal Univ. of Goiás（戈亚斯联邦大学）
本文研究共焦椭圆台球中 Poncelet 三角形及其仿射像的余弦不变量，证明二者的余弦三元组扫过相同的拨片形三次曲线或球面曲线。
2021-08-29 cs.CG cs.RO math.DS
Birkhoff Normal Form and Twist Coefficients of Periodic Orbits of Billiards
本文针对多种动力台球，显式构造椭圆周期点附近的Birkhoff变换，并用台球桌几何参数给出前两个扭转系数的显式公式，进而刻画非线性稳定性与局部解析可积性。
2022-02-24 math.DS
On the existence of periodic invariant curves for analytic families of twist maps and billiards
本文证明环面扭转映射解析族中给定旋转数的周期不变曲线要么对所有参数值存在，要么至多存在于离散子集中，并将此结论推广并应用于台球的有理焦散线模型。
2024-07-24 math.DS
Twist Coefficients of Periodic Orbits of Minkowski Billiards
该研究引入相空间新坐标系探究闵可夫斯基台球基本性质，推导椭圆周期轨道扭转系数公式并分析其稳定性，为该领域周期轨道研究提供新方法与理论支撑。
2024-12-03 math.DS
Dual billiards, twist maps, and impact oscillators
本文将扭曲映射理论的技巧应用于平面上严格凸闭曲线G上对偶台球产生的环面映射。证明了当G上存在一点其曲率半径为零或不连续时，在G附近不存在不变圆。此外，当曲率半径不是$C^1$时，存在轨道收敛到G点的例子。如果曲率半径的导数是有界的，这样的轨道就不可能存在。本文的最后一节涉及的影响振荡器的动力学是相同的双台球地图。附录是关于台球和对偶台球中不变圆反问题的联系的一个注记。
1994-08-08 math.DS
Locally Maximizing orbits for multi-dimensional Twist maps and Birkhoff billiards
本文研究多维辛扭转映射（特别是Birkhoff台球映射）的局部极大化轨道，提出几何准则并证明该映射的两个生成函数具有相同的局部极大化轨道类。
2024-08-11 math.DG math.DS
Elliptic Islands on Strictly Convex Billiards
研究了与严格凸闭曲线相关联的台球映射椭圆岛存在性的一般性问题。更确切地说，我们研究了2-周期轨道的台球与C5封闭和严格凸曲线，并表明椭圆岛的存在是一个密集的性质的子集上的台球有一个椭圆2-周期点。我们的主要工具是正常的扰动，Birkhoff规范形式的椭圆不动点和Moser的扭曲定理。
2002-01-11 math.DS
Monotone twist maps and Dowker-type theorems
本文证明了关于多边形面积与周长的四个经典 Dowker 型定理均是相应台球系统 Mather $β$ 函数凸性质的体现，并据此为多种台球系统及更高旋转数推导出了新的几何不等式。
2024-02-25 math.DS math.SG
Outer billiards with the dynamics of a standard shift on a finite number of invariant curves
我们给出了一个漂亮的明确的例子，凸平面曲线，使外部台球有一个给定的有限数量的不变曲线。此外，这些曲线上的动态变化是一种标准的变化。这个例子可以被认为是所谓的古特金台球桌的外部模拟。我们测试总的可积性，这些台球，在两个不变曲线之间的区域。接下来，我们提供计算机模拟在这个区域的动态。乍一看，动力学看起来很规则，但通过放大图片，我们可以看到双曲周期轨道附近的混沌行为。我们相信这是一个有用的几何例子扭曲映射的规则和混沌行为的共存。
2018-11-12 math.DS
Billiards with singular invariant curves
研究台球映射中旋转数为1/2的不变曲线正则性，通过修改经典弦构造，构造出具有可控奇点的严格凸光滑台球及定宽台球扰动，使其具有奇异不变曲线。
2025-08-12 math.DS
Counting special Lagrangian fibrations in twistor families of K3 surfaces
在一个有理角多边形中，闭合的台球轨迹的数量随长度成二次方增长。本文通过考虑特殊的拉格朗日环面，给出了K3曲面上的一个类似。台球轨迹的角度的类似物是扭量球上的一个点，并且允许具有由$ V $限定的体积的特殊拉格朗日环面纤维化的方向的数量像具有节能项的$ V^{20} $那样增长。Bergeron-Matheus已经明确地估计了误差项的指数为$ {20-\frac{4}{697633} }$。K3曲面上的计数结果是由不定格点上的本原迷向向量的计数导出的，而本原各向同性向量的计数又是由齐次动力学中的等分布结果导出的.
