构造具有预定可数基本群的 ${\rm II_1}$ 型因子
Construction of type ${\rm II_1}$ factors with prescribed countable fundamental group
AI总结：
基于自由概率理论，利用保态群作用和自由积两种构造方法，结合 Popa 的形变/刚性策略，构造出具有预定可数基本群的 ${\rm II_1}$ 型因子。
摘要：
在自由概率理论的背景下，我们研究了两种不同的构造方法，为具有预定基本群的 ${\rm II_1}$ 型因子提供了新实例。首先，我们研究了概周期自由 Araki-Woods 因子上的保态群作用，这些作用同时满足混合条件与 Popa 意义下的自由可塑性条件。典型实例由自由 Bogoliubov 移位给出。取一个 ICC $w$-刚性群 $G$，使得 $\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$（例如 $G = \Z^2 \rtimes \SL(2, \Z)$）。对于任意可数子群 $S \subset \R^*_+$，我们证明存在 $G$ 在 $L(\F_\infty)$ 上的作用，使得 $L(\F_\infty) \rtimes G$ 是一个 ${\rm II_1}$ 型因子且其基本群为 $S$。第二种构造基于自由积。取 $(B(H), ψ)$ 为任意赋予忠实正规态的 ${\rm I}$ 型因子，并记 $Γ\subset \R^*_+$ 为 $ψ$ 的点谱生成的子群。我们证明中心化子 $(L(G) \ast B(H))^{τ\ast ψ}$ 是一个 ${\rm II_1}$ 型因子且其基本群为 $Γ$。我们的证明依赖于 Popa 的形变/刚性策略，并使用了其双模交织技术。
英文摘要：
In the context of Free Probability Theory, we study two different constructions that provide new examples of factors of type ${\rm II_1}$ with prescribed fundamental group. First we investigate state-preserving group actions on the almost periodic free Araki-Woods factors satisfying both a condition of mixing and a condition of free malleability in the sense of Popa. Typical examples are given by the free Bogoliubov shifts. Take an ICC $w$-rigid group $G$ such that $\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$ (e.g. $G = \Z^2 \rtimes \SL(2, \Z)$). For any countable subgroup $S \subset \R^*_+$, we show that there exists an action of $G$ on $L(\F_\infty)$ such that $L(\F_\infty) \rtimes G$ is a type ${\rm II_1}$ factor and its fundamental group is $S$. The second construction is based on a free product. Take $(B(H), ψ)$ any factor of type ${\rm I}$ endowed with a faithful normal state and denote by $Γ\subset \R^*_+$ the subgroup generated by the point spectrum of $ψ$. We show that the centralizer $(L(G) \ast B(H))^{τ\ast ψ}$ is a type ${\rm II_1}$ factor and its fundamental group is $Γ$. Our proofs rely on Popa's deformation/rigidity strategy using his intertwining-by-bimodules technique.
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