2018-10-25 math.AG math.DG math.DS
Wire billiards, the first steps
钢丝台球由$\mathbb{R}^n$（钢丝）中的非零曲率$k$的光滑嵌入闭曲线定义。对于一类曲线，我们称之为好线，线台球映射是圆柱的面积保持扭曲映射。在本文中，我们正在调查是否传统的平面台球的基本功能扩展到这个更一般的情况。特别是，我们扩展Lazutkin的KAM结果，以及马瑟的逆KAM结果，有线台球。我们解决焦散的概念：对于钢丝台球，它对应于由不变曲线的弦所跨越的直纹曲面的收缩曲线。如果直纹面是可展的，这就是真正的焦散面。我们发现了$SO(n)$的1-参数子群的闭轨道的线的显著例子。这些钢丝台球是完全可积的。利用内插哈密顿量的理论，证明了当弦的长度趋于零时，金属丝的碰撞点的分布相对于测度$k^{2/3} dx$（其中$x$是弧长参数）是均匀的.应用这一结果，我们证明了椭球中的台球变换与共焦椭球上的重参数测测地流是可交换的：与测地线相切的直线的足点的速度等于$k^{-2/3}$，其中$k$是测地线在周围空间中的曲率.我们还讨论了前景和开放的问题，这一类新的台球。
2019-05-31 math.DG math.DS nlin.SI
Breaking of invariant curves: from the Fermi-Ulam map to the breathing circle billiard
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Universidad de Oviedo（奥维耶多大学）
研究小角动量 regime 作为费米-乌拉姆动力学的扰动，利用Mather的逆KAM准则的定量版本，排除了适合的旋转数的不变Lipschitz图，并结合Aubry-Mather理论和Forni定理，证明了足够小的c≥0时的正拓扑熵。
2026-05-19 math.DS
On the length and area spectrum of analytic convex domains
本文为解析共振旋转不变曲线上的保面积扭转映射建立了周期作用量差异的指数级小上界，并将其应用于台球问题，改进了关于解析凸区域周期轨迹长度与面积谱的经典光滑情形结果。
2014-10-07 math.DS
Locally maximizing orbits for the non-standard generating function of convex billiards and applications
给定一个生成函数$H$满足负扭条件的圆柱的精确辛映射$T$，研究了$T$的局部极大轨道，即作用泛函$\sum_n H(q_n,q_{n+1})$的局部极大值的构型.我们提供了一个充要条件的配置是局部最大化。使用它，我们考虑的情况下，$T$有两个生成函数关于两个不同的辛坐标。我们提出了一个简单的几何条件，保证这两个生成函数的局部最大化轨道的集合重合。作为主要的应用，我们表明，平面Birkhoff台球的两个生成函数满足这个几何条件。我们应用它得到如下结果：考虑中心对称曲线$γ$，Birkhoff台球映射有一条$4$ -周期轨道的旋转不变曲线$α$.我们证明了一定的$L^2$ -距离之间的$γ$和它的“最佳逼近”椭圆可以有界从上面的措施的补充集填充的局部最大化轨道之间的$α$和边界的相位柱。此外，这一估计是尖锐的，给出了一个有效的版本最近的结果Birkhoff猜想的中心对称曲线。对于任意曲线$γ$，我们也得到了一个类似的界，它将局部极大轨道集的补的测度与$γ$和它的“最佳逼近”圆之间的$L^2$ -距离联系起来.
2022-05-30 math.DS
Outer Billiards on Regular Polygons
1973年，J. Moser提出他的扭曲定理可以用来证明一条足够光滑的闭曲线上的外台球映射的轨道总是有界的。五年后莫泽问同样的问题，一个凸多边形。1987年F. Vivaldi和A. Shaubeko表明，所有轨道的正多边形必须有界。R.施瓦茨最近表明，四边形称为彭罗斯风筝有无界轨道，他提出，“大多数”凸多边形支持无界轨道。除了少数特殊情况外，人们对正多边形上外台球映射的动力学知之甚少。在本文中，我们提出了一个统一的方法来分析的正多边形-使用正则的共振，这是共享的所有规则的N-π。在正五边形和正八边形的情况下，这些共振存在于所有尺度上，分形结构也有很好的记录，但这些是唯一被分析过的非平凡情况。我们提出了一个部分分析的规则七边形，但限制结构知之甚少，这并不预示着好的其余正多边形。正则N边形顶点的极小多项式的次数为Phi（N）/2，其中Phi是欧拉函数，因此N = 5、7和11分别是二次、三次和五次多项式。用R. Schwartz说：“像N = 11这样的情况似乎超出了当前技术的范围。“有些图形已经嵌入了高分辨率版本，所以这个文件的大小约为39 Mb。这个文件和一个较小的版本可以在dynamicsofpolygons. org下载。只需点击PDF。本文旨在纪念尤金·古特金（Eugene Gutkin，1946-2013），他对内外台球都做出了重要贡献。
2014-10-07 math.DS
Deformations of the Standard Map with Prescribed Actions and Lyapunov Exponents
本文研究了标准映射的非平凡变形，保持无限多个周期轨道的辛动作和李亚普诺夫指数，并通过共振正则形和压缩映射原理实现了指定谱数据的变形。
2025-12-03 math.DS
Rotation Numbers and Instability Sets
平移数和旋转数在各种动力系统的定性描述中起着有趣而重要的作用。在这次博览会中，我们特别感兴趣的应用程序，导致证明周期性运动的各种动态的环。应用包括台球和测地流。在研究保面积环映射的动力学时，G. D.伯克霍夫被引导到扭曲映射的“不稳定区域”的概念。我们讨论了密切相关的概念，不稳定集的一般面积保持表面仿射，并开发其性质。
2003-03-24 math.DS
Near-integrable behaviour in a family of discretised rotations
我们考虑一个单参数家庭的可逆映射的二维格，通过应用舍入到平面旋转。这些映射的所有轨道都是周期的。我们让旋转角接近π/2，并表明，消失离散化的限制所描述的可积分段仿射哈密尔顿流，从而平面叶成家庭不变的多边形的数量不断增加的边。考虑到流的扰动，格子映射呈现出不同的特征，用带映射来描述：多边形的外部台球中发现的那些的变体。此外，流动是非线性的（与原始旋转不同），并且适当选择的庞加莱返回映射满足扭曲条件。舍入扰动引入KAM型现象：我们确定的未扰动曲线的生存扰动，并表明它们形成一组正密度的相空间。我们证明了这一点考虑对称轨道，在一个条件下，使我们能够获得明确的密度值。最后，我们表明，在无穷远的运动是一个二分法：有一个政权的非线性趋于零，只留下扰动，和第二个非线性占主导地位。在非线性仍然存在的领域，数值证据表明，轨道的周期分布是一致的随机动力学，而在非线性的情况下，波动的结果在复杂的离散共振结构。
2014-05-30 math.DS
